1、第八节第八节 差分方程差分方程 一、差分一、差分二、差分方程的概念二、差分方程的概念三、一阶常系数线性差分方程三、一阶常系数线性差分方程四、二阶常系数线性差分方程四、二阶常系数线性差分方程一、差分一、差分 微分方程是自变量连续取值的问题微分方程是自变量连续取值的问题,但在很多实际问但在很多实际问题中题中,有些变量不是连续取值的有些变量不是连续取值的.例如例如,经济变量收入、储经济变量收入、储蓄等都是时间序列蓄等都是时间序列,自变量自变量 t 取值为取值为0,1,2,数学上把这数学上把这种变量称为离散型变量种变量称为离散型变量.通常用差商来描述因变量对自变通常用差商来描述因变量对自变量的变化速度
2、量的变化速度.定义定义1 设函数设函数 y=f(x),记为记为 yx,则差则差 yx+1 yx称为函数称为函数 yx 的一阶差分的一阶差分,记为记为 yx,即即 yx=yx+1 yx.(yx)=yx+1 yx=(yx+2 yx+1)(yx+1 yx)=yx+2 2 yx+1+yx为二阶差分为二阶差分,记为记为 2 yx,即即 3yx=(2yx),同样可定义三阶差分同样可定义三阶差分 3yx,四阶差分四阶差分 4yx,即即 4yx=(3yx).2 yx=(yx)=yx+2 2 yx+1+yx 例例1 求求(x3),2(x3),3(x3),4(x3).解解 (x3)=(x+1)3 x3=3x2+3
3、x+1,2(x3)=(3x2+3x+1)=3(x+1)2+3(x+1)+1 (3x2+3x+1)=6x+6,3(x3)=(6x+6)=6(x+1)+6 (6x+6)=6,4(x3)=(6)6=0.二、差分方程的概念二、差分方程的概念 定义定义2 含有自变量、未知函数及其差分的方程含有自变量、未知函数及其差分的方程,称称为差分方程为差分方程.差分方程的一般形式为差分方程的一般形式为 F(x,yx,yx,n yx)=0.(1)差分方程中可以不含自变量差分方程中可以不含自变量 x 和未知函数和未知函数 yx,但必须含但必须含有差分有差分.式式(1)中中,当当 n=1时时,称为一阶差分方程；当称为一阶
4、差分方程；当n=2时时,称为二阶差分方程称为二阶差分方程.例例2 将差分方程将差分方程 2yx+2 yx=0表示成不含差分的形式表示成不含差分的形式.解解 yx=yx+1 yx,2yx=yx+2 yx+1+yx,代入得代入得 yx+2 yx=0.由此可以看出由此可以看出,差分方程能化为含有某些不同下标差分方程能化为含有某些不同下标的整标函数的方程的整标函数的方程.定义定义3 含有未知函数几个时期值的符号的方程含有未知函数几个时期值的符号的方程,称称为差分方程为差分方程.其一般形式为其一般形式为G(x,yx,yx+1,yx+n)=0.(2)定义定义3中要求中要求 x,yx,yx+1,yx+n不少
5、于两个不少于两个.例如例如,yx+2+yx+1 =0为差分方程为差分方程,yx =x不是差分方不是差分方程程.差分方程式差分方程式(2)中中,未知函数下标的最大差数为未知函数下标的最大差数为 n,则则称差分方程为称差分方程为n 阶差分方程阶差分方程.定义定义4 如果一个函数代入差分后如果一个函数代入差分后,方程两边恒等方程两边恒等,则则称此函数为该差分方程的解称此函数为该差分方程的解.例例3 验证函数验证函数 yx=2x+1是差分方程是差分方程 yx+1 yx=2的的解解.解解 yx+1=2(x+1)+1=2x+3,yx+1 yx =2x+3 (2x+1)=2,所以所以yx=2x+1是差分方程
