1、 6平面方程及其应用秒杀知识点知识点1：（空间平面方程）设平面经过空间一点，且法向量，记平面内任一点为，则由得，所以，即，其形式为（不全为0）于是得到：定理1空间中，以为法向量的平面方程为（不全为0）（*）从方程形式可以很快确定该平面的法向量，给我们解决问题带来了很大的方便一般地，若知道空间中不共线的三点，将它们的坐标代入（*）式，通过解方程组，就能确定平面的方程，从而确定其法向量知识点2：（点到平面距离公式）定理2设空间中点的坐标为，平面的方程为，则点到平面的距离证明：设平面内任一点，则，又平面的法向量，且，所以点到平面的距离上述定理可看作平面内点到直线距离公式在空间的推广，该公式形式简捷，
2、具备对称和谐之美，学生也便于记忆，有很强的操作性平面方程问题在原人教B版选修2-1P106（探索与研究）专栏中有过介绍，但对它的应用教材并未涉及本节主要介绍平面方程的一些基本应用就运算来说虽然不能简化，但就解题思路是一种通性通法，就解题路径讲是一种“秒杀”方式秒杀思路分析利用平面方程可以解决高考中的立体几何的平行、垂直、二面角、直线与平面成角以及点到平面距离问题解题思路一般依条件建立空间坐标系，求出点的坐标进而求出相应平面方程，利用平面方程写出法向量或讨论相关问题【示例1】如图，在正三棱柱中，是的沿长线上一点，过三点的平面交于，交于（1）当平面平面时，求的值；（2）求证：平面【秒杀方法】（1）
3、如图，取的中点，的中点，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系则在平面中，设平面的方程为，则：，于是平面的方程为得平面的一个法向量在平面中，设平面的方程为，则：于是平面的方程为，得平面的一个法向量为，当平面平面时，即（2）由（1）知平面的一个法向量为，又，且，所以，即，所以平面【示例2】（2017年全国卷理19）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，是的中点（1）证明：直线平面（2）点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值【秒杀方法】（1）由已知得，以为坐标原点，方向为轴正方向，以为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，则，则设平面的方程为则于是平面的方程为，得平面的一
4、个法向量，平面（2）由与平面所成角为，可求点设平面的方程为,则，即，则平面的方程为可得平面的一个法向量为又平面的方程为，则法向量为因此二面角的余弦值为【示例3】（原人教B版选修2-1P113例2）如图，已知四棱锥，底面，是中点，在上，且，求点到平面的距离【秒杀方法】以为坐标原点，分别以直线，为轴，轴，轴建立直角坐标系，如图所示，则，设平面的方程为即即则平面的方程为即到平面的距离方法对比【例1】（2017年全国卷理19）如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，（1）证明：平面平面；（2）过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值常规方法（1）证明：由题设可得，从而，又
5、是直角三角形，所以取的中点，连接，则，又因为是正三角形，故，所以为二面角的平面角，在中，又，所以，故所以平面平面（2）解：由题设及（1）知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系则，由题设知，四面体的体积为四面体的体积的，从而到平面的距离为到平面的距离的，即为的中点，得，故，设是平面的法向量，则即可取设是平面的法向量，则同理可取，则所以二面角的余弦值为秒杀方法（1）证明：取中点，中点，由已知，又，平面，即平面，又平面，故平面平面（2）建立如图所示的空间直角坐标系设，由已知为中点，设平面的方程为即则平面的方程为，即可得法向量设平面的方程为即即，平面的方
6、程为可得法向量则所以二面角的余弦值为【例2】（2014年新课标全国文18）如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点（1）证明：平面；（2）设，三棱锥的体积，求到平面的距离常规方法（1）连接交于点，连接为矩形，为中点又为中点，则，又平面，平面，故平面（2），由可得作交于，由题意知平面，则，故平面又，故到平面的距离为秒杀方法（1）建立如图所示的空间直角坐标系设，则，设平面的方程为，则即则平面的方程为，即可得法向量，又，故平面（2）由，可得，则，设平面的方程为，则即则平面的方程为，即，则到平面的距离秒杀训练【试题1】已知点，平面经过点，求点到平面的距离【试题2】已知为空间直角坐标系内一定点，过作一
7、平面与三坐标轴的正半轴分别交于三点，则所有这样的四面体的体积的最小值为_【试题3】如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，（1）证明：四点共面；（2）略【试题4】已知三棱柱的侧棱与底面垂直，分别是的中点，点在直线上，且（1）证明：无论取何值，总有；（2）当取何值时，直线与平面所成的角最大?并求该角取最大值时的正切值；（3）是否存在点，使得平面与平面所成的二面角为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由真题回放【试题1】（2016年江西预赛）如图，在四面体中，为正三角形，则点到面的距离为_【试题2】（2017年安徽预赛）设正八面体的棱长为1，则其两个平行平面之间的距离为_【试题3】（2017年清华大学领军计划试题）已知点集，则的体积是（ ）ABCD【试题4】（2017年新课标全国卷理18）如图，在四棱锥中，且（1）证明平面平面；（2）若，求二面角的余弦值【试题5】（2011年江西高考理科题）（1）如图，对于任一给定的四面体，找出依次排列的四个相互平行的平面，使得，且其中每相邻两个平面间的距离都相等；（2）给定依次排列的四个相互平行的平面，其中每相邻两个平面间的距离都为1，若一个正四面体的四个顶点满足，求该正四面体的体积
