达州市普通高中2020届第三次诊断性测试数学理科试题含答案.pdf

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1、1 达州市普通高中 2020 届第三次诊断性测试 数学试题(理科) 注注意意事事项项: 1 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上, 写在本试卷无效. 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 一一、选选择择题题(本本题题共共 12 小小题题,每每小小题题 5 分分,共共计计 60 分分,在在每每小小题题给给出出的的四四个个选选项项中中,只只 有有一一项项是是符符合合题题目目要要求求的的) 1已知集合11Axx ,ln

2、1Bxx,则AB A1,eB0,1C0,eD0,1 2复数 1 ai zaR i 是纯虚数,则a A1B2C3D4 3已知命题:p ab,命题 22 :q ab.pq是 的 A充分必要条件B充分不必要条件 C必要不充分条件D既不充分也不必要条件 4二项式 2 1 ()nx x 展开式中,只有第 4 项的二项式系数最大,则该展开式的常数项是 A15B20C15D20 5在锐角ABC 中,如果cos212sin2AA ,则tan A A5B 5 2 C2D 1 2 6在ABC 中,角, ,A B C的对边分别是, ,ca b, 222 abcbc,sin2 sinaBcA.则B A 6 B 4 C

3、 3 D 2 7如图,S 是圆锥的顶点,AB 是底面圆的直径,ASBS,M 是 线段 AS 上的点(不与端点 A,S 重合) ,N 是底面圆周上的动点, 2 则直线 BS 与 MN 不能 A异面B相交C平行D垂直 8若抛物线 2 16xy的焦点到双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 渐近线的距离是2 2,则该双 曲线的离心率为 A2B2C3D5 9有 3 人同时从底楼进入同一电梯,他们各自随机在第 2 至第 7 楼的任一楼走出电梯.如果 电梯正常运行,那么恰有两人在第 4 楼走出电梯的概率是 A 1 72 B 1 12 C 5 72 D 5 216 10在ABC 中,1AB ,

4、2 3 A ,ABtAC tR uuu ruuu r 的最小值是 A 3 2 B 2 2 C 1 2 D 3 3 11 SAB 是边长为 1 的正三角形, 多边形 ABCDEF 是正六边形, 平面 SAB平面 ABCDEF, 若六棱锥 S-ABCDEF 的所有顶点都在球 O 上,则球 O 的表面积为 A 16 3 B 13 3 C5D4 12如图,函数( )15sin0f xx的图象与它在原点 O 右侧的第二条对称轴 CD 交于点 C,A 是( )f x图象在原点左侧与x轴的第一个交点,点 B 在图象上, 5 9 ABAD , ABBC.则 A 9 B 2 9 C 3 D 2 3 二二、填填空

5、空题题:本本题题共共 4 小小题题,每每小小题题 5 分分,共共计计 20 分分.把把答答案案填填在在题题中中的的横横线线上上 13计算 ln2 2 3 1 lg2lg5 (3 3) e _. 3 14设, x y满足约束条件 20, 0, 20, y xy xy 则2xy的最大值是_. 152020 年 4 月 16 日,某州所有 61 个社区都有新冠病毒感染确诊病例,第二天该州新增 这种病例 183 例.这两天该州以社区为单位的这种病例数的中位数,平均数,众数,方 差和极差 5 个特征数中,一定变化的是_(写出所有的结果) 16已知 32 ( )31f xxa xb是奇函数, ( ),0,

6、 ( ) ln(),0, f x x g x xb x 若 4 ( )2g xa恒成立,则 实数a的取值范围是_. 三三、解解答答题题:共共 70 分分.解解答答应应写写出出文文字字说说明明、证证明明过过程程或或演演算算步步骤骤.第第 1721 题题为为必必考考题题, 每每个个试试题题考考生生都都必必须须作作答答。第第 22、23 题题为为选选考考题题,考考生生根根据据要要求求作作答答。 (一一)必必考考题题:共共 60 分分. 17 (12 分) 已知数列 n a的通项公式为 1 11611 1 = 222 nn n n n a . (1)求写出数列 n a的前 6 项; (2)求数列 n

7、a前 2n 项中所有奇数项和S奇与所有偶数项和S偶. 18.(12 分) 设点 P,Q 的坐标分别为 2 2 0,, 2 2 0 ,.直线 PM,QM 相交于点 M,且它们的斜 率分别是 1212 1 , 2 k k k k . (1)求点 M 的轨迹 C 的方程; (2)与圆 22 2xy相切于点11 ,的直线l交 C 于点 A,B,点 D 的坐标是2 0 ,,求 ABADBD. 4 19 (12 分) 某城市 9 年前分别同时开始建设物流城和湿地公园, 物 流城 3 年建设完成,建成后若年投入x亿元,该年产生 的经济净效益为2ln5x 亿元;湿地公园 4 年建设完 成,建成后的 5 年每年

