1、一、概念一、概念Def.1.设X,Y 为(,)概率空间中的两个实随机变量,则称Z=X+iY 复随机变量,i2=-1.性质1 Z=X+iY 为复随机变量,则EZ=EX+iEY Z=X+iY为复随机变量，对其进行研究等价于研究性质2二维r.v.(X,Y),有如下性质：独立 Z1,Z2 独立(1)Z1=X1+iY1,Z2=X2+iY2为复随机变量,则(X1,Y1)与(X2,Y2)4.5 特征函数特征函数(2)Z1=X1+iY1,Z2=X2+iY2为复随机变量,则E Z1 Z2=EZ1 E Z2 Def.2.设X为为(,)概率空间中的实随机变量,其特征函数(c.d.f.)定义为)()(xdFeEetX
2、itxitXXRemark1:Euler公式为xixeixsincos Remark2:特征函数是关于实变量t的复值函数,由于|cos()sin()|1,itxetxitx 所以特征函数对一切实数t 均有意义.Remark3:特征函数只与分布有关,因此亦称为某分布的特征函数若离散型随机变量X的分布律为,2,1,)(ipxXPii则其特征函数为1)(jitxjitXXjepEet若连续型随机变量X的p.d.f.为)(xpX则其特征函数为dxxpeEetXitxitXX)()(即为)(xpX的Fourier变换.重要分布的特征函数:EX1 退化分布I(x-c)的特征函数ictitXXeEet)(E
3、X2 0-1分布B（1，p)的特征函数itXXEet)(qpetitX)(EX3 二项分布B（n，p)的特征函数nitXqpet)()()()(abiteetiatibtXEX4 均匀分布U（a,b)的特征函数EX5 Gamma分布),(的特征函数ittX1)()0()()(1xIexxpxXEX6 正态分布),(2N的特征函数21exp)(222122titettitX二、性质)(t性质性质1 1为某随机变量的特征函数，则1)0(1)(t(3)是连续函数.11()0nnklklkltt)(t(2)非负定，即12,nnN t ttR 12,n 为复数，则有注：上述三条性质为特征函数的特征性质，
4、)(t满足这三条性质，则其必为特征函数。)(t(2)非负定，nknllkXttinknllklklkEett11)(11)(11klnnit Xit XklklEee 证明证明itXEet)(1)显然有1)0(11nknlXitlXitklkeeE(3)()()(itXXhtieeEtht)1(ihXitXeeEdxxpeedxxpeeihxitxihxitx)()1()()1(axihxaxihxihxdxxpedxxpedxxpe|)(1)(1)(1axaxihxdxxpdxxpe|)(2)(1011nknlXitlXitklkeeE11nknlXitlXitklkeeE,0先取定a,使2
5、/)(2|axdxxp对于),(aax,取a2,当|h时，有2/|2sin2 hahx从而)()(tht从而)(t是连续函数.且一致连续。axaxdxxpdxxphx|)(2)(2sin2)(t性质性质2 2为某随机变量的特征函数，则()(0)1t)()(tt性质性质3 3)(t为某随机变量X的特征函数，则Y=c1X+c2的特征函数为)()(12tcetticY)(),(ttYX性质性质4 4为某随机变量X，Y 的特征函数，若X，Y 独立，则)()()(tttYXYX则lkiEXkkXk,2,1,)0()()(tX性质性质5 5为某随机变量X 的特征函数，lEX存在三、逆转公式与唯一性定理三、
6、逆转公式与唯一性定理,21xx 引理引理1 1 设dttxxttxxtxxxTgT02121)(sin)(sin1),(则21212121,1,2/10),(limxxxxxorxxxxorx，xxxxTgT证明:根据Dirichlet积分：00,2/10,00,2/1sin1)(dtttD)()(),(lim2121xxDxxDxxxTgT定理定理1 1（逆转公式）（逆转公式）设分布函数(x)的特征函数为)(t且2,1xx为(x)的连续点，则dxxpiteexFxFTTitxitxT)(21lim)()(2112证明：不妨设12xx由于12121122()()itxitxitxitxTTit
