1、一、选择题1在各项为正的递增等比数列中，则（ ）ABCD2已知数列，中满足，若前项之和为，则满足不等式的最小整数是（ ）.A8B9C11D103已知数列为等差数列，首项为2，公差为3，数列为等比数列，首项为2，公比为2，设，为数列的前项和，则当时，的最大值是（ ）A8B9C10D114已知数列满足，若数列是单调递减数列，则实数的取值范围是（ ）ABC(-1，1)D5已知数列满足，则（ ）ABCD6等差数列的公差为2，若成等比数列，则（ ）A72B90C36D457定义：在数列中，若满足（ 为常数），称为“等差比数列”，已知在“等差比数列”中，则等于（ ）A4201621B4201721C420
2、1821D4201828已知数列的前项和是，前项的积是.若是等差数列，则是等差数列；若是等比数列，则是等比数列；若是等差数列，则是等差数列；若是等比数列，则是等比数列.其中正确命题的个数有（ ）A1个B2个C3个D4个9等差数列的前n项和为，已知为整数，且，设，则数列的前项和为（ ）ABCD10设yf(x)是一次函数，若f(0)1，且成等比数列，则等于（ ）An(2n3)Bn(n4)C2n(2n3)D2n(n4)11在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，这些数叫做三角形数.设第个三角形数为，则下面结论错误的是（ ）ABC1024是三角形数D12在公差不为零的
3、等差数列中，依次成等比数列，前7项和为35，则数列的通项等于（ ）AnBCD二、填空题13已知数列与均为等差数列（），且，则的公差为_14如图所示，正方形的边长为，取正方形各边的中点，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点，作第3个正方形，依此方法一直继续下去.如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于_？15已知等差数列的前项和为，若，且、三点共线（该直线不过原点），则_.16一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为，则公差d为_.17已知数列的前项和为，当时，则_18已知函数（是自然对数的底数），设，数列的前项和为，则的值是_.19
4、已知数列的前项和为，则_20若数列满足，且，则数列是等比数列；满足不等式：若函数在R上单调递减，则数列是单调递减数列；存在数列中的连续三项，能组成三角形的三条边；满足等式：.正确的序号是_三、解答题21设等差数列的公差为，.且满足，.（1）求数列的通项公式.（2）记数列，求的前项和.22设是公比为正数的等比数列， ，.（1）求的通项公式；（2）设是首项为，公差为的等差数列，求数列的前项和.23已知数列的前n项和为，当，时，且.（1）求数列的通项公式;（2）设，数列的前n项和，求使得成立的n的最大值.24已知数列是公比大于的等比数列，为数列的前项和，且，成等差数列.数列的前项和为，满足，且.（1
5、）求数列和的通项公式；（2）令，求数列的前项和为；25数列的前项的和为，.（1）证明数列是等比数列，并求通项；（2）若等差数列的各项均为正数，且，成等比数列，求数列的前项和26已知数列的前n项和满足且.数列满足.（1）当时，求数列的前n项和；（2）若对一切都有，求a的取值范围.【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1B解析：B【分析】设其公比为，由等比数列通项公式得，进而得，解得或，再根据数列单调性即可得，进而得【详解】为等比数列，设其公比为，则，即，解得或，又各项为正且递增，故选：B【点睛】本题解题的关键是先根据题意得，进而将转化为求，考查运算求解能力，是中档题.2D解析：D【分析
6、】由可求得数列的通项公式，进而求得数列，表示出，令，即可得到满足不等式的最小整数.【详解】解：由题意可知：，即，即，又，即数列是以首项为9，公比为的等比数列，即，则，即，又，满足不等式的最小整数，即.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用构造法求出数列的通项公式.3A解析：A【分析】由已知分别写出等差数列与等比数列的通项公式，求得数列的通项公式，利用数列的分组求和法可得数列的前项和，验证得答案【详解】解：由题意得：， ，当时，；当时，的最大值为.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是求出数列的通项公式，利用分组求和求出数列的前项和.4A解析：A【分析】由题在恒成立，即，讨论
