1、 高等数学复习高等数学复习一、极限取对数，得令解,)arctan2(xxy取极限得 ,)arctan2ln(lnxxy)arctan2ln(lim lnlimxxyxx)1()arctan2(lim 1xxx例)0(xxxxxx1arctanln2lnlim1arctan2lnlim)00(2-arctan1lim1arctan11lim2222xxxxxxxx.)arctan2(lim 2x exx故例例2xxxdttdtttan0sin00sintanlim)00()(tan)sin(tan)(sin)tan(sinlim0 xxxxxxxxx30cos)sin(tan)tan(sinli
2、mxxxtansinlim0 xxx0lim.1).0(11x1(7)0)(x x)(1 (6)0)(x x21cosx-1 (3)0)(x ln1a (5)0)(x )2(0)(xx x)ln(1 (4)0)(xx sinx (1)n2xxxnxaxxtgx穷小熟记几个重要的等价无要 例例 3xxdttxtfxxsin)(lim30220=utx22-2tdt=duxxduufxxsin)(21lim30024002)(lim21xduufxx32042)(lim21xxxfx220)(lim41xxfx)00(设f(x)在x=0的某邻域内连续,且f(0)=0,求,1)0(f解解xxdttx
3、tfxxsin)(lim302204)0(f 0)0()(lim41220 xfxfx.4100 如果如果f(x)在在a,b 上连续上连续,则积分上限的函数的导数则积分上限的函数的导数).()()(xfdttfdxdxxa推广推广:当积分上、下限都是的函数时，有以下的求导公式当积分上、下限都是的函数时，有以下的求导公式)()()()()()()(xxfxxfdttfdxdxx)()()(xfdttfdxddttfdxdxbbx)()()()(xxfdttfdxdxa).()()()(xtfdttfdxdbx22122)0,0(),()1(limyxyxyx解解,u22yx 令0.u0,0时，当
4、yx则22122)0,0(),()1(limyxyxyxuuu10)1(lim.e例例4 求极限求极限.)(2tan)1ln(lim00yxxyyx例例5 求极限求极限,uxy令解解0.u0,0时，当yx则)(2tan)1ln(lim00yxxyyxuuu2tan)1ln(lim0uuu2lim0.21二、导数和偏导数二、导数和偏导数例例 6 解解yeyx求),cos(ln.,cos,ln)cos(lnxxevvuuyeydxdvdvdududydxdyxevu)sin(1xxxeee)cos()sin().tan(xxee(不写出中间变量不写出中间变量)cos(lnxedxdy)cos()c
5、os(1xxee)()cos()sin(xxxeee).tan(xxeedy及例例 7 计算由摆线的参数方程)cos1(),sin(tayttax所确定的函数y=y(x)的导数解解为整数）nntttatadtdxdtdydxdy,2(2cot)cos1(sin 例例 8.)(),(),(2dxdytftfytfx存在且不为零，求设设解解dtdxdtdydxdy )()()(2 tftftf2f(t).sincos)(dxdyxeytexxyytt给出，求由参数方程练习：设函数例例9.设)(xyy 由方程确定,.y 求解法解法1方程两边对 x 求导,得利用隐函数求导,).(:xyyxy的函数视作
6、将01sinyxeyx中，在方程01sinyxeyx0cosyxyeyyx xy cosyexy利用公式.令令解法解法21sin),(yxeyyxFx,yeFxx.cosxyFyyxFFy xy cosyex说明：利用公式法说明：利用公式法求导时，将方程求导时，将方程F(x,y,)=0中中x,y,视作视作独立变量；利用隐独立变量；利用隐函数求偏导时，将函数求偏导时，将y视作视作x,的函数：的函数：y=y(x,).例例10确定的隐函数求方程3xzeyzxy.,),(yxzzyxzz的偏导数解法解法1利用公式.令令.3),(xzeyzxyzyxF则则,xzxzeyF,zxFy,xzzxeyFzxF
7、Fxz,xzxzxeyzeyzyFFyz.xzxeyzx利用公式法求偏利用公式法求偏导时，将方程导时，将方程F(x,y,z)=0中中x,y,z视作独立变量视作独立变量.解法解法2 利用隐函数求导中，在方程03xzeyzxy).,(:,yxzzyxz的函数视作将方程两端关于方程两端关于x求偏导，得求偏导，得,0)(xxzxxzzeyzyxz,xzxzxeyzey方程两端关于方程两端关于y求偏导，得求偏导，得,0)(yxzyxzeyzzxyz.xzxeyzx说明：利用公式法求偏导时，将方程说明：利用公式法求偏导时，将方程F(x,y,z)=0中中x,y,z视作独立变量；利用隐函数求偏导时，将视作独立
