1、高三数学参考答案 第1页（共9页）海淀区20222023学年第二学期期末练习 高三数学 参考答案 一、选择题 题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A D B D C C C D 二、填空题（11）2 （12）22142xy=（13）8；3 7 （14）(,1)(0,1)；12,)82（15）三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）解：（）由()sincoscos(2)44446=+fa 221sin2262=a 得2a=.所以，()2sin coscos(2)6=+f xxxx sin2cos2 cossi
2、n2 sin66=+xxx 13sin2cos222=+xxsin(2)3=+x 所以，()f x的最小正周期2=T.（）由222232kxk+得1212kxk+()kZ，高三数学参考答案 第2页（共9页）所以()sin(2)3f xx=+的单调递增区间为,1212kk+()kZ.当0k=时，()f x的单调递增区间为,12 12，当1k=时，()f x的单调递增区间为,1212，所以()f x在0,上的单调递增区间为0,12，,12.（17）（本小题 14 分）解：（）由题意知，男女比例为 169，则1210516189a+=，故5a=.估计 A 学院学生 5 月跑步里程在0,30)中的男生
3、人数为5100010050=人.（）X 的取值范围是1,2,3.()()()1252372152373537511,3572042,3571023.357C CP XCC CP XCCP XC=因此 X 的分布列为 X 1 2 3 P 17 47 27 14215()1237777E X=+=.（）存在满足条件的，且的最大值为19.设 B 学院女生人数为 x，则男生人数为x,则594559451Bxxxxx+=+，而506404036023210005Ax+=.依题意，ABxx，得232594551+，解得19，所以的最大值为19.高三数学参考答案 第3页（共9页）（18）（本小题 13 分）
4、（）取PC中点M，连接,FMBM.在PCD中，,M F分别为,PC PD的中点，所以MFDC，1=2MFDC.在菱形ABCD中，因为ABDC，12BEDC=，所以BEMF，=BE MF.所以四边形BEMF为平行四边形，因此EFBM.又因为EF 平面PBC，BM 平面PBC，所以EF平面PBC.（）选择条件:DEPC 因为PD 平面ABCD，,DE DC 平面ABCD，所以PDDE，PDDC.又因为DEPC，PDPCP=所以DE 平面PCD，又DC 平面PCD 所以DEDC 所以建立如图空间直角坐标系Dxyz 又因为ABDC，DEAB.又E为AB中点，所以ADDB=，即ADB为正三角形.因为2
5、3AD=，所以3DE=.设(0,0,)(0)Ft t，(3,0,0)E，(0,2 3,0)C.(3,0,)EFt=,(3,2 3,0)EC=.平面FCD的法向量为1(1,0,0)=n.设平面EFC的法向量为2(,)x y z=n，则 220,0.EFEC=nn 得30,32 30.xtzxy+=+=取2xt=，则3yt=，6z=.所以2(2,3,6)tt=n.由题意，二面角EFCD的大小为 45 zxyMECABDPF高三数学参考答案 第4页（共9页）所以121212|cos,|=nnn nnn2222|23436ttt=+解得6t=（舍负）.因为 F 是 PD 的中点，所以PD的长为 12.
6、经检验符合题意.选择条件：因为PD 平面ABCD，,DB DC DE 平面ABCD，所以PDDB，PDDC，PDDE.又因为222PBPDBD=+，222PCPDDC=+，且PBPC=所以BDDC=，在菱形ABCD中，ABBDAD=，即ADB为正三角形.又因为E为AB中点，所以DEDC 建立如图空间直角坐标系Dxyz 又因为ABDC，DEAB.因为ADB为正三角形.且2 3AD=，所以3DE=.设(0,0,)(0)Ft t，(3,0,0)E，(0,2 3,0)C.(3,0,)EFt=,(3,2 3,0)EC=.平面FCD的法向量为1(1,0,0)=n.设平面EFC的法向量为2(,)x y z=
7、n，则 220,0.EFEC=nn 得30,32 30.xtzxy+=+=取2xt=，则3yt=，6z=.所以2(2,3,6)tt=n.由题意，二面角EFCD的大小为 45 所以121212|cos,|=nnn nnn2222|23436ttt=+zxyMECABDPF高三数学参考答案 第5页（共9页）解得6t=（舍负）.因为 F 是 PD 的中点，所以PD的长为 12.经检验符合题意.19.（本小题 15 分）解：（）由直线1AB的方程为330 xy+=，可得1(3,0),(0,1)AB.所以，3,1ab=，由222abc=+得，2c=.椭圆E的方程为2213xy+=，离心率2633cea=
8、.（）依题意，设00(,)P xy（000,0 xy），则00(,)M xy.且由P是椭圆上一点，可得220013xy+=.直线1AB的方程为313yx=+，由0313xy+=得，03(1)xy=.所以00(3(1),)Qyy.直线2PB的方程为0011yyxx+=，令03(1)xy=，得 20200003()3(1)331113xyyxxx=.即003(3(1),1)3Nyx.所以000000003133333333(1)33MNMNMNyxyyxykxxxyxy+=+.即直线MN的倾斜角是6，所以3MNQ=.（20）（本小题 15 分）解：（）对()f x求导得ln()2xxfxxx=+.