8、投入见散点图.公园建成后若年 投入x亿元,该年产生的经济净效益为3x 亿元. (1)对湿地公园,请在 2 ,xknb xknb中选择一个合适模型,求投入额x与投入年份 n 的回归方程; (2)从建设开始的第 10 年,若对物流城投入 0.25 亿元,预测这一年物流城和湿地公园哪 个产生的年经济净效益高?请说明理由. 参考数据及公式:0.336x , 5 1 6.22 ii i n x ,当 2 tn时;11t , 5 2 1 979 i i t ,回归方程 中的 5 1 29.7 ii i t x ;回归方程 r ksb斜率与截距 1 2 2 1 m i i i m i i s rms r k

9、 sms , brks. 20 (12 分) 已知 M,N 是平面 ABC 两侧的点,三棱锥MABC所有棱长是 2,3,AN , 5NBNC,如图. (1)求证:AM/平面 NBC; (2)求平面 MAC 与平面 NBC 所成锐二面角的余弦。 5 21 (12 分) (1)求证:当32x 时, 7 5 2 x e x ; (2)若函数 2 2 ( ) x e f xax x 有三个零点,求实数a的取值范围. (二)选考题:共 10 分,请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第 一题计分. 22 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 (10 分) 以直角坐标系xOy的坐标原

10、点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C的 极坐标方程是 22 2cos2 sin10 . (1)求曲线C直角坐标方程; (2)射线 3 与曲线C相交于点,A B,直线 1 2 :() 3 2 2 xt lt yt 为参数与曲线C相交于 点,D E,求ABDE. 23 【选修 4-5:不等式选讲】 (10 分) 设( )=13f xxx. (1)对一切xR,不等式( )f xm恒成立,求实数m的取值范围; (2)已知0,0,ab( )f x最大值为 M,22ab Mab,且 22 4128ab,求证: 216ab. 理科数学答案 第 1 页(共 4 页) 达州市达州市普通高中普通高

11、中 20202020 届第届第三三次诊断性测试次诊断性测试 理理科科数学数学参考答案参考答案 评分说明:评分说明: 1本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解答与本解答不同,可根据试 题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则。 2对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题 的内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应得分 数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再得分。 3解答右端所注分数,表示该生正确做到这一步应该得的累加分数。 4只给整数分数。选择题不给中间分。 一、一、选择选择题题: 1. D 2. A 3

12、.D 4.C 5.D 6.D 7.C 8. B 9. C 10. A 11.B 12.B 二、填空题二、填空题:本题共:本题共 4 小题,小题,每小题每小题 5 分,共分,共 20 分分 130 1410 15平均数 16(, 10 1,) 三、解答题三、解答题:共共 70 分分解答应写出解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤文字说明、证明过程或演算步骤 17解:(1)由 1 1 ( 1) (6)1 ( 1)1 222 nn n n n a 知: 1 1 2 a , 2 4a , 3 3 11 28 a , 4 2a ,5 5 11 232 a , 6 0a (2)由 1 1 ( 1) (6)

13、1 ( 1)1 222 nn n n n a 得, 21 21 1 2 n n a , 2 26 n an, 21 n a 是首项为 1 2 , 公比为 1 4 的等比数列, 2 n a是首项为4, 公差为2的等差数列, 11 (1) 22 24 1 33 4 1 4 n n S 奇 , 2 (426) 5 2 nn Snn 偶 18解:(1)设点M的坐标为( , )x y,由题意得, 1 (2 2) 22 22 2 yy x xx , 化简得轨迹C的方程为 22 280(2 2)xyx ,即 22 1(2 2) 84 xy x (2)过切点( 1,1)和圆心(0,0)的直线的斜率为 1 ,

14、切线l斜率为1 , 切线l的方程为2yx l与x轴的交点坐标是( 2,0),是轨迹C的左焦点 (2,0)D为轨迹C的右焦点, 所以,根据椭圆的性质,| 8 2ABADBD 19解:(1)根据散点图,应该选择模型 2 xknb 理科数学答案 第 2 页(共 4 页) 令 2 tn,则 5 1 52 2 1 5 29.75 11 0.336 0.03 9795 11 5 ii i i i t xt x k tt , 0.3360.03 110.006bxkt , 所以,所求回归方程是0.030.006xt,即 2 0.030.006xn (2)物流城第10年的年经济净效益为2ln0.25 5 54

