1、初三数学圆的综合的专项培优 易错 难题练习题一、圆的综合1如图，点A、B、C分别是O上的点， CD是O的直径，P是CD延长线上的一点，AP=AC（1）若B=60，求证：AP是O的切线；（2）若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD=4，求BEAB的值【答案】（1）证明见解析；（2）8【解析】（1）求出ADC的度数，求出P、ACO、OAC度数，求出OAP=90，根据切线判定推出即可；（2）求出BD长，求出DBE和ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案试题解析：连接AD，OA，ADC=B，B=60，ADC=60，CD是直径，DAC=90，ACO=180-90-60=30，AP=AC，OA=O
2、C，OAC=ACD=30，P=ACD=30，OAP=180-30-30-30=90，即OAAP，OA为半径，AP是O切线（2）连接AD，BD，CD是直径，DBC=90，CD=4，B为弧CD中点，BD=BC=，BDC=BCD=45，DAB=DCB=45，即BDE=DAB，DBE=DBA，DBEABD，BEAB=BDBD=考点：1切线的判定；2相似三角形的判定与性质2如图，A过OBCD的三顶点O、D、C，边OB与A相切于点O，边BC与O相交于点H，射线OA交边CD于点E，交A于点F，点P在射线OA上，且PCD=2DOF，以O为原点，OP所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，点B的坐标为（0，2）（1
3、）若BOH=30，求点H的坐标；（2）求证：直线PC是A的切线；（3）若OD=，求A的半径【答案】（1）（1，）；（2）详见解析；（3）.【解析】【分析】（1）先判断出OH=OB=2，利用三角函数求出MH，OM，即可得出结论；（2）先判断出PCD=DAE，进而判断出PCD=CAE，即可得出结论；（3）先求出OE3，进而用勾股定理建立方程，r2-（3-r）2=1，即可得出结论【详解】（1）解：如图，过点H作HMy轴，垂足为M四边形OBCD是平行四边形，B=ODC四边形OHCD是圆内接四边形OHB=ODCOHB=BOH=OB=2在RtOMH中，BOH=30，MH=OH=1，OM=MH=，点H的坐标
4、为（1，），（2）连接ACOA=AD，DOF=ADODAE=2DOFPCD=2DOF，PCD=DAEOB与O相切于点AOBOFOBCDCDAFDAE=CAEPCD=CAEPCA=PCD+ACE=CAE+ACE=90直线PC是A的切线；（3）解：O的半径为r在RtOED中，DE=CD=OB=1，OD= ，OE3OA=AD=r，AE=3r在RtDEA中，根据勾股定理得，r2（3r）2=1解得r=【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了平行四边形的性质，圆内接四边形的性质，勾股定理，切线的性质和判定，构造直角三角形是解本题的关键3在平面直角坐标中，边长为2的正方形的两顶点、分别在轴、轴的正半轴上，点在原
5、点.现将正方形绕点顺时针旋转，当点一次落在直线上时停止旋转，旋转过程中，边交直线于点，边交轴于点（如图）.（1）求边在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当和平行时，求正方形旋转的度数；（3）设的周长为，在旋转正方形的过程中，值是否有变化？请证明你的结论.【答案】（1）/2（2）22.5(3)周长不会变化，证明见解析【解析】试题分析：（1）根据扇形的面积公式来求得边OA在旋转过程中所扫过的面积；（2）解决本题需利用全等，根据正方形一个内角的度数求出AOM的度数；（3）利用全等把MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子试题解析：（1）A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，直线y=x与y
6、轴的夹角是45，OA旋转了45OA在旋转过程中所扫过的面积为（2）MNAC，BMN=BAC=45，BNM=BCA=45BMN=BNMBM=BN又BA=BC，AM=CN又OA=OC，OAM=OCN，OAMOCNAOM=CON=（AOC-MON）=（90-45）=22.5旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为45-22.5=22.5（3）在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化证明：延长BA交y轴于E点，则AOE=45-AOM，CON=90-45-AOM=45-AOM，AOE=CON又OA=OC，OAE=180-90=90=OCNOAEOCNOE=ON，AE=CN又MOE=MO