9、可得(1)1f=.又可知(1)0f=，xyONQMAB1B2P高三数学参考答案 第6页（共9页）所以曲线()yf x=在点(1,(1)f处的切线方程为10 xy=.（）因为0 x，所以0 x.由此可知，要证lnxxx，只需证ln xx，即证ln0 xx.令()lnh xxx=，求导得112()22xh xxxx=.令()0,h x=解得4x=.可知,()x h x与()h x的变化情况如下表：x(0,4)4(4,)+()h x+0 ()h x 极大值 所以()(4)ln420h xh=.所以ln0 xx恒成立.即原不等式成立.（）2()ln()g xxxa xx=+，因为1x，所以2ln0,0
10、 xxxx.所以当0a 时，()0g x 在(1,)+上恒成立，符合题意.当0a 时，ln()(21)2xxg xaxxx=+.令()()t xg x=，则ln111ln2()220224xxxxxt xaaxx xx x=+=+在(1,)+上恒成立.所以()()t xg x=在(1,)+上单调递减.(1)1ga=+.当(1)10ga=+即1a时，()0g x在(1,)+上恒成立.所以()g x在(1,)+上单调递减.所以()(1)0g xg=在(1,)+上恒成立，符合题意.当(1)10ga=+即10a 时，高三数学参考答案 第7页（共9页）因为1x 且由（）知ln xx，所以ln()(21)
11、2xxg xaxxx=+11(21)1(21)22xaxaxxx+.所以11(1)02gaa，所以存在01(1,1)xa使得0()0g x=，因此,()x g x与()g x的变化情况如下表：x 0(1,)x 0 x 0(,)x+()g x+0 ()g x 极大值 所以0()(1)0g xg=.由（）中lnxxx，可以得22()ln()()(1)g xxxa xxxa xxx axa=+=+.令11xa=，得1(1)0ga.所以()g x在区间(1,)+上存在零点，不合题意，舍去.综上，a的取值范围是(,10,)+.（21）（本小题 15 分）解:（）依题意，15a=，11 2nnnnnaaa
12、aa+=，为奇数，为偶数，所以2345663421aaaaa=，.从而6m=（）依题意，11 2nnnnnaaaaa+=，为奇数，为偶数，11a 下面证明对于任意的正整数1k，当1ak=时，均存在数列na为1P数列 高三数学参考答案 第8页（共9页）12a=时，21a=，2m=符合题意 反证，假设存在正整数1k，当1ak=时，不存在数列na为1P数列，设此时k的最小值为M（3M），即12,3,4,1aM=时存在1P数列，1aM=时不存在1P数列 （1）当M为奇数时，因为存在以1M 为首项的1P数列12,ma aa，所以12,mM a aa就是首项为M的1P数列，与假设矛盾 （2）当M为偶数时，
13、因为存在以2M为首项的1P数列12,ma aa，所以12,mM a aa就是首项为M的1P数列，与假设矛盾 综上，1a的所有可能取值为全体大于 1 的正整数 （）依题意，11 2nnnnnaaaaa+=，为奇数，为偶数,1ma=，12ma=，24ma=，.（1）先证明2d=符合题意，即212log2am+当2m=时，显然成立 当3m时，对任意3ia，21,1,224iiiiaaaa+故212iiaa+，即222(2)iiaa+（i）当21(1,2,)mtt=+=时，有11222(2)2ttmaa=，1212222mta+=+所以122122log22log(2)21mamm+=+（ii）当22
14、(1,2,)mtt=+=时，有12222(2)2ttmaa=，1222222mta+=+，1212121maa=+所以122122log22log(2)2mam+=（2）再证明2d 高三数学参考答案 第9页（共9页）对任意的偶数2(2,3,)mt t=，令122211,3,1222,4,21 .m nm nnnmanmnm+=+=，（i）先验证na为1P数列：当1,3,3nm=时，1221m nna=+为奇数，(1)21221mnnnaa+=+=+，符合 当2,4,2nm=时，222m nna=+为偶数，(1)1211212mnnnaa+=+=，符合 当1nm=时，121mmaa=，符合 又na符合，所以na为1P数列（ii）下面证明2d 不符合题意 假设2d 因为2(2,3,)mt t=，112221222log2log(21)22log(12)mmdmam=+=+即2(2,3,)mt t=，12222log(21)dm，矛盾 综上，d的最小值为 2
