1、1 达州市普通高中 2020 届第三次诊断性测试 数学试题（理科） 注注意意事事项项： 1 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上， 写在本试卷无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一一、选选择择题题（本本题题共共 12 小小题题，每每小小题题 5 分分，共共计计 60 分分，在在每每小小题题给给出出的的四四个个选选项项中中，只只 有有一一项项是是符符合合题题目目要要求求的的） 1已知集合11Axx ，ln
2、1Bxx，则AB A1,eB0,1C0,eD0,1 2复数 1 ai zaR i 是纯虚数，则a A1B2C3D4 3已知命题:p ab，命题 22 :q ab.pq是 的 A充分必要条件B充分不必要条件 C必要不充分条件D既不充分也不必要条件 4二项式 2 1 ()nx x 展开式中，只有第 4 项的二项式系数最大，则该展开式的常数项是 A15B20C15D20 5在锐角ABC 中，如果cos212sin2AA ，则tan A A5B 5 2 C2D 1 2 6在ABC 中，角, ,A B C的对边分别是, ,ca b， 222 abcbc，sin2 sinaBcA.则B A 6 B 4 C
3、 3 D 2 7如图，S 是圆锥的顶点，AB 是底面圆的直径，ASBS，M 是 线段 AS 上的点（不与端点 A，S 重合） ，N 是底面圆周上的动点， 2 则直线 BS 与 MN 不能 A异面B相交C平行D垂直 8若抛物线 2 16xy的焦点到双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 渐近线的距离是2 2，则该双 曲线的离心率为 A2B2C3D5 9有 3 人同时从底楼进入同一电梯，他们各自随机在第 2 至第 7 楼的任一楼走出电梯.如果 电梯正常运行，那么恰有两人在第 4 楼走出电梯的概率是 A 1 72 B 1 12 C 5 72 D 5 216 10在ABC 中，1AB ，
4、2 3 A ，ABtAC tR uuu ruuu r 的最小值是 A 3 2 B 2 2 C 1 2 D 3 3 11 SAB 是边长为 1 的正三角形， 多边形 ABCDEF 是正六边形， 平面 SAB平面 ABCDEF， 若六棱锥 S-ABCDEF 的所有顶点都在球 O 上，则球 O 的表面积为 A 16 3 B 13 3 C5D4 12如图，函数( )15sin0f xx的图象与它在原点 O 右侧的第二条对称轴 CD 交于点 C，A 是( )f x图象在原点左侧与x轴的第一个交点，点 B 在图象上， 5 9 ABAD ， ABBC.则 A 9 B 2 9 C 3 D 2 3 二二、填填空
5、空题题：本本题题共共 4 小小题题，每每小小题题 5 分分，共共计计 20 分分.把把答答案案填填在在题题中中的的横横线线上上 13计算 ln2 2 3 1 lg2lg5 (3 3) e _. 3 14设, x y满足约束条件 20, 0, 20, y xy xy 则2xy的最大值是_. 152020 年 4 月 16 日，某州所有 61 个社区都有新冠病毒感染确诊病例，第二天该州新增 这种病例 183 例.这两天该州以社区为单位的这种病例数的中位数，平均数，众数，方 差和极差 5 个特征数中，一定变化的是_（写出所有的结果） 16已知 32 ( )31f xxa xb是奇函数， ( ),0,
6、 ( ) ln(),0, f x x g x xb x 若 4 ( )2g xa恒成立，则 实数a的取值范围是_. 三三、解解答答题题：共共 70 分分.解解答答应应写写出出文文字字说说明明、证证明明过过程程或或演演算算步步骤骤.第第 1721 题题为为必必考考题题， 每每个个试试题题考考生生都都必必须须作作答答。第第 22、23 题题为为选选考考题题，考考生生根根据据要要求求作作答答。 （一一）必必考考题题：共共 60 分分. 17 （12 分） 已知数列 n a的通项公式为 1 11611 1 = 222 nn n n n a . （1）求写出数列 n a的前 6 项； （2）求数列 n
7、a前 2n 项中所有奇数项和S奇与所有偶数项和S偶. 18.（12 分） 设点 P，Q 的坐标分别为 2 2 0,， 2 2 0 ,.直线 PM，QM 相交于点 M，且它们的斜 率分别是 1212 1 , 2 k k k k . （1）求点 M 的轨迹 C 的方程； （2）与圆 22 2xy相切于点11 ,的直线l交 C 于点 A，B，点 D 的坐标是2 0 ,，求 ABADBD. 4 19 （12 分） 某城市 9 年前分别同时开始建设物流城和湿地公园， 物 流城 3 年建设完成，建成后若年投入x亿元，该年产生 的经济净效益为2ln5x 亿元；湿地公园 4 年建设完 成，建成后的 5 年每年