7、N=45，OM=OM，OMEOMNMN=ME=AM+AEMN=AM+CN，p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化考点：旋转的性质.4如图，AB为O的直径，点D为AB下方O上一点，点C为弧ABD的中点，连接CD，CA（1）求证：ABD=2BDC；（2）过点C作CHAB于H，交AD于E，求证：EA=EC；（3）在（2）的条件下，若OH=5，AD=24，求线段DE的长度 【答案】（1）证明见解析；（2）见解析；（3）.【解析】【分析】（1）连接AD，如图1，设BDC=，ADC=，根据圆周角定理得到CAB=BDC=，由AB为O直径，得到AD
8、B=90，根据余角的性质即可得到结论；（2）根据已知条件得到ACE=ADC，等量代换得到ACE=CAE，于是得到结论；（3）如图2，连接OC，根据圆周角定理得到COB=2CAB，等量代换得到COB=ABD，根据相似三角形的性质得到OH=5，根据勾股定理得到AB=26，由相似三角形的性质即可得到结论【详解】（1）连接AD如图1，设BDC=，ADC=，则CAB=BDC=，点C为弧ABD中点，=，ADC=DAC=，DAB=，AB为O直径，ADB=90，+=90，=90，ABD=90DAB=90（），ABD=2，ABD=2BDC；（2）CHAB，ACE+CAB=ADC+BDC=90，CAB=CDB，A
9、CE=ADC，CAE=ADC，ACE=CAE，AE=CE；（3）如图2，连接OC，COB=2CAB，ABD=2BDC，BDC=CAB，COB=ABD，OHC=ADB=90，OCHABD，OH=5，BD=10，AB=26，AO=13，AH=18，AHEADB，即=，AE=，DE=【点睛】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键5如图，在ABP中,C是BP边上一点,PAC=PBA,O是ABC的外接圆,AD是O的直径,且交BP于点E.（1）求证：PA是O的切线； （2）过点C作CFAD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AGAB=12，求AC
10、的长【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】试题分析：（1）根据圆周角定理得出ACD=90以及利用PAC=PBA得出CAD+PAC=90进而得出答案；（2）首先得出CAGBAC，进而得出AC2=AGAB，求出AC即可.试题解析：（1）连接CD,如图,AD是O的直径,ACD=90,CAD+D=90，PAC=PBA，D=PBA，CAD+PAC=90，即PAD=90，PAAD，PA是O的切线；（2）CFAD，ACF+CAF=90，CAD+D=90，ACF=D，ACF=B，而CAG=BAC，ACGABC，AC：AB=AG：AC，AC2=AGAB=12，AC=26如图，四边形ABCD内接于O，对角线AC
11、为O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB， DF（1）求证：DF是O的切线；（2）若DB平分ADC，AB=DE=41，求DE的长【答案】(1)见解析;(2) 【解析】分析：（1）直接利用直角三角形的性质得出DF=CF=EF，再求出FDO=FCO=90，得出答案即可； （2）首先得出AB=BC即可得出它们的长，再利用ADCACE，得出AC2=ADAE，进而得出答案详解：（1）连接OD OD=CD，ODC=OCD AC为O的直径，ADC=EDC=90 点F为CE的中点，DF=CF=EF，FDC=FCD，FDO=FCO 又ACCE，FDO=FCO=90，DF是O
12、的切线 （2）AC为O的直径，ADC=ABC=90 DB平分ADC，ADB=CDB，=，BC=AB=5在RtABC中，AC2=AB2+BC2=100 又ACCE，ACE=90，ADCACE，=，AC2=ADAE设DE为x，由AD：DE=4：1，AD=4x，AE=5x，100=4x5x，x=，DE= 点睛：本题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定与性质，正确得出AC2=ADAE是解题的关键7如图，M与菱形ABCD在平面直角坐标系中，点M的坐标为（3，1），点A的坐标为（2，），点B的坐标为（3，0），点C在x轴上，且点D在点A的左侧（1）求菱形ABCD的周长；（2）若M沿x轴向右以每秒2个单
