1、绝密启封前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 I 卷）名师押题压轴卷 数 学（理） 一、选择题（本题共 12 道小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的） 1.已知集合 2 28023Ax xxBxx， ，则 AB= ( ). A. (2,3) B. 2,3) C.4,2 D. (4,3) 2.已知 (1 i)(2i)z ，则 2 |z（ ） A. 2i B. 3 i C. 5 D. 10 3.若向量a 13 , 22 ，|b|23，若a (ba)2，则向量a与b的夹角为( ) A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 4.已知某几何体的
2、三视图如图所示，则该几何体的体积为 A. 8 B. 12 C. 16 D. 24 5.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布 2 0,3N ，从中随机取一件，其 长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ） （附：若随机变量 服从正态分布 2 ,N ，则68.26%P， 2295.44%P ） A. 4.56% B. 13.59% C. 27.18% D. 31.74% 6.我国古代名著庄子 天下篇中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思 为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程 序框图的功能就是计算截取 7 天后所剩木棍的长度(单位
3、：尺)，则处可分别填入的是 ( ) A. 1 7?,+1issii i B. 1 128?,2issii i C 1 7?,+1 2 issii i D. 1 128?,2 2 issii i 7.已知变量 x，y 满足约束条件 10 310 10 xy xy xy ，则 2zxy 的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8.九章算术中有这样一个问题：今有竹九节，欲均减容之（其意为：使容量均匀递减） ， 上三节容四升，下三节容二升，中三节容几何？（ ） A. 二升 B. 三升 C. 四升 D. 五升 9.在ABC 中， 角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c， 3
4、,2 3, sinacbA cos 6 aB ， 则 b=( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 10若直线2 20(0,0)axbyab 被圆 0142 22 yxyx 截得弦长为 4，则 41 ab 的最小值是（ ） A. 9 B. 4 C. 1 2 D. 1 4 11.已知抛物线 2 :2(0)C ypx p 的焦点为 F， 点 00 ,2 2 2 p M xx 是抛物线 C 上一 点，以点 M 为圆心的圆与直线 2 p x 交于 E，G 两点，若 1 sin 3 MFG ，则抛物线 C 的方程是（ ） A. 2 yx B. 2 2yx C. 2 4yx D. 2 8yx 12.
5、已知函数 1 ,0 ( ) ,0 x x mf x ex ，若方程 2 3( )(23) ( )20mfxmf x 有 5 个解，则 m 的取值范围是（） A. (1,) B. (0,1)(1,) C. 3 1, 2 D. 33 1, 22 二、填空题（本题共 4 道小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.已知 0, ，且 2 sin() 410 ，则tan2_ 14.设 m 为正整数， 2m xy 展开式的二项式系数的最大值为 21m a xy ， 展开式的二项 式系数的最大值为 b，若15 8ab ，则 m=_ 15.已知函数 42 42 3,0, 3,0, xxax x f x xx
6、ax x 有四个零点，则实数 a 的取值范围是 _ 16.如图，已知六棱锥 P-ABCDEF 的底面是正六边形，PA平面 ABC， 2PAAB ，给出 下列结论： PBAE； 直线/BC平面PAE； 平面PAE 平面PDE； 异面直线 PD 与 BC 所成角为 45 ； 直线 PD 与平面 PAB 所成角的余弦值为 10 4 . 其中正确的有_（把所有正确的序号都填上） 三解答题（本大题共 6 小题.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题 12 分） ABC 中， 内角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c， 已知 2 4sin4sinsin22 2 AB AB