8、投入见散点图.公园建成后若年 投入x亿元，该年产生的经济净效益为3x 亿元. （1）对湿地公园，请在 2 ,xknb xknb中选择一个合适模型，求投入额x与投入年份 n 的回归方程； （2）从建设开始的第 10 年，若对物流城投入 0.25 亿元，预测这一年物流城和湿地公园哪 个产生的年经济净效益高？请说明理由. 参考数据及公式：0.336x , 5 1 6.22 ii i n x ,当 2 tn时；11t ， 5 2 1 979 i i t ，回归方程 中的 5 1 29.7 ii i t x ；回归方程 r ksb斜率与截距 1 2 2 1 m i i i m i i s rms r k
9、 sms ， brks. 20 （12 分） 已知 M，N 是平面 ABC 两侧的点，三棱锥MABC所有棱长是 2，3,AN ， 5NBNC，如图. （1）求证：AM/平面 NBC； （2）求平面 MAC 与平面 NBC 所成锐二面角的余弦。 5 21 （12 分） （1）求证：当32x 时， 7 5 2 x e x ； （2）若函数 2 2 ( ) x e f xax x 有三个零点，求实数a的取值范围. （二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分. 22 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 （10 分） 以直角坐标系xOy的坐标原
10、点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线C的 极坐标方程是 22 2cos2 sin10 . （1）求曲线C直角坐标方程； （2）射线 3 与曲线C相交于点,A B,直线 1 2 :() 3 2 2 xt lt yt 为参数与曲线C相交于 点,D E,求ABDE. 23 【选修 4-5：不等式选讲】 （10 分） 设( )=13f xxx. （1）对一切xR,不等式( )f xm恒成立，求实数m的取值范围； （2）已知0,0,ab( )f x最大值为 M，22ab Mab，且 22 4128ab，求证： 216ab. 理科数学答案 第 1 页(共 4 页) 达州市达州市普通高中普通高
11、中 20202020 届第届第三三次诊断性测试次诊断性测试 理理科科数学数学参考答案参考答案 评分说明：评分说明： 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解答与本解答不同，可根据试 题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则。 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题 的内容和难度， 可视影响的程度决定后继部分的给分， 但不得超过该部分正确解答应得分 数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再得分。 3解答右端所注分数，表示该生正确做到这一步应该得的累加分数。 4只给整数分数。选择题不给中间分。 一、一、选择选择题题： 1. D 2. A 3
12、.D 4.C 5.D 6.D 7.C 8. B 9. C 10. A 11.B 12.B 二、填空题二、填空题：本题共：本题共 4 小题，小题，每小题每小题 5 分，共分，共 20 分分 130 1410 15平均数 16(, 10 1,) 三、解答题三、解答题：共共 70 分分解答应写出解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤文字说明、证明过程或演算步骤 17解：(1)由 1 1 ( 1) (6)1 ( 1)1 222 nn n n n a 知： 1 1 2 a ， 2 4a ， 3 3 11 28 a ， 4 2a ，5 5 11 232 a ， 6 0a (2)由 1 1 ( 1) (6)
13、1 ( 1)1 222 nn n n n a 得， 21 21 1 2 n n a ， 2 26 n an， 21 n a 是首项为 1 2 ， 公比为 1 4 的等比数列， 2 n a是首项为4， 公差为2的等差数列， 11 (1) 22 24 1 33 4 1 4 n n S 奇 ， 2 (426) 5 2 nn Snn 偶 18解：(1)设点M的坐标为( , )x y，由题意得， 1 (2 2) 22 22 2 yy x xx ， 化简得轨迹C的方程为 22 280(2 2)xyx ，即 22 1(2 2) 84 xy x (2)过切点( 1,1)和圆心(0,0)的直线的斜率为 1 ，
