1、第32讲基本立体图形及几何体的表面积与体积第七章立体几何激激 活活 思思 维维【解析】CD【解析】3如图，一个水平放置的ABO的斜二测画法的直观图是等腰直角三角形ABO，若BABO1，则原三角形ABO的面积为_【解析】4(人A 必二P119T2)当一个球的半径为_时，其体积和表面积的数值相等【解析】35(人A必二P116T1改编)已知正四棱台上、下底面的边长分别为4和8，高为2，则该正四棱台的表面积为_【解析】1直观图的斜二测画法(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x轴、y轴的夹角为_ _，z轴与x轴、y轴所在平面_(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴平行于x
2、轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的_.聚聚 焦焦 知知 识识45(或垂直一半135)2多面体的结构特征平行四边形三角形梯形Sh3旋转体的结构特征矩形名称圆柱圆锥圆台球图形 母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点 轴截面_圆面等腰三角形等腰梯形2rlrl(r1r2)l4R2Sh视角1结构特征基本立体图形基本立体图形目标1举举 题题 说说 法法1-1 下列说法正确的是()A棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形B以直角三角形一边为旋转轴，旋转所得的几何体是圆锥C用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台D空间中，到一个定点的距离等于定长的
3、点的集合是球【解析】【答案】A对于A，根据棱柱的定义“有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱”，得棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，故A正确对于B，以直角三角形的斜边为旋转轴，旋转所得的几何体不是圆锥，故B不正确对于C，用垂直于底面的平面去截圆锥，得到的不是一个圆锥和一个圆台，故C不正确对于D，空间中，到一个定点的距离等于定长的点的集合是球面，而不是球体，故D不正确识别空间几何体的两种方法(1)定义法：紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本要素，根据定义进行判定(2)反例
4、法：通过反例对结构特征进行辨析，要说明一个结论是错误的，只要举出一个反例即可变式变式(多选)下面关于空间几何体的叙述正确的是()A底面是正多边形的棱锥是正棱锥B用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形C长方体是直平行六面体D存在每个面都是直角三角形的四面体CD【解析】A中，当顶点在底面的投影是正多边形的中心时才是正棱锥，故A不正确B中，当平面与圆柱的母线平行或垂直时，截得的截面才为矩形或圆，否则为椭圆或椭圆的一部分，故B不正确C正确D中，如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中的三棱锥C1-ABC，四个面都是直角三角形，故D正确视角2直观图已知水平放置的四边形OABC按斜二测画法得到如图所示的直观
5、图，其中OABC，OAB90，OA1，BC2，则原四边形OABC的面积为()1-2【解析】【答案】B(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段：平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半变式变式如图，一个水平放置的平面图形OABC的斜二测直观图是平行四边形OABC，且OC2OA2，AOC45，则平面图形OABC的周长为()D【解析】根据斜二测画法的规则可知该平面图形是矩形，如图，可知AB4，OA1，故该平面图形OABC的周长为2(OAAB)10.视角3展开图C如图，在正三棱锥S-ABC中，BSC40，BS2，一质点自点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的
6、最短路线的长为()1-3【解析】将三棱锥S-ABC沿侧棱BS展开，其侧面展开图如图所示如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2 cm，高为5 cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为()A5 cm B12 cmC13 cm D25 cm1-4【解析】C立体图形的展开是指将空间图形沿某一条棱展开为平面图形，研究其面积或者距离的最小值，把几何体中的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离问题变式变式如图，圆柱的高为2，底面周长为16，四边形ACDE为该圆柱的轴截面，B为半圆弧CD的中点，则在此圆柱的侧面上，从A到B的路径中，最短路径的长度为()【
