1、（初升高）高一数学衔接班第3讲因式分解一、学习目标：1、掌握因式分解的常用方法：乘法公式法（立方和及立方差公式）、分组分解法、十字相乘法2、了解换元、添项拆项分解因式的方法。3、能够灵活运用上述方法进行因式分解变形。二、学习重点：分解因式的常见方法三、课程精讲：1、知识回顾：（1）a2b2（ab）（ab）；（2）a22abb2（ab）22、新知探秘：如何将8分解因式呢？知识点一：运用乘法公式法（立方和立方差公式） a3b3（ab）（a2abb2）；a3b3（ab）（a2abb2）. 两个数的立方和（差），等于这两个数的和（差）乘以它们的平方之和与它们积的差（和）。 例1. 用立方和或立方差公式
2、分解下列各多项式：（1）（2）思路导航：（1）中，（2）中解：（1）（2）点津：（1）在运用立方和（差）公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如，这里逆用了法则；（2）在运用立方和（差）公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号。例2. 因式分解：思路导航：原式中多项式为两项式，观察有公因式3b，应先提取公因式，再进一步分解；解：. 仿练： 思路导航：原式中提取公因式后，括号内出现，可看作是或。解：点津：在进行多项式分解时，如果各项中有公因式，那么应先提取公因式。知识点二：分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式。而对于四项以上的多项式，如 既没有公式可
3、用，也没有公因式可以提取。因此，可以先将多项式分组处理。这种利用分组来进行因式分解的方法叫做分组分解法/分组分解法的关键在于如何分组。1、分组后能提取公因式例3. 把分解因式。思路导航：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按的降幂排列，然后从两组分别提取公因式与，这时另一个因式正好都是，这样可以继续提取公因式。 解：点津：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法。本题也可以将一、四项分为一组，二、三项分为一组，同学们不妨一试。 例4. 把分解因式。思路导航：若按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式。解：点津：由
4、例3、例4可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律。由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用。2、分组后能直接运用公式例5. 把分解因式。思路导航：把第一、二项分为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是；把第三、四项作为另一组，在提取公因式后，另一个因式也是。解：仿练：把分解因式。思路导航：先将系数2提取后，得到，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式。解：点津：从例5可以看出：如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解，并且各组
5、在分解后，它们之间又能运用公式或提取公因式，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式。知识点三：十字相乘法1、型的因式分解 例6. 分解因式：把下列各式分解因式：（1）（2）思路导航：利用上述公式解：（1）。（2）点津：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项相同。例7. 把下列各式分解因式：（1）（2）思路导航：利用上述公式解：（1）（2）点津：由此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同。例8. 把下列各式因式分解：（1）（2）思路导航：（1）把看成的二次三项式，这时常数项是，一次项系数是，把分解成
6、与的积，而，正好是一次项系数。（2）由换元思想，只要把整体看作一个字母，可不必写出，只当作分解二次三项式。解：（1）（2）点津：“换元”的方法是高中数学中一个常见的解题技巧，要注意体会2、一般二次三项式的分解因式大家知道，。反过来，就可得到：我们发现，二次项系数分解成，常数项分解成，把写成，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到，那么就可以分解成. 这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法。例9. 分解因式：（1）（2）思路导航：（1） （2） 解：（1）（2）仿练：分解因式： （1）x23x2； （2）x24x12； （3）； （4）. 解：（1）如图1，将二
7、次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成1与2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为3x，就是x23x2中的一次项，所以，有x23x2（x1）（x2）。（2）由图2，得x24x12（x2）（x6） （3）由图3，得 （4）xy（xy）1（x1）（y1）（如图4所示）图4点津：用十字相乘法分解二次三项式很重要。当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法“凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法“凑”，先“凑”绝对值，然后调整，添加正、负号。知识点四：配方法例10. 分解因式：解：（1）（2）这种设法配成含有完全平方式的方
8、法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解因式。【直击高中】（1）换元法例11. 分解因式思路导航：将看作y，进行换元。解：原式 所以，原式点津：将看作y，分解，再把y代入，即得原式的分解式，这种因式分解的方法叫做换元法。（2）拆、添项法例12. 分解因式思路导航：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行。细查此式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0了，可考虑通过添项或拆项解决。解：点津：本解法把原常数4拆成1与3的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，造成可以用公式法及提取公因式法的条件。本题还可以
9、将拆成，将多项式分成两组和. 四、知识提炼一般地，因式分解，可按下列步骤进行：（1）如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；（2）如果各项没有公因式，那么可以运用公式法或分组分解法或其他方法（如十字相乘法）来分解因式；（3）因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。五、目标期望 因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反的变形。在分式运算、解方程以及各种恒等变形中它都有着重要的应用。通过本节课的学习，让学生了解、认识因式分解时的常用方法，特别是要熟练掌握对系数不为“1”的二次三项式形式的代数式分解因式，以便在后续阶段对方程、函数、不等式的学习时，提高学生恒等变形的能力
10、。六、下讲预告 下节课我们将学习一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系所包含的知识，在高中数学的二次函数、不等式以及解析几何等内容中都有着广泛的应用。【同步练习】（答题时间：45分钟）一、选择题：1. 一次课堂练习，小敏同学做了如下4道因式分解题，你认为做得不够完整的一题是（ ）A. x3xx（x21） B. x22xyy2（xy）2C. x2yxy2xy（xy） D. x2y2（xy）（xy）2. 下列各式能分解因式的个数是（ ） x23xy9y2 x2y22xy a2b22ab x216y2 a29b2 4x22xyy2A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个3.
11、 如果从一卷粗细均匀的电线上截取1米长的电线，称得它的质量为a克，再称得剩余质量为b克，那么原来这卷电线的总长度是（ ）A. 米 B. （1）米 C. （1）米 D. （1）米4. 若x7，则x2的值是（ ）A. 49 B. 48 C. 47 D. 515. 多项式的一个因式为 （ ）A. B. C. D. 二、填空题1. 将a3a分解因式，结果为_. 2. 分解因式2x24x2_. 3. 分解因式x22x1_ 4. 分解因式4_三、解答题1. 因式分解：2. 分解因式（1）； （2）. 3. 证明：当为大于2的整数时，能被120整除。4. 已知，求证：【试题答案】一、选择题1. A 2. C 3. B 4. D 5.B二、填空题1. a（a1）（a1） 2. 3. 4. . 三、解答题 1. . 或 . 2. 解：（1）或（2）2。3. 证明：因为 所以当为大于2的整数时，为120的倍数，所以结论成立。 4. 证明：因为=0，所以原式得证。
