1、一、选择题1一艘客船上午在处，测得灯塔在它的北偏东，之后它以每小时海里的速度继续沿正北方向匀速航行，上午到达处，此时测得船与灯塔相距海里，则灯塔在处的（ ）A北偏东B北偏东或东偏南C东偏南D以上方位都不对2在中，角、的对边分别为、，则的形状为（ ）A等边三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D直角三角形3中，角所对的边分别为若，则边（ ）A1B2C4D64已知分别是的三个内角所对的边，若，是的等差中项，则角（ ）ABCD5在中，分别为三个内角的对边，若，则一定是（ ）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形6在直角梯形中，则（ ）ABCD7在中，角、对边分别为、，若，且，则
2、的周长是（ ）ABCD8如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么顶角的余弦值是ABCD9在中，则的面积为ABCD10在中，角、所对的边分别为、，若角、成等差数列，且，则的面积的最大值为（）ABCD11在ABC中，a2tanB=b2tanA，则ABC是（ ）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形12在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，则B为（ ）AB或CD或二、填空题13在中，角A，B，C的对边a，b，c为三个连续自然数，且，则_14在中，角A，B，C的对边a，b，c为三个连续偶数，且，则_.15在 中，则的取值范围为_.16如图，三个全等的三角形，拼成一个等边三
3、角形ABC，且为等边三角形，若，则的值为_.17的内角，的对边分别为，其中，若，则面积的最大值是_.18如图，设、两点在河的两岸，一测量者在的同侧所在的河岸边选定一点，测出的距离为，后，就可以计算出、两点的距离为_19中，a，b，c分别是的对边，则_.20的内角，的对边分别为，已知，则的面积为_三、解答题21在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且.（1）求角A；（2）若的面积，求a的取值范围.22已知在ABC中，abc2(1)，求角A的大小.23在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若2bcosBacosC+ccosA（1）求角B的大小；（2）若线段BC上存在一点D，使
4、得AD2，且AC，CD1，求SABC.24在中，角所对的边分别为，若角为，且（1）求的值；（2）若的内切圆的半径，求的面积25已知是的内角的对边，且.（1）求角的大小；（2）若的面积，求的值26已知的内角，的对边分别为，向量（1）当时，求的值；（2）当时，且，求的值【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1B解析：B【分析】根据题意作出示意图，利用正弦定理求出，可求得，即可得解.【详解】如下图所示： 客船半小时的行程为（海里），因为（海里），由正弦定理可得，所以，或.当时，此时，灯塔在处的北偏东；当时，此时，灯塔在处的东偏南.综上所述，灯塔在处北偏东或东偏南.故选：B.【点睛】方法点睛
5、：在求解测量角度问题时，方法如下：（1）对于和航行有关的问题，要抓住时间和路程两个关键量，解三角形时将各种关系集中在一个三角形中利用条件求解；（2）根据示意图，把所求量放在有关三角形中，有时直接解此三角形解不出来，需要先在其他三角形中求解相关量2D解析：D【分析】利用二倍角公式、正弦定理可得出，利用两角和的正弦公式可得出，求出的值，即可得出结论.【详解】，由正弦定理可得，所以，则，则，因此，为直角三角形.故选：D.【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，
6、优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.3C解析：C【解析】试题分析：，即，解得或（舍去）考点：余弦定理，正弦定理4A解析：A【详解】由题设可得，运用正弦定理可得，则或，但，应选答案A5D解析：D【分析】根据，利用正弦定理将边转化为角得到，然后再利用二倍角的正弦公式化简求解.【详解】因为，由正弦定理得：，所以，所以或，即或所以一定是等