13、位长度的速度平移，同时菱形ABCD沿x轴向右以每秒3个单位长度的速度平移，设菱形移动的时间为t（秒），当M与BC相切，且切点为BC的中点时，连接BD，求：t的值；MBD的度数；（3）在（2）的条件下，当点M与BD所在的直线的距离为1时，求t的值【答案】（1）8；（2）7；105；（3）t=6或6+【解析】分析：（1）根据勾股定理求菱形的边长为2，所以可得周长为8； （2）如图2，先根据坐标求EF的长，由EEFE=EF=7，列式得：3t2t=7，可得t的值； 先求EBA=60，则FBA=120，再得MBF=45，相加可得：MBD=MBF+FBD=45+60=105； （3）分两种情况讨论：作出距
14、离MN和ME，第一种情况：如图5由距离为1可知：BD为M的切线，由BC是M的切线，得MBE=30，列式为3t+=2t+6，解出即可； 第二种情况：如图6，同理可得t的值详解：（1）如图1，过A作AEBC于E 点A的坐标为（2，），点B的坐标为（3，0），AE=，BE=32=1，AB=2 四边形ABCD是菱形，AB=BC=CD=AD=2，菱形ABCD的周长=24=8； （2）如图2，M与x轴的切点为F，BC的中点为E M（3，1），F（3，0） BC=2，且E为BC的中点，E（4，0），EF=7，即EEFE=EF，3t2t=7，t=7；由（1）可知：BE=1，AE=，tanEBA=，EBA=60
15、，如图4，FBA=120 四边形ABCD是菱形，FBD=FBA=60 BC是M的切线，MFBC F是BC的中点，BF=MF=1，BFM是等腰直角三角形，MBF=45，MBD=MBF+FBD=45+60=105； （3）连接BM，过M作MNBD，垂足为N，作MEBC于E，分两种情况：第一种情况：如图5 四边形ABCD是菱形，ABC=120，CBD=60，NBE=60 点M与BD所在的直线的距离为1，MN=1，BD为M的切线 BC是M的切线，MBE=30 ME=1，EB=，3t+=2t+6，t=6； 第二种情况：如图6 四边形ABCD是菱形，ABC=120，DBC=60，NBE=120 点M与BD
16、所在的直线的距离为1，MN=1，BD为M的切线 BC是M的切线，MBE=60 ME=MN=1，RtBEM中，tan60=，EB=，3t=2t+6+，t=6+； 综上所述：当点M与BD所在的直线的距离为1时，t=6或6+ 点睛：本题是四边形和圆的综合题，考查了菱形的性质、圆的切线的性质和判定、特殊的三角函数值、等腰直角三角形的性质、动点运动问题，此类问题比较复杂，弄清动点运动方向、速度、时间和路程的关系，并与方程相结合，找等量关系，求出时间t的值8如图，O是ABC的内心，BO的延长线和ABC的外接圆相交于D，连结DC、DA、OA、OC，四边形OADC为平行四边形（1）求证：BOCCDA（2）若A
17、B=2，求阴影部分的面积 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】分析: （1）根据内心性质得1=2，3=4，则AD=CD，于是可判断四边形OADC为菱形，则BD垂直平分AC，4=5=6，易得OA=OC，2=3，所以OB=OC，可判断点O为ABC的外心，则可判断ABC为等边三角形，所以AOB=BOC=AOC=120，BC=AC，再根据平行四边形的性质得ADC=AOC=120，AD=OC，CD=OA=OB，则根据“SAS”证明BOCCDA；（2）作OHAB于H，如图，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到BOH=30，根据垂径定理得到BH=AH=AB=1，再利用含30度的直角三角形三边的
18、关系得到OH=BH=，OB=2OH=，然后根据三角形面积公式和扇形面积公式，利用S阴影部分=S扇形AOB-SAOB进行计算即可.详解:（1）证明：O是ABC的内心，2=3，5=6，1=2，1=3，由ADCO,AD=CO，4=6，BOCCDA（AAS）(2)由（1）得，BC=AC,3=4=6，ABC=ACBAB=ACABC是等边三角形O是ABC的内心也是外心OA=OB=OC设E为BD与AC的交点，BE垂直平分AC.在RtOCE中，CE=AC=AB=1，OCE=30，OA=OB=OC=AOC=120，=点睛: 本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的
