1、一、选择题1已知对于任意的恒成立，则实数a的取值范围为（ ）ABCD2设正数m，n，则的最大值是（ ）ABCD13已知，则的最小值为（ ）ABCD4设x，求的最小值为（ ）A2B4C8D95若关于的不等式的解集为，则的最小值为（ ）ABCD6不等式的解集为，则函数的图像大致为（ ）ABCD7若正数a，b满足，则的最小值为（ ）A16B25C36D498已知变量满足约束条件，则目标函数=的最大值为（ ）A6B7C8D99设，满足约束条件，若目标函数的最大值为12，则的最小值为（ ）ABCD10若正数 ， 满足 ，则 的最小值为（ ）ABCD11对于任意实数a，b，若ab，则下列不等式一定成立的是
2、（）ABa2b2Ca3b3D12已知函数，对任意的，且，则下列四个结论中，不一定正确的是（ ）ABCD二、填空题13已知函数的图像恒过定点A，若点A在一次函数的图像上，其中，则的最小值是_14已知正实数、满足，则的最小值为_.15若满足，则的最小值是_.16若正数满足，则的最小值为_.17已知变量满足约束条件，若目标函数的最小值为1，则的最小值为_18已知，若a，1，b依次成等差数列，则的最小值为_19在平面四边形中，已知的面积是的面积的3倍若存在正实数x，y使得成立，则的最小值为_20若对定义域内任意，都有（为正常数），则称函数为“距”增函数若，是“距”增函数，则的取值范围是_三、解答题21
3、新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府(万元)补贴后，防护服产量将增加到(万件)，其中为工厂工人的复工率（）.A公司生产万件防护服还需投入成本(万元).（1）将A公司生产防护服的利润(万元)表示为补贴(万元)的函数(政府补贴x万元计入公司收入)；（2）在复工率为k时，政府补贴多少万元才能使A公司的防护服利润达到最大？（3）对任意的(万元)，当复工率达到多少时，A公司才能不产生亏损？（精确到0.01）.22某公司生产某种产品，其年产量为万件时利润为万元，当时，年利润为，当时，年
4、利润为.（1）若公司生产量在且年利润不低于400万时，求生产量的范围；（2）求公司年利润的最大值.23已知关于的一元二次不等式的解集为（）求的值；（）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围24已知函数.（1）当，时，解不等式；（2）当时，解关于x的不等式（结果用a表示）.25已知不等式解集为.（1）求，的值并求不等式的解集；（2）解关于的不等式.26培养某种水生植物需要定期向培养植物的水中加入物质，已知向水中每投放1个单位的物质，（单位：天）时刻后水中含有物质的量增加，与的函数关系可近似地表示为关系可近似地表示为.根据经验，当水中含有物质的量不低时，物质才能有效发挥作用.（1）若在水中首次
5、投放1个单位的物质，计算物质能持续有效发挥作用几天？（2）若在水中首次投放1个单位的物质，第8天再投放1个单位的物质，试判断第8天至第12天，水中所含物质的量是否始终不超过，并说明理由.【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1B解析：B【分析】由对数函数的单调性可得对于任意的恒成立，讨论和求解.【详解】对于任意的恒成立，即，即对于任意的恒成立，当时，恒成立，满足题意，当时，则，解得，综上，a的取值范围为.故选：B.【点睛】本题考查一元二次不等式的恒成立问题，解题的关键是得出对于任意的恒成立.2B解析：B【分析】化简，再结合基本不等式，即可求解.【详解】由题意，正数m，n，则，当且仅当
6、时，即时，等号成立,所以的最大值是为.故选：B.【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”：（1）“一正”：就是各项必须为正数；（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.3D解析：D【分析】利用，展开后应用基本不等式可得最小值【详解】由题意，当且仅当，即时等号成立故选：D【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“
7、一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方4D解析：D【分析】由“1”有代换利用基本不等式可得最小值【详解】因为x，所以，当且仅当，即时，等号成立故选：D【点睛】易错点睛：本题考查用基本不等式求最小值解题关键是利用“1”的代换凑配出定值用基本不等式求最值必须满足三个条件：一正二定三相等特别是相等这个条件常常会不满足，因此就不能用基本不等式求得最
8、值5C解析：C【分析】由韦达定理可得出，分析出、均为正数，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】由于代数式有意义，则，因为关于的不等式的解集为，则、为方程的两根，由韦达定理可得，所以，、均为正数，所以，.当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：C.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这
9、个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.6C解析：C【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程的解求出的关系，然后再判断二次函数的图象【详解】不等式的解集为，图象开口向下，两个零点为故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查一元二次不等式的解集，二次函数的图象，解题关键是掌握一元二次不等式的解集与一元二次方程的解、二次函数的图象之间的关系7A解析：A【分析】由得：，代入化简，利用基本不等式可求函数最小值.【详解】由得：，代入得到：当且仅当：即时取等号.故选：A【点睛】本题考查了均值不等式在求最值问题中的应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.8C解析：C【分析】由约束