7、腰三角形或直角三角形，故选：D【点睛】本题主要正弦定理，二倍角公式的应用，属于中档题.6C解析：C【分析】设，计算出的三条边长，然后利用余弦定理计算出【详解】如下图所示，不妨设，则，过点作，垂足为点，易知四边形是正方形，则，在中，同理可得，在中，由余弦定理得，故选C【点睛】本题考查余弦定理求角，在利用余弦定理求角时，首先应将三角形的边长求出来，结合余弦定理来求角，考查计算能力，属于中等题7D解析：D【分析】由已知条件求出角的值，利用余弦定理求出、的值，由此可计算出的周长.【详解】，则，由余弦定理得，即，因此，的周长是.故选：D.【点睛】本题考查三角形周长的计算，涉及余弦定理的应用，考查计算能力
8、，属于中等题.8D解析：D【解析】设顶角为C，l=5c，a=b=2c，由余弦定理得：故答案为D.9C解析：C【分析】利用三角形中的正弦定理求出角B，利用三角形内角和求出角C，再利用三角形的面积公式求出三角形的面积，求得结果.【详解】因为中，由正弦定理得：，所以，所以，所以，所以，故选C.【点睛】该题所考查的是有关三角形面积的求解问题，在解题的过程中，需要注意根据题中所给的条件，应用正弦定理求得，从而求得，之后应用三角形面积公式求得结果.10B解析：B【分析】由等差数列性质得，应用正弦定理边角转换、余弦定理由已知可求得三角形外接圆半径，从而边可用角表示，最后用角表示出三角形面积，结合三角函数恒等
9、变换、正弦函数性质得出最大值【详解】角、成等差数列，又，由正弦定理得，即，又由正弦定理得，时，即取得最大值故选：B【点睛】本题以我们熟知的三角形为背景，探究的是三角形面积的最大值，结合等差数列的性质，利用正弦定理进行边角转换，考查目的是让考生发现、揭示问题本质的关联点，从而有效的激发考生学习兴趣，本题同时考查了考生的逻辑推理能力、直观想象能力本题属于中档题11D解析：D【分析】根据正弦定理，化简得到，得到答案.【详解】，故，即.故或，即或.故选：.【点睛】本题考查了正弦定理判断三角形形状，意在考查学生的计算能力.12C解析：C【分析】根据正弦定理得到，再根据知，得到答案.【详解】根据正弦定理：
10、，即，根据知，故.故选：.【点睛】本题考查了根据正弦定理求角度，多解是容易发生的错误.二、填空题134【分析】先由正弦定理可得再由余弦定理可得即可由解出【详解】abc为三个连续自然数由正弦定理可得即由余弦定理可得解得故答案为：4【点睛】本题考查正余弦定理的应用解题的关键是分别利用正弦定理和余弦定理解析：4【分析】先由正弦定理可得，再由余弦定理可得，即可由解出.【详解】a，b，c为三个连续自然数，由正弦定理可得，即，由余弦定理可得，解得.故答案为：4.【点睛】本题考查正余弦定理的应用，解题的关键是分别利用正弦定理和余弦定理表示出，即可得出.148【分析】根据大边对大角可得可设由已知条件利用正弦的
11、二倍角公式和正余弦定理得到关于的方程求解即可【详解】由题意可得又角ABC的对边abc为三个连续偶数故可设由由余弦定理得所以即解得故故答案为：【点睛解析：8【分析】根据大边对大角，可得, 可设,由已知条件，利用正弦的二倍角公式和正余弦定理得到关于的方程求解即可.【详解】由题意可得,又角A，B，C的对边a，b，c为三个连续偶数，故可设由,由余弦定理得.所以,即解得,故.故答案为：.【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的综合运用，关键是熟练使用二倍角公式，正弦定理角化边，正余弦定理联立得到方程求解.15【分析】先根据三角形任意两边之和大于第三边求出的范围再结合余弦定理可以用表示求出的范围进而求得的
12、取值范围【详解】解：在中内角的对边分别是由题意得即令所以所以根据导数与函数单调性的关系得：函数在上单调解析：【分析】先根据三角形任意两边之和大于第三边求出的范围，再结合余弦定理可以用表示，求出的范围，进而求得的取值范围.【详解】解：在中，内角，的对边分别是，由题意得，即，令，所以，所以根据导数与函数单调性的关系得：函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，的取值范围为.所以又因为，所以.故答案为：.【点睛】本题考查余弦定理解三角形，三角形的性质，考查运算能力与化归转化思想，是中档题.16【分析】首先设中利用正弦定理表示的值【详解】设因为三角形互为全等三角形且是等边三角形所以且在中根据正弦定理有
13、所以所以即故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理三角函数恒等变换属于中档题型解析：【分析】首先设，中，,利用正弦定理表示的值.【详解】设，因为三角形，互为全等三角形，且是等边三角形，所以，且,在中，根据正弦定理有，所以，所以，即，.故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理，三角函数恒等变换，属于中档题型.17【分析】根据利用正弦定理得到再利用余弦定理求得然后由余弦定理结合基本不等式得到再利用三角形面积公式求解【详解】因为所以即所以因为所以由余弦定理得：所以所以故面积的最大值是故答案为：【点睛】本题主要考解析：【分析】根据，利用正弦定理得到，再利用余弦定理求得，然后由余弦定理结合基本不等式得到 ，