7、解析】B多面体的表面积与体积多面体的表面积与体积目标22【解析】【答案】A如图，在等腰梯形ABFE中，过点E作EMAB，垂足为M.【解析】如图，取AB中点E，连接PE，CE.因为ABC是边长为2的等边三角形，PAPB2，所以PEAB，CEAB.又PE，CE平面PEC，PECEE，所以AB平面PEC.A(1)(2024湛江期初)如图所示为某工厂内一手电筒最初模型的组合体，该组合体是由一圆台和一圆柱组成的，其中O为圆台下底面圆心，O2，O1分别为圆柱上、下底面的圆心，经实验测量得到圆柱上、下底面圆的半径为 2 cm，O1O25 cm，OO14 cm，圆台下底面圆半径为5 cm，则该组合体的表面积为
8、()旋转体的表面积与体积旋转体的表面积与体积目标33A42 cm2 B84 cm2C36 cm2 D64 cm2【解析】B(2)已知RtABC中，C90，AC4，BC3，现将该三角形沿斜边AB旋转一周，则旋转形成的几何体的体积为()C3【解析】将RtABC沿斜边AB旋转一周，旋转形成的几何体如图所示变式变式(1)(2024九省联考)已知轴截面为正三角形的圆锥MM的高与球O的直径相等，则圆锥MM的体积与球O的体积的比值是_，圆锥MM的表面积与球O的表面积的比值是_【解析】【答案】1变式变式(2)(2024武汉期初调研)某玻璃制品厂需要生产一种如图(1)所示的玻璃杯，该玻璃杯造型可以近似看成是一个
9、圆柱挖去一个圆台得到，其近似模型的直观图如图(2)所示(图中数据单位为cm)，则该玻璃杯所用玻璃的体积(单位：cm3)为()A【解析】图(2)图(1)祖暅原理祖暅原理内容：幂势既同，则积不容异含义：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等应用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等新视角(2023武汉武昌三模)有一个球形瓷碗，它可以看成半球的一部分，若瓷碗的碗口直径为8，高为2，利用祖暅原理可求得该球形瓷碗的体积为_4【解析】设瓷碗所在球O1的半径为R，则有(R2)242R2，得R5.图(1)图(2)如图(2)
10、，在以过球心的截面圆为底面圆，以R5为高的圆柱中挖去一个等底等高的圆锥，其中，圆O1与圆O4在同一平面上，圆O3所在平面截圆柱所得截面的圆心为O5，易知O5M3h，故圆环的面积也为52(3h)2，即在求瓷碗体积时，符合祖暅原理(备注：瓷碗是图(3)中上方倒扣的部分).图(1)图(2)图(3)图(4)图(3)图(4)【答案】【解析】图(1)由祖暅原理知，碗的体积等于图(2)中高为3cm的圆柱的体积减去一个圆台的体积图(2)设圆台上表面半径为r1cm，则r1O1POO11，下表面半径为r2cm，则r2O2QO2O4.V圆台h(rrr1r2)21(cm3)，V碗V圆柱V圆台R2h2154(cm3).
11、【答案】5 54随随 堂堂 内内 化化1如图，AOB表示水平放置的AOB的直观图，点B在x轴上，AO和x轴垂直，且AO2，则AOB的边OB 上的高为()C【解析】如图，作ACx轴，交y轴于C.B【解析】3(2023聊城一模)龙洗，是我国著名的文物之一，因盆内有龙纹故称龙洗，为古代皇宫盥洗用具，其盆体可以近似看作一个圆台现有一龙洗盆高15 cm，盆口直径40 cm，盆底直径20 cm.现往盆内倒入水，当水深6 cm时，盆内水的体积近似为()A1 824 cm3 B2 739 cm3C3 618 cm3 D4 512 cm3【解析】【答案】B如图，画出圆台的立体图形和轴截面平面图形，延长AC与BD
12、交于点G.根据题意，AB20 cm，CD10 cm，AC15 cm，EC6 cm.【解析】【答案】AC配套精练练习练习1A组夯基精练组夯基精练一、单项选择题1(2023济南三月模拟)已知正三角形的边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为()B【解析】2(2023宁波二模)我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题，在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为36寸，盆底直径为12寸，盆深18寸若某次下雨盆中积水的深度恰好是盆深的一半，则平均降雨量是(注：平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积)()【解析】【答案】C3在我国古代数学名著数书九章中有这样一个问题
13、：“今有木长二丈四尺，围之五尺葛生其下，缠本两周，上与木齐，问葛长几何？”意思是“圆木长2丈4尺，圆周长为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺？”(注：1丈等于10尺)，则这个问题中，葛藤长的最小值为()A2丈4尺B2丈5尺C2丈6尺D2丈8尺C【解析】【解析】【答案】CD【解析】6如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知AB9cm，CD3cm，则该青铜器的表面积为(假设上、下底面圆是封闭的)()【解析】【答案】A二、多项选择题7已知一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列
14、结论正确的是()A圆柱的侧面积为4R2B圆锥的侧面积为2R2C圆柱的侧面积与球的表面积相等D球的体积是圆锥体积的两倍【解析】对于A，因为圆柱的底面直径和高都等于2R，所以圆柱的侧面积S12R2R4R2，故A正确；【答案】ACD对于C，圆柱的侧面积为S14R2，球的表面积S34R2，即圆柱的侧面积与球的表面积相等，故C正确；8某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，ABADBC2cm，且CD2AB，下列说法正确的有()【解析】对于C，圆台的侧面积为S侧(12)26(cm2)，故C正确；【答案】ACD三、填空题9(2023新高考卷)底面边长为4的正四棱锥被