7、（1）求角 C 的大小； （2）已知4b，ABC 的面积为 6，求边长 c 的值. 18. （本小题 12 分） 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PD平面 ABCD， 1 2 2 BCCDAB ， ABC=BCD=90 ，E 为 PB 的中点。 （1）证明：CE面 PAD （2）若直线 CE 与底面 ABCD 所成的角为 45 ，求四棱锥 P-ABCD 的体积。 19. （本小题 12 分） 已知某单位甲、乙、丙三个部门共有员工 60 人，为调查他们的睡眠情况，通过分层抽样获 得部分员工每天睡眠的时间，数据如下表（单位：小时） 甲部门 6 7 8 乙部门 5.5 6 6.5 7 7.5 8
8、丙部门 5 5.5 6 6.5 7 8.5 （1）求该单位乙部门的员工人数？ （2）从甲部门和乙部门抽出的员工中，各随机选取一人，甲部门选出的员工记为 A，乙部 门选出的员工记为 B，假设所有员工睡眠的时间相互独立，求 A 的睡眠时间不少于 B 的睡 眠时间的概率； （3）若将每天睡眠时间不少于 7 小时视为睡眠充足，现从丙部门抽出的员工中随机抽取 3 人做进一步的身体检查用 X 表示抽取的 3 人中睡眠充足的员工人数，求随机变量 X 的分 布列与数学期望 20. （本小题 12 分） 已知椭圆 22 22 10 yx ab ab 的离心率为 2 2 ，且 2 2ab. （1）求椭圆的标准方程
9、； （2）直线l：0xym与椭圆交于 A，B 两点，是否存在实数 m，使线段 AB 的中点 在圆 22 5xy上，若存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由 21. （本小题 12 分） 设函数 22 lnf xaxxax aR. （1）求 f x的单调区间； （2）求使 2 1ef xe 对1,xe恒成立的 a 的取值范围. 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，答题时用 2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑. 22. （本小题 10 分） 在平面直角坐标系中， 直线 l 的参数方程为 2 1 2 2 2 xt yt (其中 t 为参数） .现以坐标原点为
10、 极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为6cos. （1）写出直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （2）若点 P 坐标为(1,0)，直线 l 交曲线 C 于 A,B 两点，求PAPB的值. 23. （本小题 10 分） 已知函数 22f xxxa xR （1）当0a时，求不等式 7f x 的解集； （2）若 24f xx对任意10x ，成立，求实数 a 的取值范围 答案答案+解析解析 1. 【答案】B 【解析】因 2 28024Ax xxAx xx 或， 所以232,3)BxA，故本题选 B. 2. 【答案】D 【解析】因为12zii3 i 所以 2
11、22 3( 1)10z 故选 D 3. 【答案】A 【解析】由已知可得： 2 2a ba ，得 3a b ， 设向量 a 与 b 的夹角为 ，则 3 cos. 2 a b ab 所以向量a与b的夹角为 6 故选 A. 4. 【答案】A 【解析】由三视图可知，几何体为三棱锥 三棱锥体积为： 111 5 2.4 48 332 VSh 本题正确选项：A 5. 【答案】B 【解析】由题意 1 3368.26%6695.44%3695.44%68.26%13.59% 2 PPP（ ），（ ）， （ ） （） 故选 B 6. 【答案】B 【解析】由题意，执行程序框图，可得： 第 1 次循环： 1 1,4
12、2 Si ； 第 2 次循环： 11 1,8 24 Si ； 第 3 次循环： 111 1,16 248 Si ； 依次类推，第 7 次循环： 1111 1,256 241288 Si ， 此时不满足条件，推出循环， 其中判断框应填入的条件为：128?i ， 执行框应填入： 1 SS i ，应填入：2ii. 故选：B. 7. 【答案】B 【解析】画出二元一次不等式所示的可行域，目标函数为截距型，2yxz ，可知截距 越大z值越大，根据图象得出最优解为(1,0)，则2zxy的最大值为 2，选 B. 8. 【答案】B 【解析】由题意，上、中、下三节的容量成等差数列，上三节容四升，下三节容二升， 则
