1、 参考答案 一、选择题 1-6 BACBCC 7-12 DDABDA 二、填空题 13. 2 14. -6 15. )10, 0( 16. 2 136 (364 也对) 三、解答题 17 证明:(1)由 a2b22ab,b2c22bc,c2a22ca 得 a2b2c2abbcca. 由题设得(abc)21, 即 a2b2c22ab2bc2ca1, 所以 3(abbcca)1,即 abbcca1 3.-5 分 (2)因为 abc1, 所以 1(abc)2a2b2c22ab2bc2ac, 因为 2aba2b2, 2bcb2c2, 2aca2c2, 所以 2ab2bc2ac2(a2b2c2), 所以
2、 1a2b2c22(a2b2c2),即 a2b2c21 3.-10 分 18.解 (1)因为函数 f(x)的定义域为(0,),且 f(x)1ln x x2 ,-2 分 由 f(x)0, x0, 得 0xe; 由 f(x)0, x0, 得 xe. 所以函数 f(x)的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,) 所以,无极小值有极大值, 1 1 )()( e efxf-5 分 (2)当 2me, m0, 即 0me 2时,函数 f(x)在区间m,2m上单调递增, 所以 f(x)maxf(2m)ln(2m) 2m 1;-7 分 当 me2m,即e 2me 时,函数 f(x)在区间(m,e)上单
3、调递增,在(e,2m)上单调递 减, 所以 f(x)maxf(e)ln e e 11 e1;-9 分 当 me 时,函数 f(x)在区间m,2m上单调递减, 所以 f(x)maxf(m)ln m m 1. -11 分 综上所述,当 0me 2时,f(x)max ln(2m) 2m 1; 当e 2me 时,f(x)max 1 e1; 当 me 时,f(x)maxln m m 1.-12 分 19证明: (1) 222 2(cossin )cos2 cossinsincos2sin2niii当时, 所以,2n时,等式成立。-3 分 (2)假设当kn2)k(时,等式成立,即kiki k sincos
4、sincos)(。 -5 分 那么,当1kn时, 1 cossincossincossin(cossin) cossin kk iiikiki ()() ()() -7 分 2 coscossincossincossinsin (coscossinsin )(sincossincos ) cos(1)sin(1) kikikik kkikk kik 所以:当时,1 kn等式也成立。 -10 分 综上可知,要证明的等式nini n sincossincos)(,当2n时成立。-12 分 20.解: (1)设交于点,过作,垂足为, 在中, ,2 分 在中, ,4 分 所以 , 5 分 (2)要使侧
5、面积最大,由(1)得: AOBCDOOEABE AOE10cosAE 220cosABAE ABD sin20cossinBDAB 1 220sin cos20cos 2 S 2 400 sin cos(0) 2 23 400 sin cos400 (sinsin)S E D 设 6 分 则,由得: 当时,当时, 所以在区间上单调递增,在区间上单调递减,8 分 所以在时取得极大值,也是最大值; 所以当时,侧面积取得最大值, 10 分 此时等腰三角形的腰长 答:侧面积取得最大值时,等腰三角形的腰的长度为12 21解: (1) 2 (21)2 ( ) ex axax fx ,(0)2 f 因此曲线
6、( )yf x在点(0, 1)处的切线方程是210xy -4 分 (2)方法一:当1a 时, 21 ( )e(1 e)e xx f xxx 令 12 1)( x exxxg,则 1 12)( x exxg-8 分 当1x 时,( )0g x,( )g x单调递减;当1x 时,( )0g x,( )g x单调递增; 所以( )g x( 1)=0g因此( )e0f x -12 分 方法二:由(1)知: 2 (21)2 ( ) ex axax fx = x e xax)2)(1( 因 为1a, 所 以1 1 0 a , 所 以0 1 1 a 。 令2 1 , 0)(x a xxf或 -6 分 所以)
7、(xf在,和 2) 1 ,( a 上单调递减,在)2 , 1 ( a 上单调递增。 当2x时,0, 01 2 x exax,所以0)(, 0)(exfxf即 当2x时,)(xf在) 1 ,( a 上单调递减,在)2 , 1 ( a 上单调递增。 所以 a e a fxf 1 min ) 1 ()(。-8 分 3 ( ),(01)f xxxx 2 ( )1 3fxx 2 ( )1 30fxx 3 3 x 3 (0,) 3 x( )0fx 3 (,1) 3 x( )0fx ( )f x 3 (0,) 3 3 (,1) 3 ( )f x 3 3 x 3 sin 3 S 22 320 6 20cos2
8、0 1 sin20 1 () 33 AB SAB 20 6 cm 3 要证即可即证:0, 0)( 1 a eeexf-9 分 令) 1( ,)( 1 aeeah a ,所以上恒成立,在10)( 2 1 a e ah a -10 分 所以)(ah在, 1上单调递增。 , 0) 1 ()( min hah所以上恒成立,在10 1 a ee 故综上所述,当0)(1exfa时,-12 分 22解:(1) x x x xF 1 1 1 1 )(.当, 0x时,0)( x F,当0 , 1x时, 0)( x F 所以0)0()( max FxF-4 分 (2)根据题意 , 1 , 1 1 )( m x m
9、x m mxmx xG 令0)( x G, 解得0 1 x, 或 m mx 1 2 因为10m, 所以0 1 m m, 且 m m m 11 所以当 , 0 1 , 1 m m m x时,0)( x G 当 0 1 , m mx时,0)( x G 所以)(xG在 , 0 1 , 1 , m m m 上单调递增,在 0 1 , m m上单调递减-7 分 因为0)0(G,所以)(xG在 , m m 1 上有且只有 1 个零点-8 分 又)(xG在 0 1 , m m上单调递减,所以0)0() 1 (G m mG -9 分 当 m m m x 1 , 1 时,mx m x1ln, 1 ,所以)(xG, 又函数)(xG在 m m m x 1 , 1 上单调递增 所以 0 1 , 1 00 xG m m m x, -11 分 故当10m时,函数)()()(xgxfxG有2个零点-12 分