6、是差分方程 yx+1 yx=2的解的解.定义定义5 差分方程的解中含有任意常数差分方程的解中含有任意常数,且任意常数且任意常数的个数与差分方程的阶数相等的个数与差分方程的阶数相等,这样的解称为差分方程这样的解称为差分方程的通的通解解.三、一阶常系数线性差分三、一阶常系数线性差分方程方程 一阶常系数线性差分方程的一般形式为一阶常系数线性差分方程的一般形式为 yx+1 ayx=f(x).(3)其中其中 a 为不等于零的常数为不等于零的常数.称为齐次差分方程称为齐次差分方程;当当 f(x)0时时,称为非齐次差分方程称为非齐次差分方程.当当 f(x)=0 时时,即即 yx+1 ayx=0 (4)先求齐
7、次差分方程先求齐次差分方程 yx+1 ayx=0的解的解设设 y0 已知已知,代入方程可知代入方程可知 y1=ay0,y2=a2y0,yx=axy0,令令y0=C,则得齐次差分方程的通解为则得齐次差分方程的通解为 yx=Cax.(5)例例4 求差分方程求差分方程 yx+1+2yx=0的通的通解解.解解 这里这里 a=2,由公式由公式(5)得得,通解为通解为 yx=C(2)x.定理定理 设设 y0*是非齐次差分方程是非齐次差分方程(3)对应的齐次差分方对应的齐次差分方程程(4)的通解的通解,再讨论非齐次差分方程再讨论非齐次差分方程 yx+1 ayx=f(x)解的结构解的结构是是(3)的一个特解的
8、一个特解,则则程程(3)的通解的通解.是方是方下面用待定系数法来求两种类型函数的特解下面用待定系数法来求两种类型函数的特解.(1)令令f(x)=b0+b1x+bmxm设特解的待定式为设特解的待定式为 xy*xxxyyy01(1)mmxyBB xB xa 01()(1)mmxyBB xB xxa或或(6)(7)其中其中B0,B1,Bm为待定系数为待定系数.例例5 求差分方程求差分方程 yx+1 2yx=3x2 的一个特的一个特解解.解解 这里这里 a=2,设设代入差分方程代入差分方程,得得2012,xyBB xB x B0+B1(x+1)+B2(x+1)2 2(B0+B1x+B2x2)=3x2.
9、整理整理,得得 (B0+B1+B2)+(B1+2B2)x B2x2=3x2.比较系数比较系数,得得 B0+B1+B2=0,B1+2B2=0,B2=3.解出解出 B0=9,B1=6,B2=3,故所求特解为故所求特解为2963.xyxx 例例6 求差分方程求差分方程 yx+1 yx=x+1 的通的通解解.解解 对应的齐次方程对应的齐次方程 yx+1 yx=0的通解为的通解为这里这里 a=1,设设01(),xyx BB x (x+1)B0+B1(x+1)x(B0+B1x)=x+1.整理整理,得得 2B1 x+B0+B1=x+1.比较系数比较系数,得得 2B1=1,B0+B1=1,解出解出故所求通解为
10、故所求通解为1(1).2xyCx x代入差分方程代入差分方程,得得011,2BB*.xyC(2)f(x)=Cbx 设特解的待定式为设特解的待定式为 ()xxykbba()xxykxbba或或(8)(9)其中其中 k 为待定系数为待定系数.例例7 求差分方程求差分方程 的通的通解解.解解 对应的齐次方程对应的齐次方程的通解为的通解为1102xxyy因为因为故可设特解为故可设特解为则则15155,2222xxxkk11522xxxyy*1,2xxyC15,22ab5,2xxyk解出解出1.2k 则所求通解为则所求通解为1 51.2 22xxxy四、二阶常系数线性差分方程四、二阶常系数线性差分方程
11、形如形如 yx+2+ayx+1+byx=f(x).(10)(其中其中 a,b 0,且均为且均为常数常数)的方程的方程,称为二阶常系数线性称为二阶常系数线性差分方程差分方程.称为齐次差分方程称为齐次差分方程;当当 f(x)0时时,称为非齐次差分方程称为非齐次差分方程.当当 f(x)=0 时时,即即 yx+2+ayx+1+byx=0 (11)类似于二阶线性常微分方程类似于二阶线性常微分方程,二阶线性差分方程与二阶线性差分方程与其有相同的解的结构其有相同的解的结构.故先求齐次方程故先求齐次方程(11)的通解的通解.当当 为常数时为常数时,yx=x和它的各阶差商有倍数关系和它的各阶差商有倍数关系,所以