13、中三节容量为 42 3 2 ，故选 B 9. 【答案】C 【解析】因为sinbA cos 6 aB ，展开得 sinbA 3?1? cossin 22 aBaB，由正弦定理化简得 sinsinBA 3?1? cossin 22 sinABsinAB，整理得3sinB cosB 即 3 3 tanB ，而三角形中 0B，所以 6 B 由余弦定理可得 222 2cosbacacB ，代入 2 22 32 32 3 2 3cos 6 b 解得3b 所以选 C 10. 【答案】A 【解析】圆 22 xy2x4y 10 的标准方程为： （x+1）2+（y2）2 =4， 它表示以（1，2）为圆心、半径等于
14、 2 的圆； 设弦心距为 d，由题意可得 22+d2=4，求得 d=0， 可得直线经过圆心，故有2a2b+2=0， 即 a+b=1，再由 a0，b0，可得 41 ab =（ 41 ab ） （a+b）=5+ 4ba ab 5+2 4 9 ba ab 当且仅当 4b a = a b 时取等号， 41 ab 的最小值是 9 故选：A 11. 【答案】C 【解析】作MDEG，垂足为点 D 由题意得点 00 ,2 2 2 p M xx 在抛物线上，则 0 82px得 0 4px 由抛物线的性质，可知， 0 | 2 p DMx， 因为 1 sin 3 MFG，所以 0 11 | 332 p DMMFx
15、所以 00 1 232 pp xx ，解得： 0 xp 由，解得： 0 2xp （舍去）或 0 2xp 故抛物线 C 的方程是 2 4yx 故选 C 12. 【答案】D 【解析】 2 3( )(23) ( )203 ( )2( ) 10mfxmf xf xmf x， 2 ( ) 3 f x ，或 1 ( )f x m ，由题意可知： 1 (0)f m ，由题可知：当0x时， 2 ( ) 3 f x 有 2 个解且 1 ( )f x m 有 2 个解且 213 32 m m ， 当0x时，(1( ) xx f xe e ，因为 11 ()( ) xx fx ee fx ，所以函数( )f x是
16、偶函数，当0x时，函数 ( )f x是减函数，故有0( )1f x ，函数 ( )f x是偶函数，所以 图象关于纵轴对称，即当0x时有，0( )1f x，所以01 1 1 m m ，综上所述； m的取值范围是 33 1, 22 ，故本题选 D. 13. 【答案】 24 7 【解析】由 2 sin() 410 得： 221 sincossincos 2105 解方程组： 22 1 sincos 5 sincos1 得： 4 sin 5 3 cos 5 或 3 sin 5 4 cos 5 因为0,，所以sin0,所以 3 sin 5 4 cos 5 不合题意，舍去 所以 4 tan 3 ，所以22
17、 4 2 2tan24 3 tan2 1tan7 4 1 3 ，答案应填： 24 7 . 14. 【答案】7 【解析】 2m xy 展开式中二项式系数的最大值为 2 m m aC， 21m xy 展开式中二项式系数的最大值为 m 1 2m 1 bC ， 因158ab 所以 mm 1 2m2m 1 15C8C 即： ()!()! ! ()! 2m2m1 158 mmmm1 解得：7m 15. 【答案】 (2,0) 【解析】因为 f x是偶函数，根据对称性， 42 30xxax在 0,上有两个不同的 实根，即 3 3axx在 0,上有两个不同的实根，等价转化为直线y a 与曲线 3 30yxx x
18、有两个交点，而 2 33311yxxx ，则当01x时， 0y ，当 1x 时， 0y ，所以函数 3 3yxx在0,1上是减函数，在 1,上是增 函数，于是 min1 0 2,0 x x yyy ，故2,0 .a 故答案为：(2,0) 16. 【答案】 【解析】设正六边形长为 1，则2PA.根据正六边形的几何性质可知AEAB，由PA 平面ABC得PAAE， 所以AE平面PAB， 所以AEPB， 故正确.由于/ /BCAD， 而ADAEA，所以直线/BC平面PAE不正确，故错误.易证得 ,DEAE DEPA,所以DE 平面PAE，所以平面PAE 平面PDE，故正确.由于 / /BCAD,所以P
19、DA是异面直线PD与BC所成角，在Rt PAD中，2APAD，故 45PDA，也即异面直线PD与BC所成角为45，故正确.连接BD，则/BDAE， 由证明过程可知AE平面PAB，所以BD 平面PAB，所以DPB是所求线面角， 在三角形PBD中，5,2 2,3PBPDBD，由余弦定理得 58310 cos= 425 2 2 DPB ，故正确.综上所述，正确的序号为. 17. 【答案】 （1） 4 ； （2）10. 【解析】试题分析： （1）由已知得21 cos()4sinsin22ABAB， 化简得 2coscos2sinsin2ABAB ， 故 2 cos() 2 AB ，所以 3 4 AB
20、， 因为ABC，所以 4 C =. （2）因为 1 sin 2 SabC ，由6 ABC S，4b， 4 C =，所以 3 2a ， 由余弦定理得 222 2coscababC，所以10c 18. 【答案】 （1）见解析（2）4 2 【解析】解法一:(1)取 PA 中点 Q，连接 QD，QE， 则 QEAB，且 QE= 1 2 AB QECD，且 QE=CD. 即四边形 CDQE 为平行四边形，CEQD. 又CE平面 PAD，QD平面 PAD， CE平面 PAD. (2)连接 BD，取 BD 中点 O，连接 EO，CO 则 EOPD，且 EO= 1 2 PD. PD平面 ABCD， EO平面