19、圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点也考查了等边三角形的判定与性质和扇形面积的计算.9如图，A是以BC为直径的O上一点，ADBC于点D，过点B作O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连结CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P（1）求证：BF=EF：（2）求证：PA是O的切线；（3）若FG=BF，且O的半径长为3，求BD的长度.【答案】(1)证明见解析；(2) 证明见解析；（3）2【解析】分析：（1）利用平行线截三角形得相似三角形，得BFCDGC且FECGAC，得到对应线段成比例，再结合已知条件可得BF
20、=EF；（2）利用直角三角形斜边上的中线的性质和等边对等角，得到FAO=EBO，结合BE是圆的切线，得到PAOA，从而得到PA是圆O的切线；（3）点F作FHAD于点H，根据前两问的结论，利用三角形的相似性质即可以求出BD的长度详解：证明：(1)BC是圆O的直径，BE是圆O的切线，EBBC.又ADBC，ADBE.BFCDGC，FECGAC，=，=，=，G是AD的中点，DG=AG，BF=EF；(2)连接AO，AB.BC是圆O的直径，BAC=90，由(1)得：在RtBAE中，F是斜边BE的中点，AF=FB=EF，可得FBA=FAB，又OA=OB，ABO=BAO，BE是圆O的切线，EBO=90，FBA
21、+ABO=90，FAB+BAO=90，即FAO=90，PAOA，PA是圆O的切线；（3）过点F作FHAD于点H，BDAD，FHAD，FHBC，由(2)，知FBA=BAF，BF=AF.BF=FG，AF=FG，AFG是等腰三角形.FHAD，AH=GH，DG=AG，DG=2HG.即，FHBD，BFAD，FBD=90，四边形BDHF是矩形，BD=FH，FHBCHFGDCG，即，O的半径长为3，BC=6，BD=2.点睛：本题考查了切线的判定、勾股定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质.结合已知条件准确对图形进行分析并应用相应的图形性质是解题的关键.10如图，在RtABC中，AD平分BAC，交BC于点D
22、，点O在AB上，O经过A、D两点，交AC于点E，交AB于点F（1）求证：BC是O的切线；（2）若O的半径是2cm，E是弧AD的中点，求阴影部分的面积（结果保留和根号）【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）连接OD，只要证明ODAC即可解决问题；（2）连接OE，OE交AD于K只要证明AOE是等边三角形即可解决问题【详解】（1）连接ODOA=OD，OAD=ODAOAD=DAC，ODA=DAC，ODAC，ODB=C=90，ODBC，BC是O的切线（2）连接OE，OE交AD于K，OEADOAK=EAK，AK=AK，AKO=AKE=90，AKOAKE，AO=AE=OE，AOE是等边三角形
23、，AOE=60，S阴=S扇形OAESAOE22【点睛】本题考查了切线的判定、扇形的面积、等边三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型11在直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（2，0），以OA为边在第一象限内作等边OAB，C为x轴正半轴上的一个动点（OC2），连接BC，以BC为边在第一象限内作等边BCD，直线DA交y轴于E点（1）求证：OBCABD（2）随着C点的变化，直线AE的位置变化吗？若变化，请说明理由；若不变，请求出直线AE的解析式（3）以线段BC为直径作圆，圆心为点F，当C点运动
24、到何处时，直线EF直线BO；这时F和直线BO的位置关系如何？请给予说明【答案】（1）见解析；（2）直线AE的位置不变，AE的解析式为：；（3）C点运动到处时，直线EF直线BO；此时直线BO与F相切，理由见解析.【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可得到OB=AB，BC=BD，OBA=DBC，等号两边都加上ABC，得到OBC=ABD，根据“SAS”得到OBCABD.（2）先由三角形全等，得到BAD=BOC=60，由等边BCD，得到BAO=60，根据平角定义及对顶角相等得到OAE=60，在直角三角形OAE中，由OA的长，根据tan60的定义求出OE的长，确定出点E的坐标，设出直线AE的方程，把
25、点A和E的坐标代入即可确定出解析式.（3）由EAOB，EFOB，根据过直线外一点作已知直线的平行线有且只有一条，得到EF与EA重合，所以F为BC与AE的交点，又F为BC的中点，得到A为OC中点，由A的坐标即可求出C的坐标；相切理由是由F为等边三角形BC边的中点，根据“三线合一”得到DF与BC垂直，由EF与OB平行得到BF与OB垂直，得证.【详解】（1）证明：OAB和BCD都为等边三角形，OB=AB，BC=BD，OBA=DBC=60，OBA+ABC=DBC+ABC，即OBC=ABD，在OBC和ABD中， ,OBCABD.（2）随着C点的变化，直线AE的位置不变，OBCABD，BAD=BOC=60