15、ln2 亿元; 湿地公园第10年的投入约为 2 0.03 60.0061.086亿元,该年的经济效益为 1.08634.086 亿元 因4.08654ln2 ,所以,该年湿地公园产生的年经济净效益高 20(1)证明:记线段BC中点为D,分别连结AD,MD,ND由条件得ABACMB 2MC,5NBNC, BCAD,BCMD,BCND AD与MD是平面MAD内两相交直线,AD与ND是平面NAD内两相交直线, BC 平面MAD,BC 平面NAD 平面MAD与平面NAD重合 记线段ND的中点为O,连结AO 根据条件可得,3ANMD,2AMND, 四边形ANDM是平行四边形,即AMND AM 平面NBC

16、,ND平面NBC, 所以,AM平面NBC (2)解:由(1)知,平面NAD 平面NBC 记线段ND的中点为O,连结AO 根据条件得,3ADAN, AOND, 即AO 平面NBC 以过O平行BC的直线为x轴, 分别以直线OD,OA 为y和z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz (0,0, 2)A,( 1,1,0)C ,(0,2, 2)M, ( 1,1,2)AC ,(0,2,0)AM 设平面MAC的一个法向量为( , , )x y zn,则ACn,AMn,即0ACn, 0AMn, 20, 20. xyz y 不妨取1z ,得( 2,0, 1)n 23 cos, 323 | | OA OA OA

17、n n n 因OA是平面NBC的一个法向量,所以,平面MAC与平面NBC所成锐二面角的余弦为 3 3 21(1)证明:设 5 e ( ) x g x x ,则 6 e (5) ( ) x x g x x , 当5x 时,( )0g x ,( )g x递增 x y O D A B C M N z 理科数学答案 第 3 页(共 4 页) 当32x时, 3232 7 555 5 ee2 ( )(32)2 32(2 ) x g xg x 所以,当32x时, 7 5 e 2 x x (2)解:函数 2 2 e ( ) x f xax x 的定义域为( ,0)(0,)U 由 ( )0f x 得, 4 ex

18、 a x 设 4 e ( ) x h x x ,则函数的定义域为( ,0)(0,)U ,且 5 e (4) ( ) x x h x x , 当0x ,或4x 时, ( )0h x ,( ) h x单调递增;当04x 时, ( )0h x ,( ) h x单调 递减 所以,当0x 时,( ) h x有极小值,且 4 e ( )= (4) 256 h xh 极小 当4x 时, 4 e ( )( 4)(4) 256 h xhh ; 当40x, 或04x时, 4 44 e1 ( ) (e ) h x xx 所以, 对0m,当 4 1 0 e x m , 或 4 1 0 e x m 时,都有 4 1 (

19、 ) (e ) h xm x ; 当32x时,由(1)得, 7 4 e ( )2 x h xx x 所以,对0m,当 7 max32, 2 m x 时,都 有 7 ( )2h xxm 综上所述,实数a的取值范围是 4 e (,) 256 22解:(1)将cosx,siny代入方程 22 2cos2 sin10 得 2 2210xy 所以,曲线C的直线坐标方程是 2 2210xy ,即 2 1 2 yx (2)设 11 (,)A , 22 (,)B ,在方程 22 2cos2 sin10 中,令 3 得 2 2 320, 2 ( 2 3)4 240 , 12 2 3, 12 2, 2 12121

20、2 | |()42AB 设点D,E在直线l中对应该的参数分别是 1 t, 2 t,将 1 2 xt , 3 2 2 yt代入方程 2 2210xy 并化简,得 2 2 360tt, 同上可得,| 6DE . 所以,| | 12ABDE 理科数学答案 第 4 页(共 4 页) 23解:(1) 4, 1, ( )1322, 13, 4, 3. x f xxxxx x 所以,实数m的取值范围是(, 4 (2)由(1)知,4M 由(2)2ab Mab得, 2(2) 1 ab ab 2222 211(2 )212816abab,等号在2ba,且 2(2) 1 ab ab ,即 4a ,8b 时成立 2(2)44 2(2)2(4)2(2.4)16 ababa b abab abbaba ,等号在2ba,且 2(2) 1 ab ab ,即4a ,8b 时成立 综上所述,216ab.

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