10、条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【详解】由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，4），化目标函数zx+2y1为y，由图可知，当直线y过A时，z有最大值为8故选C【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了目标函数的几何意义，考查数形结合的解题思想方法，是中档题9C解析：C【分析】根据的最大值求得的关系式，结合点到直线的距离公式，求得的最小值.【详解】由解得.画出可行域如下图所示，由于，所以目标函数在点取得最大值.的最小值等价于原点到直线的距离的平方，原点到直线的距离为，所以的最小值为.故选：C【点睛】本小题主要考查根据线性规划的最
11、值求参数，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.10A解析：A【解析】正数 ， 满足,则， 故答案为A.点睛：这个题目考查的是含有两个变量的表达式的最值的求法，解决这类问题一般有以下几种方法，其一，不等式的应用，这个题目用的是均值不等式，注意要满足一正二定三相等；其二，二元化一元，减少变量的个数；其三可以应用线线性规划的知识来解决，而线性规划多用于含不等式的题目中11C解析：C【解析】根据题意，依次分析选项：对于A，当，时，故A错误；对于B，当，时，故B错误；对于C，由不等式的性质可得C正确；对于D，当，时，故D错误；故选C.12B解析：B【分析】将函数代入选项，由指数幂的运算性质可判断A、
12、B；由函数的单调性可判断C；由基本不等式可判断D；即可得解.【详解】对于A，故A一定正确；对于B，不一定成立，故B不一定正确；对于C，因为为减函数，故满足，故C一定正确；对于D，因为，所以，故D一定正确.故选：B.【点睛】本题考查了指数函数性质及基本不等式的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.二、填空题138【分析】可得定点代入一次函数得利用展开由基本不等式求解【详解】由可得当时故点A在一次函数的图像上即当且仅当即时等号成立故的最小值是8故答案为：8【点睛】本题考查基本不等式的应用解题的关键是得出定点解析：8【分析】可得定点，代入一次函数得，利用展开由基本不等式求解.【详解】由
13、可得当时，故，点A在一次函数的图像上，即，当且仅当，即时等号成立，故的最小值是8.故答案为：8.【点睛】本题考查基本不等式的应用，解题的关键是得出定点A，代入一次函数得出，利用“1”的妙用求解.14【分析】将所求代数式变形为将所求代数式与相乘展开后利用基本不等式可求得的最小值【详解】已知正实数满足则当且仅当时即当时等号成立因此的最小值为故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其解析：【分析】将所求代数式变形为，将所求代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】已知正实数、满足，则.当且仅当时，即当时，等号成立，因此，的最小值为.故答案为：.【点睛】易错点睛：利用基
14、本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.15【分析】化简得到结合基本不等式即可求解【详解】由满足可得则当且仅当时即时等号成立所以的最小值是故答案为：【点睛】通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤：（1）根据已知条件或其变形确定定值（常解析：【分析】化简，得到，结合基本不等式，即可
15、求解.【详解】由满足，可得，则，当且仅当时，即时等号成立，所以的最小值是.故答案为：.【点睛】通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤：（1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）；（2）把确定的定值（常数）变形为1；（3）把“1”的表达式与所求的最值的表达式相乘或相除，进而构造或积为定值的形式；（4）利用基本不等式求最值.16【分析】将化为后利用基本不等式得再解一元二次不等式可得结果【详解】由得因为所以当且仅当时等号成立所以所以所以或所以或（舍）所以即的最小值为故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必解析：【分析】将化为后，利用基本不等式得，再解一元二次不等式可得结果
16、.【详解】由得，因为，所以，当且仅当时，等号成立.所以，所以，所以或，所以或（舍），所以，即的最小值为.故答案为：.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方17【解析】分析：画出不等式组表示的平面区域因为直线的斜率为由可得因为直线的斜率为-1所以当直线过点时取得最小
17、值1可得利用基本不等式可得详解：画出不等式组表示的平面区域为及其内部如图由可得点当直线过点时解析：【解析】分析：画出不等式组表示的平面区域，因为直线的斜率为，由可得，因为直线的斜率为-1，所以当直线过点时，取得最小值1可得，利用基本不等式可得详解：画出不等式组表示的平面区域为及其内部，如图由 可得点当直线过点时，取得最小值1所以所以当且仅当 即时，上式取“=”号 所以的最小值为18.点睛： 线性规划问题应先画出平面区域，求的最值时，当时，直线越向上平移，取值越大；当时，直线越向上平移，取值越小； 用基本不等式求最值时，和定积最大，积定和最小若为常数，则，然后利用基本不等式求最值即可18【分析】