26、，又BAO=60，DAC=60，OAE=60，又OA=2，在RtAOE中，tan60=，则OE=2，点E坐标为（0，-2），设直线AE解析式为y=kx+b，把E和A的坐标代入得： ，解得， ，直线AE的解析式为：.（3）C点运动到处时，直线EF直线BO；此时直线BO与F相切，理由如下：BOA=DAC=60，EAOB，又EFOB，则EF与EA所在的直线重合，点F为DE与BC的交点，又F为BC中点，A为OC中点，又AO=2，则OC=4，当C的坐标为（4，0）时，EFOB，这时直线BO与F相切，理由如下：BCD为等边三角形，F为BC中点，DFBC，又EFOB，FBOB，直线BO与F相切，【点睛】本题
27、考查了一次函数；三角形全等的判定与性质；等边三角形的性质和直线与圆的位置关系.熟练掌握相关性质定理是解题关键.12如图1，等腰直角ABC中，ACB=90，AC=BC，过点A，C的圆交AB于点D，交BC于点E，连结DE（1）若AD=7，BD=1，分别求DE，CE的长（2）如图2，连结CD，若CE=3，ACD的面积为10，求tanBCD（3）如图3，在圆上取点P使得PCD=BCD（点P与点E不重合），连结PD，且点D是CPF的内心请你画出CPF，说明画图过程并求CDF的度数设PC=a，PF=b，PD=c，若（a-c）（b-c）=8，求CPF的内切圆半径长【答案】（1）DE=1，CE=；（2）tan
28、BCD= ；（3）135；2.【解析】【分析】（1）由A、C、E、D四点共圆对角互补为突破口求解；（2）找BDF与ODA为对顶角，在O中，COD=2CAD，证明OCD为等腰直角三角形，从而得到EDC+ODA=45，即可证明CDF=135；（3）过点D做于点H，以D为圆心，DH为半径画圆，过点P做切线PF交CB的延长线于点F，结合圆周角定理得出CPD=CAD=45，再根据圆的内心是三角形三个内角角平分线的交点，得出CPF=90，然后根据角平分线性质得出，最后再根据三角形内角和定理即可求解；证明DCF+CFD=45，从而证明CPF是直角，再求证四边形PKDN是正方形，最后以PCF面积不变性建立等量
29、关系，结合已知（a-c）（b-c）=8，消去字母a，b求出c值，即求出CPF的内切圆半径长为c【详解】（1）由图可知：设BC=x在RtABC中，AC=BC由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，AB=AD+BD，AD=7，BD=1，x2+x2=82，解得：x=O内接四边形，ACD=90，ADE=90，EDB=90，B=45，BDE是等腰直角三形DE=DB，又DB=1，DE=1，又CE=BC-BE，CE=（2）如图所示：在DCB中过点D作DMBE，设BE=y，则DM=y，又CE=3，BC=3+y，SACB=SACD+SDCB，解得：y=2或y=-11（舍去）EM=1，CM=CE+ME=1+3=4，
30、又BCD=MCD，tanBCD=tanMCD，在RtDCM中，tanMCD=，tanBCD=（3）如下图所示：过点D做于点H，以D为圆心，DH为半径画圆，过点P做切线PF交CB的延长线于点FCAD=45，CPD=CAD=45，又点D是的内心，PD、CD、DF都是角平分线，FPD=CPD =45，PCD=DCF，PFD=CFDCPF=90PCF+PFC=90CDF=180-DCF-CFD F=90+45=135，即CDF的度数为135如下图所示过点D分别作DKPC，DMCF，DNPF于直线PC，CF和PF于点K，M，N三点，设PCF内切圆的半径为m，则DN=m，点D是PCF的内心，DM=DN=D
31、K，又DCF+CFD+FDC=180，FDC=45，DCF+CFD=45，又DC，DF分别是PCF和PFC的角平分线，PCF=2DCF，PFC=2DFC，PCF+PFC=90，CPF=90在四边形PKDN中，PND=NPK=PKD=90，四边形PKDN是矩形，又KD=ND，四边形PKDN是正方形又MBD=BDM=45，BDM=KDP，KDP=45PC=a，PF=b，PD=c，PN=PK=，NF=，CK=，又CK=CM，FM=FN，CF=CM+FM，CF=，又SPCF=SPDF+SPDC+SDCF，c），化简得：ab=-（），又若（a-c）（b-c）=8化简得：-（），将（）代入（）得：c2=8
