1、映射教学设计单位：西乡二中 姓名：龚宗文 一、教材依据：北京师范大学出版社数学教材必修一第二章第三节 映射二、设计思想：1映射是近、现代数学中的一个非常重要的概念，其思想也渗透于整个中学数学教材之中。平面内的封闭图形与其面积，平面上的点与有序数对，在它们之间实际上是一种映射关系。于是在映射的观点之下，一些看上去很不相同的研究对象之间的联系被揭示了出来。2映射与前面学习的集合有着密切的关系，事实上，映射是两个集合中的一种特殊的对应关系，即如果按照某种对应法则，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有惟一的元素与它对应，那么这样的对应（包括对应法则）叫做集合A到集合B的映时。3本小节是在函数概念
2、之后学习的，是建立在数集上的对应扩展到任意集合上，符合学生的认知规律。新课标要求：了解映射的概念，本小节先讲映射的概念，后讲一一映射的概念，我们知道，对应包括“一对多”、“多对一”、“一对一”等情况，而映射是“象”惟一的这种特殊的对应，它包括“多对一”、“一对一”等情形.至于一一映射，它则是一种特殊的映射，应该指出，一一映射在数学中有着特殊重要的意义，对很多问题的研究都是通过一映射将问题转化，并获得解决的。例如平面解析几何中通过点到数对的一一映射将几何问题化成代数问题解决，通过“取对数”的一映射将数的乘除运算转化为加减运算等等。在本章中介绍反函数时，也要用到一一映射的概念，可见，学习映射（特别
3、是一映射）的概念，对理解、掌握整个高中数学内容有着重要作用4映射是将生活中的诸多问题抽象为数学问题，因而，在学习中使学生认识到“数学就在身边，生活离不开数学”，同时使学生意识到将映射中的集合数字化就是函数。三、教学目标：1知识与技能:了解映射的概念，掌握象、原象等概念及其简单应用。2过程与方法;学会用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用。3情感、态度与价值观:树立数学应用的观点,培养良好的思维品质。四、教学重点：映射的概念。五、教学难点：映射的概念。六、教法选择：问题引导式七、学法指导：以问题为导向，抓住映射的本质，来判断一个对应是否为映射，并会求解像与原像。八、教学
4、准备：教师准备：熟悉教材和资料，做好教材分析 学生准备：预习教材九、教学过程：情境导入1函数的概念是什么？（由学生回顾回答）（设,是两个非空数集，如果按照某种对应关系，集合中的每个数，在集合中都有唯一的值与之对应。则称对应关系是定义在集合上的函数。）【设计意图】回顾旧知识，防止遗漏。2由函数的概念可以看出数与值之间是什么关系？ 参考答案：两个数集上的对应关系。那么下边这些对应关系又有什么特点？引出课题：映射新知探究由学生阅读课本并回答问题（1）集合=中国,美国,英国,日本，=北京,东京,华盛顿,伦敦，对应关系：集合中的每一个国家，在集合B中都有唯一一个首都与它对应。（2）集合=0,-3,2,3
5、,-1,-2,1，=9,0,4,1,5，对应关系：集合中的每一个数，在集合中都有其对应的平方数。（3）集合=本班同学，=本班同学的姓，对应关系：集合中的每个同学在集合中都有一个属于自己的姓。阅读以上例子并回答下列问题:1.上述三个例子中的对应有什么共同特点？2.映射的定义是什么？3.什么是像与原像？4.映射的定义有哪些要点？5.在中，与原像，与像有什么关系？6.映射与函数之间有什么异同？7.什么是一一映射？【设计意图】以问题为导向，使学生阅读教材有目的性，找到本节课相关概念，结合问题对概念有一定的认识。参考答案: 1.这三个对应的共同特点是：对于左边集合中的任何一个元素，在右边集合中都有唯一的