7、xTTTeeeeIt dtedF x dtitit 1212()itxitxTTTeeIdt dF xit 由Fubini定理交换积分次数得到12()()12()it x xit x xTTeedt dF xit 12120sin()sin()2()Txxxxdt dF xit12(,)()g T x x x dF x因此由勒贝格控制收敛定理并利用引理可得因此由勒贝格控制收敛定理并利用引理可得211221limlim(,)()()()()TTTxxIg T x x x dF xp x dxF xF x由引理由引理1 1知知12(,)g T x x x有界，有界，定理2（唯一性定理）分布函数由特
8、征函数唯一确定证明：应用逆转公式，在F(x)的每一连续点上，当y12()()lim lim()ityitxTTyTeeF xFt dtit 沿F(x)连续点趋于时，有而分布函数由其连续点上的值唯一确定，定理2得证。由唯一性定理可知，特征函数唯一确定分布，因而特征函数也完整地描述了随机变量，特别当p(x)绝对可积时，有以下更强结果。定理3（Fourier逆变换）若则相应的分布函数F(x)的导数存在且连续，且有因此()t dt 1()()2itxF xet dt证明：由逆转公式，如为F(x)的连续点，则,xxsin1()()lim()TitxttTTF xF xet dtsin12()()lim(
9、)2TitxttTTF xF xet dt由于由于因此由控制收敛定理知：因此由控制收敛定理知：sin()()itxtettt()()()lim21()2TitxF xF xF xet dt四、分布函数的再生性四、分布函数的再生性许多重要的分布函数具有一个有趣的性质许多重要的分布函数具有一个有趣的性质再生再生性。这个性质用特征函数来研究最方便，下面通过几个性。这个性质用特征函数来研究最方便，下面通过几个例子来说明。例子来说明。12(,)YXXB mn p所以所以12()(),()()itnitmXXtpeqtpeq证明：证明：12()()()()itm nYXXtttpeq由唯一性定理知由唯一性
10、定理知(,)YB mn p若若且且独立，则独立，则12(,),(,)Xb n pXb m p12,XXEX5证明：证明：所以所以且独立，则1122(),()XpXP1212()YXXP1212(1)(1)(),()ititeeXXtete1212()(1)()()()iteYXXttte12()YPEX6证明：证明：22121212(,)XXN 2 22 21111222212(),()ittittXXtete222112122()()()ittYte所以所以221212(,)YN 且独立，则且独立，则22111222(,),(,)XNXN EX7五、多元特征函数五、多元特征函数若随机向量若随
11、机向量的分布函数为的分布函数为则它的特征函数定义为则它的特征函数定义为12(,)nXXX12(,)nF x xx1 1()1212(,)(,)n ni t xt xnnt ttedF x xx通常记通常记1212(,),(,)TTnntt ttxx xx则上式表示为则上式表示为()()TTit Xit xtEeedF x类似地有下列若干性质类似地有下列若干性质12(0,0)1,(,)1nt tt1212(,)(,)nntttt tt（1 1）在在中一致连续，且中一致连续，且nR12(,)nt tt（2 2）若）若为为的特征函数，则的特征函数，则12(,)nt tt12(,)nXXX的特征函数为
12、的特征函数为11nnYc Xc X1 12 2()(,)Yn ntct c tc t（3 3）若矩）若矩存在，则存在，则11()nkknE XX11121111(,)10()njkknjnnkknnnkf t ttkknttttE XXi则则k k维随机向量维随机向量的特征函数为的特征函数为12(,)kXXX1212(,)(,0,0)kkt ttt tt（4 4）的特征函数为的特征函数为12(,)nt tt12(,)nXXX（5 5）（逆转公式）若）（逆转公式）若为为12(,)nXXX12(,)nt tt的特征函数，而的特征函数，而为分布函数，则为分布函数，则12(,)nF x xx11112
