1、几何概型练习题1在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取点则该点落在三棱锥A1ABC内的概率是()A B C D2如图，在一个边长为a、b(ab0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底边分别为与，高为b.向该矩形内随机地投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为()A B C D3在区间0,1内任取两个数，则这两个数的平方和也在0,1内的概率是()A B C D4某人从甲地去乙地共走了500 m，途中要过一条宽为x m的河流，他不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，物品不掉在河里就能找到，已知该物品能被找到的概率为，则河宽为（ )A16 m B20 m C8 m D10 m5一个路口的红绿
2、灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当某人到达路口时，看见的是红灯的概率是_；看见的不是黄灯的概率是_6取一根长度为4 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少于1 m的概率是_7点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率_ 8已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1 000粒黄豆，落在阴影部分的黄豆为600粒，则可以估计出阴影部分的面积为_9点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到顶点A的距离|PA|1的概率为_10利用计算机产生01之间的均匀随机数a，则事件“3a10”发生的概率为_
3、11一只蚂蚁在三边边长分别为3、4、5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为_12在一个球内挖去一个几何体，其三视图如图在球内任取一点P，则点P落在剩余几何体上的概率为_13在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20 cm2的概率为_14在1升高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，含有麦锈病种子的概率是 ；从中随机取出30毫升，含有麦锈病种子的概率是 15一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，
4、则蜜蜂“安全飞行”的概率为_16在区间上随机取一个数x，cos x的值介于0至之间的概率为_17. 如图所示，设M是半径为R的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点N，连接MN，则弦MN的长超过的概率为_18如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是_19已知正三棱锥SABC的底边长为4，高为3，在三棱锥内任取一点P，使得 VPABC VSABC的概率是 20 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，求使四棱锥MABCD的体积小于的概率21(1)在半径为1的圆的一条直径上任取一点，过该点
5、作垂直于直径的弦，其长度超过该圆内接正三角形的边长的概率是多少？(2)在半径为1的圆内任取一点，以该点为中点作弦，问其长超过该圆内接正三角形的边长的概率是多少？(3)在半径为1的圆周上任取两点，连成一条弦，其长超过该圆内接正三角形边长的概率是多少？23设关于x的一元二次方程x22axb20.若a是从区间0,3任取的一个数，b是从区间0,2任取的一个数，求方程有实根的概率24设AB6，在线段AB上任取两点(端点A，B除外)，将线段AB分成了三条线段，(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率；(2)若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率答
6、案：1在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取点则该点落在三棱锥A1ABC内的概率是()A B C D答案B解析体积型几何概型问题P.2如图，在一个边长为a、b(ab0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底边分别为与，高为b.向该矩形内随机地投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为()A B C D答案C解析S矩形ab.S梯形bab.故所投的点落在梯形内部的概率为P.3(20132014山东济南模拟)在区间0,1内任取两个数，则这两个数的平方和也在0,1内的概率是()A B C D答案A解析设在0,1内取出的数为a，b，若a2b2也在0,1内，则有0a2b21.如右图，试验的全部结果所构成的区域为边
7、长为1的正方形，满足a2b2在0,1内的点在单位圆内(如阴影部分所示)，故所求概率为.4某人从甲地去乙地共走了500 m，途中要过一条宽为x m的河流，他不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，物品不掉在河里就能找到，已知该物品能被找到的概率为，则河宽为()A16 m B20 m C8 m D10 m答案B解析物品在途中任何一处丢失的可能性是相等的，所以符合几何概型的条件找到的概率为，即掉到河里的概率为，则河流的宽度占总距离的，所以河宽为50020(m)二、填空题5一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当某人到达路口时看见的是红灯的概率是_解析以