15、平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为_28【解析】10如图，某学具可看成将一个底面半径与高都为10cm的圆柱挖去一个圆锥(此圆锥的顶点是圆柱的下底面圆心、底面是圆柱的上底面)所得到的几何体，则该学具的表面积为_cm2.【解析】11(2023武汉四月调研)半正多面体亦称“阿基米德体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体，则得到的二十四等边体与原正方体的
16、体积之比为_【解析】【答案】12(2023泰州调研)某同学的通用技术作品如图所示，该作品由两个相同的正四棱柱组成已知正四棱柱的底面边长为3cm，则这两个正四棱柱的公共部分构成的多面体的面数为_，体积为_cm3.8【解析】易知两个正四棱柱的公共部分为两个正四棱锥拼接而成，且两个正四棱锥的底面重合，所以公共部分构成的多面体的面数为8.【解析】BA【解析】15(选做)(2024合肥一中期末)同余定理是数论中的重要内容同余的定义为：设a，bZ，mN*且m1.若m|(ab)，则称a与b关于模m同余，记作ab(modm)(“|”为整除符号).(1)解同余方程x2x0(mod3).【解答】由题意知x(x1)
17、0(mod3)，所以x3k或x13k(kZ)，即x3k或x3k1(kZ).15(选做)(2024合肥一中期末)同余定理是数论中的重要内容同余的定义为：设a，bZ，mN*且m1.若m|(ab)，则称a与b关于模m同余，记作ab(modm)(“|”为整除符号).(2)设(1)中方程的所有正根构成数列an，其中a1a2a3an.若bnan1an(nN*)，数列bn的前n项和为Sn，求S2 024；若cn tan a2n1tan a2n1(nN*)，求数列cn的前n项和Tn.【解答】【解析】【答案】B根据直观图画法的规则，直观图中A1D1平行于y1轴，A1D11，可知原图中ADOy，从而得出ADDC，
18、且AD2A1D12，A【解析】【解析】如图，甲、乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成一个圆，设圆的半径(即圆锥母线)为3，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1，r2，高分别为h1，h2，【答案】C【解析】C【解析】【答案】C依题意可知棱台的高MN157.5148.59(m)，所以增加的水量即为棱台的体积V.6中国古代数学家刘徽在九章算术注中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的立体为“牟合方盖”，如图(1)(2)，刘徽未能求得牟合方盖的体积，直言“欲陋形措意，惧失正理”，不得不说“敢不阙疑，以俟能言者”约200年后，祖冲之的儿子祖暅提出“幂势既同，则积不容异”，后世称为祖暅原理，即：两等高几何
19、体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立体体积相等.图(1)图(2)如图(3)(4)，祖暅利用八分之一正方体去掉八分之一牟合方盖后的剩余几何体与底面边长、高皆为八分之一正方体的棱长的倒四棱锥“等幂等积”，计算出牟合方盖的体积，据此可知，牟合方盖的体积与其外切正方体的体积之比为()图(3)图(4)【解析】B二、多项选择题7折扇在我国已有三四千年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”它以字画的形式集中体现了我国文化的方方面面，是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图(1)图(2)是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3，且ABC120，则该
20、圆台()图(1)图(2)【解析】【答案】BCD8(2022新高考卷)如图，四边形ABCD为正方形，ED平面ABCD，FBED，ABED2FB.记三棱锥E-ACD，F-ABC，F-ACE的体积分别为V1，V2，V3，则()AV32V2BV3V1CV3V1V2D2V33V1【解析】如图，连接BD交AC于O，连接OE，OF.设ABED2FB2，则ABBCCDAD2，FB1.因为ED平面ABCD，AC平面ABCD，所以EDAC，又ACBD，且EDBDD，ED，BD平面BDEF，所以AC平面BDEF.因为OE，OF平面BDEF，所以ACOE，ACOF.【答案】CD【解析】如图，过A1作A1MAC，垂足为M，易知A1M为四棱台ABCD-A1B1C1D1的高【解析】DP，PC1分别在平面A1B1CD与平面CB1C1内移动，如图，将平面CB1C1以CB1为轴旋转至平面A1B1CD所在平面，得到B1CC1，则DC1即为DPPC1的最小值图(1)图(2)图(3)【解析】【答案】16如图，构造一个底面半径为2，高为3的圆柱，挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点的圆锥，B【解析】2，2【解析】14(2024淮安期初)已知函数f(x)ax22ln x.(1)讨论函数f(x)的单调性；【解答】当a0时，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递减；【解答】a(0，1)1(1，)(a)0(a)极小值谢谢观赏