13、1(2)11,()lim(,)it ait bnk kk knknjkkknTTeennitTTTkjnP axbt tt dtdt其中其中为任意实数，但满足唯一的要求：为任意实数，但满足唯一的要求：落在平行线落在平行线的面上的概率等于的面上的概率等于0 0,kka b12(,)nx xxkkkaxb（6 6）（唯一性定理）分布函数）（唯一性定理）分布函数12(,)nF x xx由其由其特征函数唯一确定。特征函数唯一确定。（7 7）特征函数为特征函数为而而的特征函数为的特征函数为12(,)nXXX12(,)nt tt.jr v X()jXt则则相互独立的充要条件相互独立的充要条件12,nXXX
14、1121(,)()()nnXXnt tttt为：为：1212(,)nnXXXY YY的特征函数的特征函数11(,;,)nnn mtt tt（8 8）的特征函数为的特征函数为112(,)nt tt12,nXXX则则与与独立的充要条件独立的充要条件12,nXXX12,mY YY的特征函数为的特征函数为12,mY YY212(,)mt tt满足：满足：111121(,;,)(,)(,)nnn mnnn mtt tttttt这个性质的一维结果下将叙述并证明，为应用方便，这个性质的一维结果下将叙述并证明，为应用方便，我们将常用分布的一些结果列入下表我们将常用分布的一些结果列入下表1(,)kktt（9 9
15、）（连续性定理）若特征函数序列）（连续性定理）若特征函数序列12(,)nt tt收敛于一个连续函数收敛于一个连续函数,则函数则函数是某分布函数所对应的特征函数。是某分布函数所对应的特征函数。12(,)nt tt分布名称分布名称分布或密度函数分布或密度函数期望期望方差方差特征函数特征函数退化分布0-1分布二项分布泊松分布几何分布Cp0pqExpictpExpit+qXCp1X0 1pq p()kkn knP XkC p q()itnpeqnpqnp()!kP Xkk(1)itee1()kP Xkqp1p2qp1ititpeqe正态分布均匀分布指数分布 分布 分布 分布2122()12()xp x
16、e22 212i tte1()()p xI axbba2ab2()12baitbitaeeba()(0)xp xeI x121(1)it1()()(0)xp xxex12(1)it212222112()()(0)nnnxp xxexn2n2(1 2)nitt112222()()()(1)nnnxnnp x0(1)n(2)2nnn多元正态分布多元正态分布一、密度函数与特征函数一、密度函数与特征函数其二阶中心矩定义为其二阶中心矩定义为11111111()()()(),()()()(),()()TnnnnnnnnEXEXXEXE xExxExE xExxExE xExxExE xExxEx 则则X
17、X 的数学期望定义为的数学期望定义为记记其中其中为随机变量为随机变量1(,)TnXXX(1,)iX in 11(,)(,)TTnnEXEXEX的方差，协方差有下列性质：的方差，协方差有下列性质：由上述定义可以看出：协方差阵的对角元素为由上述定义可以看出：协方差阵的对角元素为12,nXXX1111cov(,),cov(,)cov(,),cov(,)nnnnXXXXXXXX（1 1）为对称阵即为对称阵即T （2 2）为非负定矩阵，记为为非负定矩阵，记为0 称称为协方差矩阵，也称为随机向量为协方差矩阵，也称为随机向量的方差，的方差，XProof:（1 1）显然）显然（2）所以所以非负定非负定2()(
18、)()()()0TTTTTTxxx E XEXXEXxE xXEXXEXxExXEX（3 3）X(,)Tcov AX BXA B为为n n维随机向量，维随机向量，A,BA,B为为n n阶方阵，则阶方阵，则X对于对于n n维维的的n n元正态分布的定义为元正态分布的定义为Proof(,)()()()()TTTTcov AX BXE AXEAXBXEBXAE XEXXEXBA B1221121()exp()()(2)nTp xxx则则Th1、若、若则则(,)XN12()expTTtittt122112()()1exp()()(2)TnTnnit xRit xTRtep x dxexxdx由于由于为
19、正定阵，则存在可逆阵为正定阵，则存在可逆阵P P，使，使0 TP P 令令1(),yPxxPydxP dy122122()121()exp(2)1(2)TnnTTTnnitPyTRy yit PyitRtey y PdyeeedyProof:令令12221211221111 12221211212111122(,)1()(2)TTTnnnniiiTiinTnnnnjTjTTTTTTnity yis yRis yyitRyyis yis yitnRRsitits sitttSP tssteedyeeedyeeedyeedyeeeePf:不相关不相关.Th2Th2、若、若1(,)(,)TnXXN1