7、为奇数和偶数时，再利用数列单调性即可求出.【详解】数列是单调递减数列，在恒成立，即恒成立，即，当为奇数时，则恒成立，单调递减，时，取得最大值为，解得；当为偶数时，则恒成立，单调递增，时，取得最小值为20，解得，综上，.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查已知数列单调性求参数，解题的关键由数列单调性得出恒成立，需要讨论为奇数和偶数时的情况，这也是容易出错的地方.5A解析：A【分析】利用已知条件得到，再用累加法求出数列的通项，用裂项相消法求数的和.【详解】由得：，即，所以.故选：A.【点睛】方法点睛：递推公式求通项公式，有以下几种方法：型如：的数列的递推公式，采用累加法求通项；形如：的数列的递推公
8、式，采用累乘法求通项；形如： 的递推公式，通过构造转化为，构造数列是以为首项，为公比的等比数列，形如： 的递推公式，两边同时除以，转化为的形式求通项公式；形如：，可通过取倒数转化为等差数列求通项公式.6B解析：B【分析】由题意结合成等比数列，有即可得，进而得到、，即可求.【详解】由题意知：，又成等比数列，解之得，则，故选：B【点睛】思路点睛：由其中三项成等比数列，利用等比中项性质求项，进而得到等差数列的基本量由成等比，即；等差数列前n项和公式的应用.7C解析：C【分析】根据“等差比”数列的定义，得到数列的通项公式，再利用求解.【详解】由题意可得：， ，根据“等差比数列”的定义可知数列是首先为1
9、，公差为2的等差数列，则，所以，所以.故选：C【点睛】本题考查数列新定义，等差数列，重点考查理解题意，转化思想，计算能力，属于中档题型.8D解析：D【分析】结合等比数列、等差数列的定义，对四个命题逐个分析，可选出答案.【详解】对于，设等差数列的公差为，则为定值，故是等差数列，即正确；对于，设等比数列的公比为，则为定值，故是等比数列，即正确；对于，等差数列的首项为，设公差为，则数列的通项公式为，所以，则时，由符合，可知的通项公式为，则为定值，即是等差数列，故正确；对于，设等比数列的公比为，则，所以，则为定值，即是等比数列，故正确.所以正确命题的个数有4个.故选：D.【点睛】本题考查等比数列、等差
10、数列的判定，考查学生的推理能力，属于中档题.9B解析：B【分析】根据已知条件求得的通项公式，利用裂项求和法求得.【详解】依题意等差数列的前n项和为，已知为整数，且，所以，即，解得，由于为整数，为整数，所以为整数，所以.所以.所以，所以.故选：B【点睛】本小题主要考查裂项求和法，属于中档题.10A解析：A【分析】由已知可以假设一次函数为，在根据成等比数列，得出，利用等差数列的求和公式求解即可【详解】由已知，假设，成等比数列，且，成等比数列，即，从而解得（舍去），.故选：A【点睛】本题考查了等比数列、等差数列和函数的综合应用，考查了学生的计算能力，解题时要认真审题，仔细解答，避免错误，属于中档题1
11、1C解析：C【分析】对每一个选项逐一分析得解.【详解】，由此可归纳得，故A正确；将前面的所有项累加可得，故B正确；令，此方程没有正整数解，故C错误；，故D正确.故选C【点睛】本题主要考查累加法求通项，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12B解析：B【分析】根据等差数列以及等比数列的性质求出首项和公差，从而求出通项公式.【详解】由题意得，等差数列中，依次成等比数列，故，则，故，又数列7项和为35，则，联立解得：，故，故选：B.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的性质，公式，重点考查计算能力，属于基础题型.二、填空题13【分析】本题首先可设数列的公差为则然后根
12、据题意得出最后通过计算即可得出结果【详解】设数列的公差为因为所以因为数列是等差数列所以即解得故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的公差的求法主要考查解析：【分析】本题首先可设数列的公差为，则、，然后根据题意得出，最后通过计算即可得出结果.【详解】设数列的公差为，因为，所以，因为数列是等差数列，所以，即，解得，故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的公差的求法，主要考查等差中项的应用，若数列是等差数列且，则，考查计算能力，是中档题.1450【分析】根据题意正方形边长成等比数列正方形的面积等于边长的平方可得代入求出的通项公式然后根据等比数列的前n项和的公式得到的和即可求解【详解