21、ABCD. 则 CO 为 CE 在平面 ABCD 上的射影， 即ECO 为直线 CE 与底面 ABCD 所成的角，ECO=45 在等腰直角三角形 BCD 中，BC=CD=2，则 BD=2 2， 则在 RtECO 中，ECO=45 ，EO=CO= 1 2 BD= 2 2PD=2E0=2 2， 1 (24) 26 2 ABCD S 底面 11 6 2 24 2 33 P ABCDABCD VS 底面 四棱锥 P-ABCD 的体积为4 2. 解法二：(1)取 AB 中点 Q，连接 QC，QE 则 QEPA PA平面 PAD，QE平面 PAD QE平面 PAD， 又AQ= 1 2 AB=CD，AQCD
22、， 四边形 AQCD 平行四迹形， 则 CQDA DA平面 PAD，CQ平面 PAD， CQ平面 PAD， (QE平面 PAD.CQ平面 PAD，证明其中一个即给 2 分) 又 QE平面 CEQ，CQ平面 CEQ，QE CQ=Q， 平面 CEQ平面 PAD， 又 CE平面 CQ， CE平面 PAD. (2)同解法一. 19. 【答案】 (1)24 人；(2) 2 3 ；(3)X 的分布列见解析；数学期望为 1 【解析】 （1）由题意，得到分层抽样共抽取：3+6+615 名员工， 其中该单位乙部门抽取 6 名员工， 该单位乙部门的员工人数为：6 60 15 24 人 （2）由题意甲部门抽取 3
23、名员工，乙部门抽取 6 名员工， 从甲部门和乙部门抽出的员工中，各随机选取一人， 基本事件总数 n 11 36 C C18， A 的睡眠时间不少于 B 的睡眠时间包含的基本事件（a，b）有 12 个： （6，5.5） ， （6，6） ， （7，5.5） ， （7，6） ， （7，6.5） ， （7，7） ， （8，5.5） ， （8，6） ， （8，6.5） ， （8，7） ， （8，7.5） ， （8，8） ， A 的睡眠时间不少于 B 的睡眠时间的概率 p 122 = 183 （3）由题意从丙部门抽出的员工有 6 人，其中睡眠充足的员工人数有 2 人， 从丙部门抽出的员工中随机抽取 3 人
24、做进一步的身体检查用 X 表示抽取的 3 人中睡眠充 足的员工人数， 则 X 的可能取值为 0，1，2， P（X0） 3 4 3 6 1 5 C C ， P（X1） 21 42 3 6 3 5 C C C ， P（X2） 12 42 3 6 1 5 C C C ， X 的分布列为： X 0 1 2 P 1 5 3 5 1 5 E（X） 131 012 555 1 20. 【答案】 （1）； （2）实数 m 不存在，理由见解析 【解析】 （1）由题意得，解得故椭圆的方程 为； （2）设，线段的中点为联立直线与椭圆的 方程得，即， 即， ， 所以， 即又因点在圆上， 可得， 解得与矛盾 故实数不存
25、在 21. 【答案】 （1）见解析； （2） e 【解析】 （1）因为 22 lnf xaxxax，其中0x，所以 2 2 2 xaxaa fxxa xx . 所以，0a时，所以 f x的单调递增区间为0,a，单调递减区间为, a ； 0a时，所以 f x的单调递减区间为0,； 0a 时，所以 f x的单调递增区间为0, 2 a ，单调递减区间为, 2 a ； （2）由题意得 111fae ，即ae.由（1）知 f x在1,e内单调递增，要使 2 1ef xe 对1,xe恒成立. 只要 222 111, , fae f eaeaee 解得ae.故a的取值范围是 e. 22. 【答案】 （1）
26、10xy ， 2 2 39xy； （2）4 2. 【解析】 （1）由 2 1 2 2 2 xt yt 消去参数t，得直线l的普通方程为10xy 又由6cos得 2 6 cos， 由 xcos ysin 得曲线C的直角坐标方程为 22 60xyx， 即 2 2 39xy； （2）其 2 1 2 2 2 xt yt 代入 22 60xyx得 2 4 270tt， 则 121 2 4 2,70ttt t 所以 1212 4 2PAPBtttt. 23. 【答案】 (1) 5 3 3 ，(2) 21 ， 【解析】 （1）当0a时，不等式 7f x 可化为227xx 当0x时，227xx ，解得 5 3 x，故 5 0 3 x； 当10x 时，227xx ，解得5x，故10x ； 当1x时，227xx，解得3x，故31x 综上，当0a时，不等式 7f x 的解集为 5 3 3 ， （2） 24f xx对任意10x ，成立， 2224xxax任意10x ，成立， 2xa对任意10x ，成立， 所以22xax 对任意10x ，成立 又当10x ，时， minmax 21 2122xx ， 故所求实数a的取值范围是21 ，