6、元素和它对应。2. 映射：设,是两个非空集合,如果按照某种对应关系,对于集合中的任何一个元素,在集合中都有唯一的元素和它对应,这样的对应（包括集合、以及到的对应关系）叫做集合到集合的映射。 记作：3.象、原象：给定一个集合到集合的映射,且,如果元素和元素对应,则元素叫做元素的象,元素叫做元素的原象。4.关键字词：（学生思考、讨论、回答，教师整理、强调） “到”：映射是有方向的，到的映射与到的映射往往不是同一个映射,因此映射是有序的； “任一”：就是说对集合中任何一个元素，集合中都有元素和它对应，这是映射的存在性； “唯一”：对于集合中的任何一个元素，集合中都是唯一的元素和它对应，这是映射的唯一
7、性； “在集合中”：也就是说中元素的象必在集合中，这是映射的封闭性.5. =原像， =像6.映射是将函数中的数集扩展为任意集合，函数是将任意映射中的集合数字化的结果，这样原像=定义域，像=值域应用举例 例1如图，给出下列四个对应，是映射的是941321-1-2-3123-1-2-3149123123456 求正弦 开平方 求平方 乘2 (1) (2) (3) (4) 点评：判断一个对应是否为映射的依据：集合中的任何一个元素，在集合中都有唯一的元素和它对应。引申：1.指出映射中的像与原像。 2.思考：如果从对应来说，什么样的对应才是一个映射?一对一，多对一是映射，但一对多显然不是映射3.一对一的
8、映射叫一一映射（给出定义）变式练习：已知集合 =, =,则下列对应关系中，不能看作从到的映射的是, 是一一映射的是A. B. C. D. 【设计意图】强调映射的本质，也就是函数的本质，加强记忆。例2.已知映射中，=(,)，中的元素()对应到中的元素(,)。(1)求(2，-1)的像(2)求(4，-2)的原像(3)是否存在这样的元素()，使它的像仍是自己？点评：本题是映射有关定义的应用，涉及像与原像问题，一般可以转化为方程（组）去求解。【设计意图】加深像与原像概念的理解，会求像和原像。练习：1设=1,2,3,4，=3,4,5,6,7,8,9，集合中的元素按照对应法则“乘2加1”和集合中的元素2x+
9、1对应这个对应是不是映射？2.设集合 =，集合= ,以下对应关系中，一定能建立集合到集合的映射的是A. 对集合中的数开平方 B. 对集合中的数取倒数C. 对集合中的数取算术平方根 D. 对集合 中的数立方3在从集合到集合的映射中，下列说法哪一个是正确的？（A）中的某一个元素b的原象可能不止一个；（B）中的某一个元素a的象可能不止一个（C）中的两个不同元素所对应的象必不相同；（D） 中的两个不同元素的原象可能相同4下面哪一个说法正确？（A）对于任意两个集合与,都可以建立一个从集合到集合的映射（B）对于两个无限集合与，一定不能建立一个从集合到集合的映射（C）如果集合中只有一个元素，为任一非空集合，
10、那么从集合到集合只能建立一个映射（D）如果集合只有一个元素，为任一非空集合，则从集合到集合只能建立一个映射课堂小结 本节课在函数概念的基础上学习了映射的概念，了解了怎样判断一种对应关系是否为映射，知道了像与原像的概念及求解方法。课后练习本节的课后练习1,2十、反思1.本节课从新课改的要求着手，以学生为主体来设计，以问题为导向，引导学生不断的认识映射的概念，了解映射的本质也就是函数的本质，只是集合的范畴不同而已，使学生自己感受到映射与函数的联系，推波助澜，提出函数就是将映射中的集合数字化的结果，结合生活中的实例说明，提高学生的学习兴趣。2.在映射概念的教学过程中，不断的结合学生熟悉的例子作以引导，使学生接受起来较自然。3.在映射的教学中，发现学生对函数的概念理解还不够深刻，在以后的教学中应不断的强化概念及应用，4.学生在解方程(组)时运算能力差，以后要多训练。8