8、时间的长短进行度量，故P.答案6取一根长度为4 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少于1 m的概率是_解析把绳子4等分，当剪断点位于中间两部分时，两段绳子都不少于1 m，故所求概率为P.答案7点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为_解析如图可设与的长度等于1，则由几何概型可知其整体事件是其周长3，则其概率是.答案8已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1 000粒黄豆，落在阴影部分的黄豆为600粒，则可以估计出阴影部分的面积为_解析设所求的面积为S，由题意，得，则S36.答案369(2014长沙联考)点P在边长
9、为1的正方形ABCD内运动，则动点P到顶点A的距离|PA|1的概率为_解析如图，满足|PA|1的点P在如图所示阴影部分运动，则动点P到顶点A的距离|PA|1的概率为.答案10(2013福建)利用计算机产生01之间的均匀随机数a，则事件“3a10”发生的概率为_答案分析解不等式，求出a的取值范围，算出此范围与所给区间的比值即可解析由题意，得0a，所以根据几何概型的概率计算公式，得事件“3a10”发生的概率为.11一只蚂蚁在三边边长分别为3、4、5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为_答案解析如图所示，ABC中，AB3，AC4，BC5，则ABC的周长为3451
10、2.设某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1为事件A，则P(A).12在一个球内挖去一个几何体，其三视图如图在球内任取一点P，则点P落在剩余几何体上的概率为_答案解析由三视图可知，该几何体是球与圆柱的组合体，球半径R5，圆柱底面半径r4，高h6，故球体积VR3，圆柱体积V1r2h96，所求概率P.13(2012辽宁卷改编)在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20 cm2的概率为_解析设ACx cm,0x12，则CB(12x)cm，要使矩形面积大于20 cm2，只要x(12x)20，则x212x200，解得2x10，所求概
11、率为P.答案14在1升高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，含有麦锈病种子的概率是 ；从中随机取出30毫升，含有麦锈病种子的概率是 。解析1升1 000毫升，记事件A：“取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子”则P(A)，即取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子的概率为.记事件B：“取30毫升种子含有带麦锈病的种子”则P(B)，即取30毫升种子含有带麦锈病的种子的概率为.15一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为_解析由已知条件，可知蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体
12、内飞行，结合几何概型，可得蜜蜂“安全飞行”的概率为P.答案16(2014淮安模拟)在区间上随机取一个数x，cos x的值介于0至之间的概率为_解析由0cos x，x，可得x，或x，结合几何概型的概率公式可得所求的概率为P.答案17. 如图所示，设M是半径为R的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点N，连接MN，则弦MN的长超过R的概率为_解析如图，在圆上过圆心O作与OM垂直的直径CD，则MDMCR，当点N不在半圆弧上时，MNR，故所求的概率P(A).答案18(2012湖北卷改编)如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的
13、概率是_解析如图，设OA2，S扇形AOB，SOCD11，S扇形OCD，在以OA为直径的半圆中，空白部分面积S121，所有阴影面积为2.故所求概率P1.答案119(2014徐州二模)已知正三棱锥SABC的底边长为4，高为3，在三棱锥内任取一点P，使得VPABCVSABC的概率是_解析三棱锥PABC与三棱锥SABC的底面相同，VPABCVSABC就是三棱锥PABC的高小于三棱锥SABC的高的一半，过高的中点作一平行底面的截面，这个截面下任取一点都符合题意，设底面ABC的面积为S，三棱锥SABC的高为h，则所求概率为：P.答案三、解答题20已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机
14、取点M，求使四棱锥MABCD的体积小于的概率分析由题目可获取以下主要信息：正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，M为其内一点；求四棱锥MABCD的体积小于的概率解答本题的关键是结合几何图形分析出概率模型解析如图，正方体ABCDA1B1C1D1，设MABCD的高为h，则S四边形ABCDh，又S四边形ABCD1，则h|AB|，由几何概率公式知P(C).22设关于x的一元二次方程x22axb20.若a是从区间0,3任取的一个数，b是从区间0,2任取的一个数，求方程有实根的概率解设事件A为“方程x22axb20有实根”当a0，b0时，方程x22axb20有实根的充要条件为ab.试验的全部结果所构成
15、的区域为(a，b)|0a3,0b2，构成事件A的区域为(a，b)|0a3,0b2，ab，根据条件画出构成的区域(略)，可得所求的概率为P(A).23设AB6，在线段AB上任取两点(端点A，B除外)，将线段AB分成了三条线段，(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率；(2)若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率解(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度所有可能情况是1,1,4；1,2,3；2,2,2，共3种情况，其中只有三条线段长为2,2,2时能构成三角形，故构成三角形的概率为P.(2)设其中两条线段长度分别为x，y，则第三条线段长度为6xy，故全部试验结果所构成的区域为即所表示的平面区域为OAB.若三条线段x，y,6xy能构成三角形，则还要满足即为所表示的平面区域为DEF，由几何概型知，所求概率为P.