14、再利用三角形面积公式求解.【详解】因为所以，即，所以，因为，所以，由余弦定理得：,所以，所以，故面积的最大值是，故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用以及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18【分析】由与求出的度数根据以及的长利用正弦定理即可求出的长【详解】解：在中即则由正弦定理得：故答案为：【点睛】本题考查正弦定理以及特殊角的三角函数值熟练掌握正弦定理是解本题的关键解析：【分析】由与，求出的度数，根据，以及的长，利用正弦定理即可求出的长【详解】解：在中，即，则由正弦定理，得：故答案为：.【点睛】本题考查正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解
15、本题的关键19【分析】由结合余弦定理得到求解【详解】因为所以即：因为所以故答案为：【点睛】本题主要考查三角形面积公式与余弦定理的应用还考查了运算求解的能力属于中档题解析：【分析】由，结合余弦定理得到求解.【详解】因为，所以，即：，因为，所以，故答案为：【点睛】本题主要考查三角形面积公式与余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20【分析】由正弦定理得由平方关系和余弦定理可得再利用面积公式即可得解【详解】由已知条件及正弦定理可得易知所以又所以所以所以即所以的面积故答案为：【点睛】本题考查了正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用解析：【分析】由正弦定理得，由平方关系和余弦定理可得，再利
16、用面积公式即可得解.【详解】由已知条件及正弦定理可得，易知，所以，又，所以，所以，所以，即，所以的面积故答案为：.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，属于中档题.三、解答题21（1）；（2）【分析】（1）由正弦定理化角为边可得，再利用余弦定理即可求出；（2）由面积公式可得，再利用基本不等式即可求出.【详解】（1）由已知结合正弦定理可得，即，则由余弦定理可得，；（2），则，由，当且仅当时等号成立，.22【分析】利用余弦定理可求的大小.【详解】由题设可设，由余弦定理得，而为三角形内角，故.23（1）；（2）.【分析】（1）由2bcosBacosC+ccosA，利用正弦定理与
17、两角和的正弦公式算出2sinBcosBsin（A+C），再根据诱导公式化简可得cosB，结合B（0，）可得角B的大小.（2）由余弦定理求得cosC的值，可得C的值，利用三角形内角和公式求得A的值，再利用正弦定理求得AB的值，从而求得SABCABACsinA 的值.【详解】（1）2bcosBacosC+ccosA，根据正弦定理，可得2sinBcosBsinAcosC+sinCcosA，即2sinBcosBsin（A+C）.又ABC中，sin（A+C）sin（180B）sinB02sinBcosBsinB，两边约去sinB得2cosB1，即cosB，B（0，），B.（2）在ACD中，AD2，且AC
18、，CD1，由余弦定理可得：cosC，C，ABC，由，可得，AB2，SABC ABACsinA 2 sin（） （sincoscossin） （）.【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.24（1）；（2）.【分析】（1）利用诱导公式可将已知等式化简得到，知，由正弦定理可知，由此可求得结果；（2）根据和，根据（1）中，可构造方程求得，代入可得所求面积.【详解】（1），由得：，.（2）由（
19、1）知：，又，解得：，.【点睛】关键点点睛：第二问求解三角形面积的关键是能够利用两种不同方式表示出所求三角形的面积，即，从而构造方程求得所需的边长.25（1）；（2）.【分析】（1）由已知化简可得，解出即可求出角的大小；（2）利用面积公式可求得，再利用余弦定理可求得，进而求出外接圆直径，得出所求.【详解】（1），解得或（舍去）.，所以.（2），由余弦定理得，由正弦定理得外接圆直径，所以.【点睛】本题考查正余弦定理的应用，解题的关键是正确利用正余弦定理进行化简.26（1）1；（2）2【分析】（1）由题意得，即，由正弦定理有：，联立即可得解的值（2）由平行条件得，由，则可得，联立即可得解【详解】解：（1）由题意得：，即得，在三角形中由正弦定理有：，由以上两式可知： （2）由平行条件得， ， 则可得到：，