20、,nXX则则独立的充要条件为独立的充要条件为:1,nXX221(,)ndiag 相互独立，则根据独立性相互独立，则根据独立性1,nXX与不相关概念知与不相关概念知不相关不相关.1,nXX若若不相关，则不相关，则1,nXX122 212112 21211()()TTnnj jj jjjj jj jjitttittnittjnXjjteeet由特征函数的性质知：由特征函数的性质知：相互独立。相互独立。1,nXXTh3Th3、若、若A A为为n n阶矩阵，则阶矩阵，则(,)XN(,)TYAXN AA A12()TTitttXte1212()()()()()()TTTTTTTTTTTTTit Yit
21、AXYi A tXi A tA tA ti A tt A A ttEeEeEeeeProof:即正态分布的线性组合仍服从正态分布即正态分布的线性组合仍服从正态分布（柯赫伦定理）（柯赫伦定理）设设且且1,(0,1)nXX iidN211nkiiQQX型，则型，则相互独立且相互独立且iQ21()iikQnnnniiQn“”由于 的秩为，则根据线性代数知识：1njljlp Xj：Y其中其中关于关于的非负定二次的非负定二次(1,)iQ ik1(,)nXXin是秩为是秩为Pf:显然；存在线性变换11121iinnj nnij使Qy11(,),(,),TTnnXXXYYY1111,nnnnppPYPXpp
22、,TTTTTX XY YZ P PZ P PI2()iiiQQn独立且分布函数的其他特征数分布函数的其他特征数1,k阶矩1kkDefEX k、阶原点矩()kkE XEXk阶中心矩222101性质：，33312132 244431211463 22412341(0,)0(1)(3)0,0,3kkkkexXNEXkk、求解：2 2、变异系数、变异系数方差（或标准差）反映了随机变量取值的波动程度，方差（或标准差）反映了随机变量取值的波动程度，但是比较两个但是比较两个R.VR.V波动大小时，仅看方差大小有时会产波动大小时，仅看方差大小有时会产生很不合理的现象，这里有两个原因生很不合理的现象，这里有两个
23、原因:(1)(1)随机变量的取随机变量的取值有量纲；不同量纲的随机变量用方差（或标准差）值有量纲；不同量纲的随机变量用方差（或标准差）比较波动大小，不太合理。（比较波动大小，不太合理。（2 2）若随机变量量纲相）若随机变量量纲相同，取值的大小有一个相对性的问题，通常情况下引同，取值的大小有一个相对性的问题，通常情况下引入变异系数的概念。入变异系数的概念。()()vVarXXCXEXEX.r v X称为的变异系数。定义定义3 3、分位数、分位数3.()Defr v XF x、()()pxpF xp x dxppxpp称 为此分布的 分位数，又称为下侧 分位数1()()ppxF xp x dxp同
24、理pxp称为此分布的上侧 分位数。11,ppppxxxx性质：1,0.05Ex2ppp1-、N(0,1)的p分位数为u 即u 为方程（u）=p的解，查表求u，1.961.9621-0.975解：uu0.952(10)18.307,(10)1.8125ext20.95、求4 4、中位数、中位数5 5、偏度系数与峰度系数、偏度系数与峰度系数0.50.50.54.()()()0.5xDefRV XF xF xp x dxx、称为此分布的中位数。33322233312215.()()()()DefRV XE XEXE XEXVarX、的二阶矩存在，则称 为分布的偏度系数，简称偏度。4322 2222.()33()()RV XE XEXE XEX若的四阶矩存在，则称为分布的峰度系数111000注：1、偏度系数可以描述分布的形状特征，其取值的正负反映是：，分布为正偏，关于EX对称，分布为负偏1221100,.000XEXXRV XVarXX2、对于正态分布，记称之为的标准化随机变量，峰度系数反映了 标准化后的峰度情况，标准化后比N(0,1)分布更平坦，标准化后与N(0,1)分布，标准化后比N(0,1)分布更突峭