13、】记第1个正方形的面积为第2个正方形的面积为第n个正方形解析：50【分析】根据题意，正方形边长成等比数列，正方形的面积等于边长的平方可得，代入求出的通项公式，然后根据等比数列的前n项和的公式得到的和即可求解.【详解】记第1个正方形的面积为，第2个正方形的面积为，第n个正方形的面积为，设第n个正方形的边长为,则第n个正方形的对角线长为，所以第n+1个正方形的边长为，即数列是首项为，公比为的等比数列，数列是首项为，公比为的等比数列，所以如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于50,故答案为：5015【分析】先证明出当三点共线（该直线不过原点）且时可得出然后利用等差数列
14、的求和公式可求得的值【详解】当三点共线（该直线不过原点）时则与共线则存在使得即可得因为且三点共线（该直线不过原点）则由等差数列求解析：【分析】先证明出当、三点共线（该直线不过原点）且时，可得出，然后利用等差数列的求和公式可求得的值.【详解】当、三点共线（该直线不过原点）时，则与共线，则存在，使得，即，可得，因为，且、三点共线（该直线不过原点），则，由等差数列求和公式可得.故答案为：.【点睛】本题考查等差数列求和，同时也考查了平面向量三点共线结论的推导与应用，考查计算能力，属于中等题.165【分析】设偶数项和为则奇数项和为由可得的值根据公差求得结果【详解】设偶数项和为则奇数项和为由可得故公差故答
15、案为：5【点睛】本题考查等差数列的定义和性质得到公差是解题的关键解析：5【分析】设偶数项和为，则奇数项和为，由 可得 的值，根据 公差 求得结果【详解】设偶数项和为，则奇数项和为，由 可得，故公差，故答案为：5【点睛】本题考查等差数列的定义和性质，得到，公差，是解题的关键17【分析】由递推关系可以得出数列的奇数项和偶数项分别是一个等比数列所以求数列的前项和可转化为奇数项的和加上偶数项的和即可通过等比数列的求和公式求解【详解】是首项为公比为3的等比数列是首项为公比为3的等解析：【分析】由递推关系可以得出数列的奇数项和偶数项分别是一个等比数列，所以求数列的前项和可转化为奇数项的和加上偶数项的和，即
16、可通过等比数列的求和公式求解.【详解】，是首项为，公比为3的等比数列， 是首项为，公比为3的等比数列，故答案为：.【点睛】本题考查等比数列的判断，以及等比数列求和公式的运用，是一道中档题.18【分析】由题意可得且进而可得结合数列的通项公式可得从而可得答案【详解】根据题意因为所以所以因为所以故答案为：【点睛】此题考查数列的求和以及数列与函数的关系关键是分析属于中档题解析：【分析】由题意可得， ，且，进而可得，结合数列的通项公式可得，从而可得答案.【详解】根据题意，因为，所以，所以，因为所以故答案为：【点睛】此题考查数列的求和以及数列与函数的关系，关键是分析，属于中档题.19【分析】由与的关系得出
17、进而得出数列为等比数列由等比数列的通项公式即可得出【详解】即数列是以1为首项为公比的等比数列故答案为：【点睛】本题主要考查了等比数列前项和与通项的关系属于中档题解析：【分析】由与的关系得出，进而得出数列为等比数列，由等比数列的通项公式即可得出.【详解】即数列是以1为首项，为公比的等比数列 故答案为：【点睛】本题主要考查了等比数列前项和与通项的关系，属于中档题.20【分析】利用所给递推公式求出的通项公式由证明数列不是等比数列根据的单调性求出范围证明正确根据复合函数的增减性判断规则说明错误举出例子证明正确利用裂项相消法求和证明正确【详解】且数列是以解析：【分析】利用所给递推公式求出的通项公式，由证
18、明数列不是等比数列，根据的单调性求出范围证明正确，根据复合函数的增减性判断规则说明错误，举出例子证明正确，利用裂项相消法求和证明正确.【详解】且，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，则，.设，则，因为，所以，因此数列不是等比数列；，因为在上单调递增，所以，正确；因为若数列是单调递减的数列，所以若函数在R上单调递减，则数列是单调递增数列；即可构成三角形的三边，所以正确；因为，所以，正确.故答案为：【点睛】本题考查由递推公式求数列的通项公式，用定义证明等比数列，复合函数的单调性，裂项相消法求和，属于中档题.三、解答题21（1），；（2）.【分析】（1）根据等差数列性质,结合方程解的定义，可知,是