8、变量；利用隐函数求偏导时，将z视作视作x,y的的函数：函数：z=z(x,y).2zxuzffyfxu 3210)(2xuzzxu例例 12 设 u=f(xy,yz,zx,),其中f是具有二阶偏导数的函数，求解解.31f zf y13122fxyfy )0(333231xfyffz 3f 3332fzxfzy )0(131211xfyffy 例例11 求.)ln21(dxxx三、积分xln21xlnd解解:原式=xln2121)ln21(dxCx ln21ln21xbx2222cossinatgxdx 12 例xdxbxtg2222secatgx dtgxbxtg222atgx 2222222)
9、(21bxtgabxtgada.|ln212222Cbxtgaa)0,0(ba常用的几种配元形式常用的几种配元形式:xbxafd)()1()(bxaf)(dbxa a1xxxfnnd)()2(1)(nxfnxdn1xxxfnd1)()3()(nxfnxdn1nx1万能凑幂法xxxfdcos)(sin)4()(sin xfxsindxxxfdsin)(cos)5()(cosxfxcosdxxxfdsec)(tan)6(2)(tan xfxtandxeefxxd)()7()(xefxedxxxfd1)(ln)8()(ln xfxlnddxxxx22sin2cos2sin例例12 求解解dxxxx2
10、2sin2cos2sinxxd22sin1)(sindxxxxx22sin2coscossin2xxd22sin1)sin1(.)sin1ln(2Cx 例13 求不定积分解：解：利用凑微分法,xx22sin2sin1原式=)sin1(d2x令xt2sin1tttd1222ttd)111(22t 2Ct arctan2Cxx22sin1arctansin12得.dsin2sin1cossin222xxxxx例例14 求dxex10（换元和分布积分法结合使用）（换元和分布积分法结合使用）解解:令,tx则,2tx ttxd2d.1100txtx时，当时，当dxex10dttet102102ttde)
11、1(2ee.2|)(21010dtetett22331xxy 例例14 求函数 的极值点，拐点，单调区间，凹凸区间.解解),2(22xxxxy).1(222 xxy,0 y令2,0 x得,0 y令1x得xyy y012)0,()1,0()2,1(),2(00234(极大)(拐点）32(极小)0极大值；极小值：;2)0(f,32)2(f拐点：).34,1(四、应用题四、应用题例例15 计算两条抛物线22,xyxy在第一象限所围所围图形的面积.xxy 2oy2xy xxxd解解:由xy 22xy 得交点)1,1(,)0,0()1,1(1xxxAdd22332x01331x3110A平面图形的面积平
12、面图形的面积平面直角坐标下图形的面积平面直角坐标下图形的面积(1)由曲线)0()(xfy与直线)(,babxax及 x 轴所围曲xbaoy)(xfy xxxdxxfAbad)(边梯形面积为 A.,)(dxxfdA 其中被积表达式f(x)dx就是直角坐标下的面积元素,它表示高为f(x)、底为dx的一个矩形面积.(2)由曲线由曲线 ,直线直线y=c,y=d(c0,)(1)()(baxdttfdttfxFxbxa证明证明;2)()1(xF(2)方程F(x)=0在区间(a,b)内有且有一个根.6.求函数 在点 P(1,1,1)沿向量zyxu2 的方向导数.)3,1,2(lPlu146证明证明,2)(1
13、)(2xfxf)(1)()()1(xfxfxFabaadttfdttfaF)(1)()()2(,0)(1badttfbbbadttfdttfbF)(1)()(,0)(badttf因为积分上限的函数可导,知F(x)在a,b上连续,又由零点定理可知:方程F(x)=0在(a,b)内至少有一个根;又因 所以F(x)在上单调递增,从而方程F(x)=0 在(a,b内仅有有一个根.,02)(xF.0)(),(.3)()()(,),(,1)(),(,)(.72121cfbacxfxfafxxbabfbabaxf使得求证：满足中两点又有内可导，上连续，在开区间在闭区间设函数证明证明 由于f(x)在a,b上连续,故f(x)在a,b上存在最大值M和最小值m,即.,)(baxMxfm,)(Mafm)2,1(,)(iMxfmi则有,3)()()(321Mxfxfafm,3)()()(21Mxfxfafm由于由于f(x)在在a,b上连续上连续,由介值定理知由介值定理知,必存在必存在 使得使得),(ba),(13)()()()(21bfxfxfaff,1)()(),(,)(bffbbxf内可导，上连续，在在).,(),(0)(babccf由罗尔定理知，
