1、平面向量的数量积练习题一、选择题1已知|b|3，a在b方向上的投影是，则ab为 ()C3D2解析：由数量积的几何意义知所以ab32.答案：D2设向量a，b满足|ab|，|ab|，则ab()A1B2C3D5解析：因为|ab|2(ab)2a2b22ab10，|ab|2(ab)2a2b22ab6，两式相减得：4ab4，所以ab1.答案：A3已知向量a，b满足|a|2，|b|1，ab1，则向量a与ab的夹角为()解析：|ab| ，设向量a与ab的夹角为，则cos ，又0，所以.答案：A4(2015陕西卷)对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是()A|ab|a|b| B|ab|a|b|C(ab)2|
2、ab|2 D(ab)(ab)a2b2解析：根据ab|a|b|cos ，又cos 1，知|ab|a|b|，A恒成立当向量a和b方向不相同时，|ab|a|b|，B不恒成立根据|ab|2a22abb2(ab)2，C恒成立根据向量的运算性质得(ab)(ab)a2b2，D恒成立答案：B5若向量a与b的夹角为60，|b|4，且(a2b)(a3b)72，则a的模为()A2B4C6D12解析：因为(a2b)(a3b)a2ab6b2|a|2|a|b|cos 606|b|2|a|22|a|9672，所以|a|22|a|240，所以|a|6.答案：C6已知向量a(1，2)，b(x，4)，且ab，则|ab|()A5
3、B3 C2 D2解析：因为ab，所以42x0，所以x2，ab(1，2)(2，4)(3，6)，所以|ab|3.答案：B7(2015杭州模拟)如图，在圆O中，若弦AB3，弦AC5，则的值是()A8 B1 C1 D8答案D解析取BC的中点D，连接AD、OD，则有ODBC，()，()()()(22)(5232)8，选D8(2015福建卷)设a(1，2)，b(1，1)，cak b若bc，则实数k的值等于()A B 解析：cak b(1k，2k)，又bc，所以1(1k)1(2k)0，解得k.答案：A9已知A、B、C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1，2)、B(4，1)、C(0，1)，则ABC的形状为(
4、)A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D以上均不正确解析：(1，3)，(3，1)因为330，所以ACAB.又因为|，|，所以ACAB.所以ABC为等腰直角三角形 答案：C10点O是ABC所在平面上一点，且满足，则点O是ABC的()A重心 B垂心 C内心 D外心解析：因为，所以()0，即0, 则.同理，.所以O是ABC的垂心答案：B11在ABC所在的平面内有一点P，满足，则PBC与ABC的面积之比是() 解析：由，得0，即2，所以点P是CA边上的三等分点，如图所示 故.答案：C12O是平面ABC内的一定点，P是平面ABC内的一动点，若0，则O为ABC的()A内心 B外心 C重心 D垂心
5、解析：因为()()0，则()()0，所以220，所以|.同理可得|，即|.所以O为ABC的外心答案：B二、填空题13如图所示，ABC中C90且ACBC4，点M满足，则_解析：()4.答案：414.如图所示，已知点A(1，1)，单位圆上半部分上的点B满足0，则向量的坐标为_解析：设B(x，y)，y0，所以.答案：15在ABC中， a， b，c，且满足：|a|1，|b|2，|c|，则abbcca的值为_解析：在ABC中，因为|a|1，|b|2，|c|，所以ABC为直角三角形，且BCBA，以BA，BC为x，y轴建立坐标系，则B(0，0)，A(，0)，C(0，1)，所以a(0，1)，b(，1)，c(，
6、0)所以abbcac1304.答案：416在ABC中，已知|4，且 8，则这个三角形的形状是_解析：因为44cos A8，所以cos A，所以A，所以ABC是正三角形答案：正三角形三、解答题17已知向量a(2，0)，b(1，4)(1)求|ab|的值；(2)若向量k ab与a2b平行，求k的值；(3)若向量k ab与a2b的夹角为锐角，求k的取值范围解：(1)因为a(2，0)，b(1，4)，所以ab(3，4)，则|ab|5.(2)因为a(2，0)，b(1，4)，所以k ab(2k1，4)，a2b(4，8)；因为向量k ab与a2b平行，所以8(2k1)16，则k.(3)因为a(2，0)，b(1，
7、4)，所以k ab(2k1，4)，a2b(4，8)；因为向量k ab与a2b的夹角为锐角，所以解得k或k.18.如图所示，ABCD是正方形，M是BC的中点，将正方形折起使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形面积为64，求AEM的面积解：如图所示，建立直角坐标系，显然EF是AM的中垂线，设AM与EF交于点N，则N是AM的中点，又正方形边长为8，所以M(8，4)，N(4，2)设点E(e，0)，则(8，4)，(4，2)，(e，0)，(4e，2)，由得0，即(8，4)(4e，2)0，解得e5，即|5.所以SAEM|5410.19设向量a，b满足|a|b|1，|3ab|.(1)求|a3b|的值；(2)求
8、3ab与a3b夹角的正弦值解：(1)由|3ab|，得(3ab)25，所以9a26abb25.因为a2|a|21，b2|b2|1，所以96ab15.所以ab.所以(a3b)2a26ab9b2169115.所以|a3b|.(2)设3ab与a3b的夹角为.因为(3ab)(a3b)3a28ab3b231831.所以cos .因为0 180，所以sin .所以3ab与a3b夹角的正弦值为.20在四边形ABCD中，已知AB9，BC6，2.(1)若四边形ABCD是矩形，求的值；(2)若四边形ABCD是平行四边形，且6，求与夹角的余弦值解：(1)因为四边形ABCD是矩形，所以0.由2，得，.所以()()236
9、8118.(2)由题意，所以2361818.又6，所以186，所以36.又|cos 96cos 54cos ，所以54cos 36，即cos .所以与夹角的余弦值为.21 (2015济宁模拟)已知向量a(cos，sin)，0，向量b(，1)(1)若ab，求的值；(2)若|2ab|m恒成立，求实数m的取值范围解析(1)ab，cossin0，得tan，又0，.(2)2ab(2cos，2sin1)，|2ab|2(2cos)2(2sin1)288(sincos)88sin()，又0，sin()，1，|2ab|2的最大值为16.|2ab|的最大值为4.又|2ab|4.22(本题满分12分)(2015厦门
10、模拟)已知向量a(cos，sin)，b(cosx，sinx)，c(sinx2sin，cosx2cos)，其中0x.(1)若，求函数f(x)bc的最小值及相应的x的值；(2)若a与b的夹角为，且ac，求tan2的值解析b(cosx，sinx)，c(sinx2sin，cosx2cos)，.f(x)bccosxsinx2cosxsinsinxcosx2sinxcos2sinxcosx(sinxcosx)令tsinxcosx(x)，则t(1，)，且2sinxcosxt21.yt2t1(t)2，t(1，)当t时，ymin，此时sinxcosx.即sin(x)，sin(x)，x，x.x，即x.所以函数f(x)的最小值为，相应的x的值为.(2)a与b的夹角为，coscoscosxsinsinxcos(x)，0x，0x.x，ac，cos(sinx2sin)sin(cosx2cos)0，化简得sin(x)2sin20.代入x得sin(2)2sin2sin2cos20，tan2.