18、由a1b依次成等差数列可得再利用乘1法及基本不等式计算即可求得答案【详解】且a1b依次成等差数列当且仅当即取等号故的最小值为故答案为：【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用涉及等差中项的定解析：【分析】由a，1，b依次成等差数列，可得，再利用乘“1”法及基本不等式计算，即可求得答案【详解】，且a，1，b依次成等差数列，当且仅当，即，取等号，故的最小值为故答案为：【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及等差中项的定义，考查了分析能力和计算能力，属于中档题19【分析】由面积比得再利用三点共线可得出的关系从而利用基本不等式可求得的最小值【详解】如图设与交于点由得所以又三点共线即共线所以存在实
19、数使得因为所以所以又因为所以当且仅当即时等号成立所以的最小值为故答解析：【分析】由面积比得，再利用三点共线可得出的关系，从而利用基本不等式可求得的最小值【详解】如图，设与交于点，由得，所以，又三点共线，即共线，所以存在实数使得，因为，所以，所以，又因为，所以，当且仅当，即，时等号成立所以的最小值为故答案为：【点睛】本题考查向量共线定理，考查基本不等式求最值，解题关键是利用平面向量共线定理得出的关系，然后用“1”的代换，凑配出定值，用基本不等式求得最小值20【分析】由题中定义得出作差变形后得出对任意的恒成立结合得出由此可求得实数的取值范围【详解】因为函数是距增函数所以恒成立由所以因此实数的取值范
20、围是故答案为：【点睛】本题考查函数新定义考查二次不等式恒成解析：【分析】由题中定义得出，作差变形后得出对任意的恒成立，结合得出，由此可求得实数的取值范围.【详解】，因为函数是“距”增函数，所以恒成立，由，所以因此，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查函数新定义，考查二次不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中等题.三、解答题21（1），；（2）；（3）【分析】（1）根据已知条件列出关系式，即可得出答案；（2）由，进而结合基本不等式求出的最小值，此时取得最大值，从而可求出答案；（3）对任意的(万元)，A公司都不产生亏损，可知在上恒成立，利用参变分离，可得，求出的最大值，令，即可得出答
21、案.【详解】（1）由题意，即，.（2），因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立.所以，故政府补贴为万元才能使A公司的防护服利润达到最大，最大为万元.（3）对任意的(万元)，A公司都不产生亏损，则在上恒成立，不等式整理得，令，则，则，由函数在上单调递增，可得，所以，即.所以当复工率达到时，对任意的(万元)，A公司都不产生亏损.【点睛】本题考查函数模型及其应用，考查利用基本不等式求最值，考查不等式恒成立问题，考查学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题.22（1）；（2）480【分析】（1）令，解之即可；（2）利用二次函数的最值和基本不等式分别求出两段函数的最大值,再比较大小即可【详解】（1）
22、当时，令，即，解得，所以生产量的范围是；（2）当时，故此时在上单调递增，在上单调递减，则此时最大值为；当时，当且仅当时，等号成立，则此时最大值为，综上公司年利润的最大值为480万元【点睛】本题考查了函数的应用，利用二次函数的性质和基本不等式求最值是解题的关键，考查了推理能力与计算能力，属于中档题23（）；（）【详解】试题分析：（1）一元二次不等式的解集的端点即相应的二次方程的根；（2）二次不等式恒成立问题结合相应的函数图象特征，抓端点值即可.试题（）由根与系数的关系得（）由题意对任意恒成立，即令，即， 故.24（1）；（2）时，解集为，时，解集为，时，解集为.【分析】（1）求出的根（由因式分解
23、完成），根据二次函数的图象写出结论（2）化简变形表达式，然后根据和的大小关系分类讨论【详解】（1）当，时，的解集为.（2）当时，即，当时，此时不等式的解集为，当时，此时不等式的解集为，当时，此时不等式的解集为.【点睛】本题考查解一元二次不等式，掌握一元二次不等式的解，二次函数的图象，一元二次方程的根之间的关系是解题关键25（1）；（2）答案见解析.【分析】（1）由已知结合二次不等式的解集端点与二次方程的根的关系即可求解；（2）结合二次不等式的求解对a进行分类讨论即可求解【详解】（1）由题意知，1和是方程的两根，则，解得不等式即为，解得，（2）不等式，即为，即.当时，；当时，；当时，原不等式无解
24、.综上知，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.【点睛】本题主要考查了二次方程与二次不等式的关系的应用及含参不等式的求解，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题26（1）6天.（2）第8天至第12天，水中所含物质的量始终不超过.见解析【分析】（1）由题可知，分类讨论求解满足时的的范围，即可得出在水中首次投放1个单位的物质，物质能持续有效发挥作用的天数；（2）根据已知求出函数解析式，利用基本不等式即可求得当时，从而得出结论.【详解】解：（1）由题意，(单位：天)时刻后水中含有物质的量为：，由于当水中含有物质的量不低时，物质才能有效发挥作用，即需，则当时，且当时，解得：，所以若在水中首次投放1个单位的物质，物质能持续有效发挥作用的时间为：8-2=6天.（2）设第天水中所含物质的量为，则，当且仅当，即时，等号成立，即当时，所以第8天至第12天，水中所含物质的量始终不超过.【点睛】本题考查利用函数解决实际问题，考查分段函数和基本不等式的应用，确定函数的解析式是关键.