14、切线l斜率为1 ， 切线l的方程为2yx l与x轴的交点坐标是( 2,0)，是轨迹C的左焦点 (2,0)D为轨迹C的右焦点， 所以，根据椭圆的性质，| 8 2ABADBD 19解:(1)根据散点图，应该选择模型 2 xknb 理科数学答案 第 2 页(共 4 页) 令 2 tn，则 5 1 52 2 1 5 29.75 11 0.336 0.03 9795 11 5 ii i i i t xt x k tt ， 0.3360.03 110.006bxkt ， 所以，所求回归方程是0.030.006xt，即 2 0.030.006xn (2)物流城第10年的年经济净效益为2ln0.25 5 54
15、ln2 亿元； 湿地公园第10年的投入约为 2 0.03 60.0061.086亿元，该年的经济效益为 1.08634.086 亿元 因4.08654ln2 ，所以，该年湿地公园产生的年经济净效益高 20(1)证明：记线段BC中点为D，分别连结AD，MD,ND由条件得ABACMB 2MC，5NBNC， BCAD，BCMD，BCND AD与MD是平面MAD内两相交直线，AD与ND是平面NAD内两相交直线， BC 平面MAD，BC 平面NAD 平面MAD与平面NAD重合 记线段ND的中点为O，连结AO 根据条件可得，3ANMD，2AMND， 四边形ANDM是平行四边形，即AMND AM 平面NBC
16、，ND平面NBC， 所以，AM平面NBC (2)解：由(1)知，平面NAD 平面NBC 记线段ND的中点为O，连结AO 根据条件得，3ADAN， AOND， 即AO 平面NBC 以过O平行BC的直线为x轴， 分别以直线OD，OA 为y和z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz (0,0, 2)A，( 1,1,0)C ，(0,2, 2)M， ( 1,1,2)AC ，(0,2,0)AM 设平面MAC的一个法向量为( , , )x y zn，则ACn，AMn，即0ACn， 0AMn， 20, 20. xyz y 不妨取1z ，得( 2,0, 1)n 23 cos, 323 | | OA OA OA
17、n n n 因OA是平面NBC的一个法向量，所以，平面MAC与平面NBC所成锐二面角的余弦为 3 3 21(1)证明：设 5 e ( ) x g x x ，则 6 e (5) ( ) x x g x x ， 当5x 时，( )0g x ，( )g x递增 x y O D A B C M N z 理科数学答案 第 3 页(共 4 页) 当32x时， 3232 7 555 5 ee2 ( )(32)2 32(2 ) x g xg x 所以，当32x时， 7 5 e 2 x x (2)解：函数 2 2 e ( ) x f xax x 的定义域为( ,0)(0,)U 由 ( )0f x 得， 4 ex
18、 a x 设 4 e ( ) x h x x ，则函数的定义域为( ,0)(0,)U ，且 5 e (4) ( ) x x h x x ， 当0x ，或4x 时， ( )0h x ，( ) h x单调递增；当04x 时， ( )0h x ，( ) h x单调 递减 所以，当0x 时，( ) h x有极小值，且 4 e ( )= (4) 256 h xh 极小 当4x 时， 4 e ( )( 4)(4) 256 h xhh ； 当40x， 或04x时， 4 44 e1 ( ) (e ) h x xx 所以， 对0m，当 4 1 0 e x m ， 或 4 1 0 e x m 时，都有 4 1 (
19、 ) (e ) h xm x ； 当32x时，由(1)得， 7 4 e ( )2 x h xx x 所以，对0m，当 7 max32, 2 m x 时，都 有 7 ( )2h xxm 综上所述，实数a的取值范围是 4 e (,) 256 22解：(1)将cosx，siny代入方程 22 2cos2 sin10 得 2 2210xy 所以，曲线C的直线坐标方程是 2 2210xy ，即 2 1 2 yx (2)设 11 (,)A ， 22 (,)B ，在方程 22 2cos2 sin10 中，令 3 得 2 2 320， 2 ( 2 3)4 240 ， 12 2 3， 12 2， 2 12121
20、2 | |()42AB 设点D，E在直线l中对应该的参数分别是 1 t， 2 t，将 1 2 xt ， 3 2 2 yt代入方程 2 2210xy 并化简，得 2 2 360tt， 同上可得，| 6DE . 所以，| | 12ABDE 理科数学答案 第 4 页(共 4 页) 23解：(1) 4, 1, ( )1322, 13, 4, 3. x f xxxxx x 所以，实数m的取值范围是(, 4 (2)由(1)知，4M 由(2)2ab Mab得， 2(2) 1 ab ab 2222 211(2 )212816abab，等号在2ba，且 2(2) 1 ab ab ，即 4a ，8b 时成立 2(2)44 2(2)2(4)2(2.4)16 ababa b abab abbaba ，等号在2ba，且 2(2) 1 ab ab ，即4a ，8b 时成立 综上所述，216ab.
