1、24.5 24.5 三角形的内切圆三角形的内切圆FAEDCB回顾回顾内切圆内切圆性质性质:（1）内心到三角形三边的）内心到三角形三边的距离相等距离相等；（2）内心与顶点连线）内心与顶点连线平分内角平分内角。CBADFEOr若正三角形边长为若正三角形边长为a,则内切圆半径则内切圆半径r=外接圆半径外接圆半径R=sinOBD=sin30=RrOBOD21a63a33一、正三角形内切圆的半径一、正三角形内切圆的半径正正n边形的内心和外心都是重合的边形的内心和外心都是重合的设设的面积为，周长为的面积为，周长为，内切圆内切圆的半径为，则得到的半径为，则得到12ABCODEFABCDEFO面积法求半径面积
2、法求半径一般三角形的内切圆半径一般三角形的内切圆半径lsr2ABCOcDEr如图，如图，直角三角形的两直角边分别是直角三角形的两直角边分别是a a，b,b,斜边为斜边为c c 则其内切圆的半径为则其内切圆的半径为:r=a+b-c2a+b-c=?CD+CEcbaabr直角直角三角形的内切圆半径三角形的内切圆半径lsr2直角三角形直角三角形特殊方法特殊方法正方形正方形CDOEABCOcDEr练习：练习：直角三角形的两直角三角形的两直角边分别是直角边分别是5cm5cm，12cm 12cm 则其内切圆的半径为则其内切圆的半径为_。2cm2cmr=a+b-c2cbaabr以某三角形的内心为圆心，作一以某
3、三角形的内心为圆心，作一个圆使它与这个三角形的某一条个圆使它与这个三角形的某一条边（或所在的直线）有两个交点，边（或所在的直线）有两个交点，那么这个圆与其他两边（或所在那么这个圆与其他两边（或所在的直线）有怎样的位置关系？的直线）有怎样的位置关系？仔细观察图形，你还能发现什么仔细观察图形，你还能发现什么规律？再作几个三角形试一试，规律？再作几个三角形试一试，是否有同样的规律？请说明理是否有同样的规律？请说明理由由OABCDGHI探究活动探究活动如图，在半径为如图，在半径为R的圆内作一个内接正方形，的圆内作一个内接正方形，然后然后作这个正方形的内切圆，又在这个内切圆中作内接作这个正方形的内切圆，
4、又在这个内切圆中作内接正方形，依此作到第正方形，依此作到第n个内切圆，它的半径是（个内切圆，它的半径是（）ABCD思考题思考题Rn)22(Rn)21(Rn 1)21(Rn 1)22(8如图，如图，O为为ABC的内切圆，的内切圆，C=90，AO的延长的延长线交线交BC于点于点D，AC=6，DC=2，则，则 O的半径等于（的半径等于（）B2 C1.5D2.5A1.5 C EF切线的性质：切线的性质：经过切点的半径垂直于圆的切线经过切点的半径垂直于圆的切线经过切点垂直于切线的直线必经过圆心经过切点垂直于切线的直线必经过圆心切线性质的应用：切线性质的应用：常用的辅助线是连接半径常用的辅助线是连接半径综
5、合性较强，要联系许多其它图形的性质综合性较强，要联系许多其它图形的性质O OlA ACODACD21C CB BA AO OD DE E弦切角弦切角切线与弦所夹的角叫切线与弦所夹的角叫弦切角弦切角，它的度数等于所夹弧的度，它的度数等于所夹弧的度数，等于所夹弧所对圆心角度数的一半，等于所夹弧所数，等于所夹弧所对圆心角度数的一半，等于所夹弧所对的圆周角的度数对的圆周角的度数P P=P4 4、如图：、如图：PA,PCPA,PC分别切圆分别切圆O O于点于点A,CA,C两点两点,B,B为圆为圆O O上与上与A,CA,C不重合的点不重合的点,若若P=50P=50,求求ABCABC的度数。的度数。OCPA
6、B练一练练一练7 7、如图，、如图，P=50P=50，PAPA、PCPC、DEDE都为都为O O的切线，则的切线，则DOEDOE为为 。OCPADE变式：改变切线的位置，变式：改变切线的位置，则则DOEDOE ；65656565归纳：归纳：只要只要P P的大小不变，的大小不变，DOEDOE也不变也不变练一练练一练POBA如图：已知如图：已知PAPA，PBPB分别切分别切O O于于A A，B B两点，如果两点，如果P=60P=60 ，PA=2PA=2，那么，那么ABAB的长为的长为_._.2 2变式变式1:CD1:CD也与也与O O相切相切,切点为切点为E.E.交交PAPA于于C C点，点，交交
7、PBPB于于D D点，则点，则PCDPCD的周长为的周长为_._.4 4E EC CD变式变式2:2:改变切点改变切点E E的位置的位置(在劣弧上在劣弧上)，则则 PCDPCD的周长为的周长为 .变式：若变式：若PA=PA=则则PCDPCD的周长的周长为为_._.变式：若变式：若PA=a,PA=a,则则PCDPCD的周长的周长为为 .2a2a做一做做一做=PC+CD+PD=PC+CE+DE+PD=PC+CA+DB+PD=PA+PB周长切线长的定义以及定理切线与切线长的区别：切线与切线长的区别：切线是直线，不能度量。切线是直线，不能度量。切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别切线长是线段的长，
8、这条线段的两个端点分别是圆外的一点和切点，可以度量。是圆外的一点和切点，可以度量。PAPA、PBPB分别切分别切O O于于A A、B BPA=PBPA=PBOPA=OPBOPA=OPB切线长定理：切线长定理：题设：从圆外一点引圆题设：从圆外一点引圆 的两条切线的两条切线结论：结论：切线长相等，切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角几何表述：几何表述：PBAOPABOCPO平分平分AOBPO垂直平分垂直平分ABPO平分弧平分弧ABPAPBPO平分平分APB圆的外切四边形的重要性质圆的外切四边形的重要性质 四边形四边形ABCD的边的边AB、BC、CD、
9、DA和和 O分别相交相切分别相交相切于点于点L、M、N、P。观察图。观察图并结合切线长定理，你发现并结合切线长定理，你发现了什么结论？并证明之。了什么结论？并证明之。CBADPLMNO圆的外切四边形的两组对边的和相等圆的外切四边形的两组对边的和相等ABCDADBC 等腰梯形各边都与等腰梯形各边都与 O相切，相切，O的直的直径为径为6cm，等腰梯形的腰等于，等腰梯形的腰等于8cm，则，则梯形的面积为梯形的面积为_。圆的外切四边形的两组对边的和相等圆的外切四边形的两组对边的和相等ABCDADBC868CBADPLMNO与圆有关的比例线段 相交弦定理相交弦定理圆内的两条相交圆内的两条相交弦，被交点分
10、成的两条线段长弦，被交点分成的两条线段长的积相等。的积相等。POCDABPAPB=PCPD切割线定理切割线定理从圆外一点引圆的从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。与圆交点的两条线段长的比例中项。PT2=PAPBAOPBT 如图，如图，CD是弦，是弦，AB是直是直径，径，CDAB，垂足为，垂足为P。求证：求证：PC2PAPBACDBPO你能用你能用两种两种不同的原理不同的原理证明吗？证明吗？相交弦定理推论相交弦定理推论如果弦与直径垂直相交，如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。例中项。PC2=PAPB 如图，如图，PAB和和PCD是是 O的两条割线。的两条割线。求证：求证：PAPBPCPD切割线定理推论（割线定理）切割线定理推论（割线定理）从圆外一点引从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。的两条线段长的积相等。PAPBPCPDAOPBCD