12、可设所以可设 yx=x为方程为方程(11)的解的解.代如方程代如方程(11)得得 x+2+a x+1+b x=0,方程方程(12)称为齐次差分方程称为齐次差分方程(11)的特征方程的特征方程.特征方程的解特征方程的解两个不相等的实根两个不相等的实根 1,2一对共轭复根一对共轭复根 1,2=i两个相等实根两个相等实根 1=2 x+2+a x+1+b x=0的通解的通解 2+a +b=0,(12)由特征方程的根的情况可得齐次方程的通解：由特征方程的根的情况可得齐次方程的通解：1122xxxyCC121()xxyCC x 1222(cossin),tanxxyCxCx rr 例例8 求差分方程求差分
13、方程 yx+2 7yx+1+6yx=0的通的通解解.解解 特征方程为特征方程为 方程的根为方程的根为 1=1,2=6.2 7 +6=0.原方程的通解为原方程的通解为 yx=C1+C2 6x.例例9 求差分方程求差分方程 yx+2 4yx+1+16yx=0满足条件满足条件y0=0,y1=1的特的特解解.解解 特征方程为特征方程为 方程的根为方程的根为 2 4 +16=0.原方程的通解为原方程的通解为1,222 3,i 4,.3r 12cossin4.33xxyCxCx代入初始条件代入初始条件 y0=0,y1=1得得012112cos0sin0 40,cossin41,33CCCC解出解出1210
14、,2 3CC故所求特解为故所求特解为14sin.32 3xxyx(1)f(x)=b0+b1x+bmxm 根据非齐次差分方程根据非齐次差分方程 yx+2+ayx+1+byx=f(x)的函数的函数 f(x)的形式的形式,用待定系数法可求出一个特解用待定系数法可求出一个特解.设特解的待定式为设特解的待定式为 01(10),mmxyBB xB xab01()(1020)mmxyBB xB xxaba且且其中其中B0,B1,Bm为待定系数为待定系数.201()(120).mmxyBB xB xxaba 例例10 求差分方程求差分方程 yx+2+yx+1 2yx=12x的通的通解解.解解 对应的齐次方程的
15、特征方程为对应的齐次方程的特征方程为 方程的根为方程的根为 1=2,2=1,2+2=0.齐次方程的通解为齐次方程的通解为*12(2).xxyCC 因为因为 a=1,b=2,1+a+b=0,但但 a+2=3 0,所以所以,设设非齐次方程的一个特解为非齐次方程的一个特解为01(),xyBB x x代入原方程代入原方程,得得整理整理,得得 B0+B1(x+2)(x+2)+B0+B1(x+1)(x+1)(B0+B1x)x=12x.比较系数比较系数,得得 6B1=12,3B0+5B1=0,解出解出故所求通解为故所求通解为21210(2)2.3xxyCCxx 6B1x+3B0+5B1=12x.0110,2
16、,3BB(2)f(x)=Cqx 设特解的待定式为设特解的待定式为 xxyBqxxyBxq其中其中 B 为待定系数为待定系数.(q不是特征根不是特征根);(q是特征方程单根是特征方程单根);2xxyBx q(q是二重特征根是二重特征根).例例11 求差分方程求差分方程 yx+2 3yx+1+2yx=2x的一个特的一个特解解.解解 对应的齐次方程的特征方程为对应的齐次方程的特征方程为 方程的根为方程的根为 1=1,2=2,2 3 +2=0.因为因为 q=2=2,设特解为设特解为2,xxyBx代入原方程代入原方程,得得122.2xxxyxx B(x+2)2x+2 3B(x+1)2x+1+2Bx 2x=2x,1,2B 所求特解为所求特解为