32、，解得：，或（舍去），m=，即CPF的内切圆半径长为2【点睛】本题考查圆的内接四边形性质，圆的内心，圆心角、圆周角，同弧（或等弧）之间的相互关系，同时也考查直角三角形，勾股定理，同角或等角的三角函数值相等和三角形的面积公式，正方形，对顶角和整式的运算等知识点；难点是作辅助线和利用等式求CPF的内切圆半径长13如图，点A，B，C，D，E在O上，ABCB于点B，tanD=3，BC=2，H为CE延长线上一点，且AH=，CH.（1）求证：AH是O的切线；（2）若点D是弧CE的中点，且AD交CE于点F，求证：HF=HA；（3）在（2）的条件下，求EF的长【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3） 【
33、解析】【分析】（1）连接AC，由ABCB可知AC是O的直径，由圆周角定理可得C=D，于是得到tanC=3，故此可知AB=6，在RtABC中，由勾股定理得：AC2= 40，从而可得AC2+AH2=CH2，根据勾股定理的逆定理可得ACAH，问题得证；（2）连接DE、BE，由弦切角定理可知ABD=HAD，由D是的中点，可得CED=EBD，再由圆周角定理可得ABE=ADE，结合三角形的外角即可证明HAF=AFH，从而可证得AH=HF；（3）由切割线定理可得EH=，由（2）可知AF=FH=，从而可得EF=FHEH=-【详解】（1）如图1所示：连接ACABCB，AC是O的直径，C=D，tanC=3，AB=
34、3BC=32=6，在RtABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=40，又AH2=10，CH2=50，AC2+AH2=CH2，ACH为直角三角形，ACAH，AH是圆O的切线；（2）如图2所示：连接DE、BE，AH是圆O的切线，ABD=HAD，D是的中点，CED=EBD，又ABE=ADE，ABE+EBD=ADE+CED，ABD=AFE，HAF=AFH，AH=HF；（3）由切割线定理可知：AH2=EHCH，即（）2=5EH，解得：EH=，由（2）可知AF=FH=，EF=FHEH=-【点睛】本题主要考查圆的综合应用，解答主要应用了切线的判定定理、弦切角定理、切割线定理、圆周角定理、勾股定理、勾
35、股定理的逆定理、三角形的外角的性质等，正确添加辅助线是解题的关键.14如图，已知中，点是边上一点（不与重合），以为直径作，过作切于，交于.（1）若的半径为2，求线段的长；（2）若，求的半径；（3）如图，若，点关于的对称点为点，试求、两点之间的距离.【答案】(1)；(2)的半径为3；(3)、两点之间的距离为.【解析】【分析】（1）根据切线的性质得出OEC=90，然后根据勾股定理即可求得；（2）由勾股定理求得BC，然后通过证得OECBCA，得到=，即，解得即可；（3）证得D和M重合，E和F重合后，通过证得GBEABC，即，解得即可【详解】(1)如图，连结.切于，.，半径为2，.；(2)设半径为.在
36、中，. ，.切于，.，.，解得.的半径为3；(3)连结、，设交于点，由对称性可知，.又，.切于，.又，.又，.点与点重合.、三点在同一条直线上. 连结、，是直径，即.又，.，、三点在同一条直线上. 、两点重合.，.，即.故、两点之间的距离为.【点睛】本题考查了切线的判定，轴的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，证得G、D、E三点共线以及A、E、B三点在同一条直线上是解题的关键.15如图，是的直径，弦于点，过点的切线交的延长线于点，连接.（1）求证：是的切线；（2）连接，若，求的长.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】(1) 连接OD,由垂径定理证OF为CD的垂直平分线，得C
37、F=DF，CDF=DCF，由CDO=OCD，再证CDO +CDB=OCD+DCF=90，可得ODDF，结论成立.(2) 由OCF=90, BCF=30，得OCB=60，再证OCB为等边三角形，得COB=60，可得CFO=30，所以FO=2OC=2OB，FB=OB= OC =2，在直角三角形OCE中，解直角三角形可得CE,再推出CD=2CE.【详解】（1）证明：连接ODCF是O的切线OCF=90OCD+DCF=90直径AB弦CD CE=ED，即OF为CD的垂直平分线 CF=DFCDF=DCF OC=OD，CDO=OCDCDO +CDB=OCD+DCF=90ODDFDF是O的切线（2）解：连接ODOCF=90, BCF=30OCB=60OC=OBOCB为等边三角形，COB=60CFO=30FO=2OC=2OBFB=OB= OC =2 在直角三角形OCE中，CEO=90COE=60CF CD=2 CF【点睛】本题考核知识点：垂径定理，切线，解直角三角形. 解题关键点：熟记切线的判定定理，灵活运用含有30角的直角三角形性质，巧解直角三角形.