19、方程的两根.根据公差，即可求得,.进而求得公差.结合等差数列通项公式求法即可得解.（2）由（1）中所得数列的通项公式，代入可得数列的通项公式，利用裂项求和法即可得数列的前n项和.【详解】（1）由，则，是方程的两根，由，则，则，则，.（2）将代入可得，则.【点睛】结论点睛：数列求和的常用方法：（1）公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和.（2）错位相减法：若是等差数列，是等比数列，求.（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相消剩下首尾的若干项.常见的裂顶有，等.（4）分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和.（5）倒序相加法.22（1）；（2）.【分析】
20、（1）利用等比数列的定义求出公比后，再根据可得结果；（2）根据等差数列的首项和公差求出后再根据等差、等比数列的前项和公式，分组求和，即可得到结果.【详解】（1）由题意设等比数列的公比为q，即，的通项公式.（2）是首项为1，公差为2的等差数列，数列的前n项和.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前项和公式，考查了等比数列的通项公式和前项和公式，关键是正确求得等比数列的基本量，并注意分组求和思想的应用，属于基础题.23(1) （2）5【分析】（1）由与的关系求数列的通项公式；（2）由错位相减法求和，作差判断单调性，即可求解.【详解】（1）当，时，所以相减整理可得：，（*）当时，解得.所以，即时，
21、（*）式也成立.所以，所以数列是等比数列，首项与公比都为.所以.（2）因为，所以，所以，所以所以因为，所以单调递增.因为，所以，所以的最大值是5.【点睛】关键性点睛：对于形如等差数列与等比数列相乘的形式，求和可用错位相减法，判断数列和的单调性可采用作差法，本题考查了运算能力，属于中档题.24（1），；（2）.【分析】（1）由等比数列的性质和通项公式，解方程可得首项和公比，可得；运用等差数列的定义和通项公式可得；（2）求得，运用数列的裂项相消求和和错位相减法求和，结合等比数列的求和公式可得所求和.【详解】（1）由已知，得，即，也即，解得，故；，可得是首项为1，公差为的等差数列，当时，经检验时也符
22、合上式.则，；（2），设，所以，两式相减得= 所以，所以.【点睛】方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）倒序相加法；（5）分组求和.要根据具体情况灵活选择合适的方法求解.25（1）证明见解析，；（2）【分析】（1）利用即可建立关系证明等比数列，进而求出通项公式；（2）由题可列出方程求出的首项和公差，进而求出通项公式，再利用错位相减法即可求出.【详解】（1），两式相减得 即=，所以=3(n2)；又由n=1时，及=1，得=3，=3，合并为=3(n).数列是以1为首项公比为3的等比数列，；（2）设数列的公差为d，可得，所以；由(1)知：=1，=3，=
23、9，据条件+，成等比数列得，由解得：或，当时，与题意0不符；当时，=2n+10，符合题意，则，以上两式相减：，.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于结构，利用分组求和法；（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.26（1）；（2）.【分析】（1）由得出，再令，由，得出，可推出，两式相减得出，利用等比数列的通项公式得出数列的通项公式，可求出数列的通项公式，然后利用错位相减法求出数列的前项和；（2）由得出，分两种情况和讨论.当时，利用参变量分离法得出，可得出；当时，利用参变量分离法得出，可得出.综合得出实数的取值范围.【详解】当时，解得.当时，可得，上述两式相减得，即，所以.所以数列是首项为a，公比为a的等比数列，从而.（1）当时，则，所以.（2）由，可得.当时，由，可得，对一切都成立，此时的解为；当时，由，可得，对一切都成立，.由，可知，对一切都有的a的取值范围是.【点睛】本题考查利用前项和求通项，考查错位相减法求和以及数列不等式恒成立与参数问题，解题时要熟悉一些常见的求通项和数列求和方法，以及在数列不等式恒成立问题中，灵活利用参变量分离法简化计算，考查分类讨论数学思想，属于难题.
