1、第一章 集合与命题集合论是德国著名数学家康托尔（George Cantor，1845-1918）于19世纪末创立的17世纪数学中出现了一门新的分支微积分在之后的200年中，这一门分支学科获得了飞速发展并结出了丰硕的成果其推进速度之快使人来不及检查和巩固它的理论基础19世纪初，在不少迫切问题得到解决后，出现了一场重建数学基础的运动正是在这场运动中，康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集，这是集合论研究的开端到1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概念，他对集合所下的定义是：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素人们把康
2、托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日德国伟大的数学家希尔伯特（David Hilbert，18621943）称康托尔的集合论是“数学精神最令人惊羡的花朵，人类理智活动最漂亮的成果”英国数学家和哲学家罗素（Bertrand Russell，18721970）把康托尔的工作描述为“可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作”苏联著名的数学家科尔莫戈洛夫（Andrey Nikolaevich Kolmogorov，1903-1987）说“康托尔的不朽功绩，在于他敢向无穷大冒险迈进”还有人曾评价：集合论是对无限最深刻的洞察，它是数学天才的最优秀作品，是人类纯智力
3、活动的最高成就之一总之，康托尔的无穷集合论是过去2500年中对数学的最令人不安的独创性贡献之一1.1集合及其表示法在现实生活和数学中，我们经常要把一些确定的对象作为一个整体来考察研究例如：（1）某校高一（1）班的全体学生；（2）中国运动员在历届夏、冬季奥运会上取得的所有金牌；（3）1100之间的所有质数；（4）不等式的解的全体；（5）所有的平行四边形；（6）平面上到两个定点的距离相等的点的全体我们把能够确切指定的不同对象组成的整体叫做集合，简称集集合中的各个对象叫做这个集合的元素对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，也是各不相同的，而且各元素地位相等，与顺序无关我们把含有有限个元素的集合称
4、为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集为了研究的需要，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作例如，方程的实数解组成的集合就是空集集合通常用大写的英文字母表示，如、，元素通常用小写的英文字母表示，如、如果是集合的元素，就记作，读作“属于”；如果不是集合的元素，就记作，读作“不属于”数的集合简称数集，常用的数集我们一般用特定的字母表示：全体自然数组成的集合，即自然数集，记作；不包括零的自然数（正整数）组成的集合，即正整数集，记作；全体整数组成的集合，即整数集，记作；全体有理数组成的集合，即有理数集，记作；全体实数组成的集合，即实数集，记作我们还把正整数集、负整数集、正有理数集、负有理数集、正实数
5、集、负实数集分别表示为、集合的表示方法通常有两种，即列举法和描述法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法称为列举法如：1，3，5，7，9， 在大括号内，先写出此集合中元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中的元素的公共属性，即满足性质），这种表示集合的方法称为描述法如：不等式的解集可表示为，函数图像上的点组成的集合可表示为例1用适当的方法表示下列集合：（1）30的所有正因数组成的集合；（2）被5除余3的自然数全体组成的集合；（3）二次函数图像上的所有点组成的集合解：（1）用列举法表示：1，2，3，5，6，10，15，30；（2）用描述法表示：；（3）用描述法表示：例
6、2设，求证：（1）；（2）；（3）若，则证明：（1）因为，且，所以（2）假设，则存在，使，由于和有相同的奇偶性，所以是奇数或4的倍数，木可能等于，假设不成立，所以（3）设，则，（因为）例3若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围解：当时，方程只有一个根，则符合题意；当时，则关于的方程是一元二次方程，由于集合中至多有一个元素，则一元二次方程有两个相等的实数根或没有实数根，所以，解得综上所得，实数的取值范围是或例4已知集合（1）用列举法表示集合，并计算集合的元素个数；（2）将以上关于集合的元素个数的计算问题进行拓展，使原问题是拓展后问题的特例，并计算相关集合的元素个数解：（1）若，则；若，则，或；
7、若，则，或；若，则拓展一：当，或时，方程均有两组解；当，或，或时，方程均有四组解；满足条件的整数对有对即拓展二：当时，有组解；当时，有组解；当时，有组解；，当时，有8组解；当时，有2组解；因此满足条件的整数对有对即基础练习1用描述法表示下列集合：（1）1，4，9，16，25，36，49；（2）2用列举法表示下列集合：（1）是20的正约数）；（2）3设三元素的集合也可表示为，求的值4已知全集，求集合5给定三元集合，求实数的取值范围6若集合中只有一个元素，求7若集合，其中且，若，求中元素之和8设集合，在上定义运算为：，其中为被4除的余数， 0，1，2，3，则求满足关系式的的个数9已知是由实数构成的
8、集合，且满足1）1；2）若，则如果，中至少含有多少个元素?说明理由10若实数为常数，且，则_11平面点集，求中元素的个数12定义集合，的一种运算：，若l，2，3），1，2，则中的所有元素之和为_13已知集合的元素全为实数，且满足：若，则（1）若，求出中其他所有元素；（2）0是不是集合中的元素?请你设计一个实数，再求出中的所有元素（3）根据（1）（2），你能得出什么结论?14非空集合，且同时满足条件“若，则”（1）写出所有含有2个元素的集合；（2）只有三个元素的集合是否存在?若存在，写出集合，若不存在，请说明理由，并适当改变题目的条件，使满足题意的集合可以只有三个元素；（3）用表示集合中所有元素
9、之和，求的最大值；（4）从以上的工作中你可以得到哪些一般性的结论（规律）?15集合1，2，3，+1的子集满足：对任意的，求集合中元素个数的最大值1.2 集合之间的关系一般地，对于两个集合与，如果集合中任何一个元素都是集合的元素，我们就说集合是集合的子集，记作或，读作“包含于”或“包含”我们规定，空集包含于任何一个集合，即空集是任何集合的子集对于两个集合与，如果有，且，我们称集合与集合相等，记作，读作“集合等于集合”如对于集合与，则有对于两个集合与，如果，并且中至少有一个元素不属于，那么称集合是集合的真子集，记作或，读作“真包含于”或“真包含”用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，
10、如图1-1所示，表示（）所用的图叫做维恩图例1写出集合0，5，10）的所有子集和真子集解：集合的所有子集为，0，5，10，0，5），0，10），5，10，0，5，10），除了0，5，10），其余七个子集均为集合0，5，10）的真子集例2设集合，（1）若，求实数的取值范围；（2）是否存在实数，使得？并说明理由解：（1）当时，不合；当时， ；得；当时，得；故实数的取值范围是：（2）在中令得，此时；在中令得，此时；故存在实数或使得例3设，求证：证明：（1）设，存在，使得，若为偶数，设，则；若为奇数，设，则；（2）设，存在，使得，若，则；，则；由、知例4已知（1）对任意，证明：；（2）若集合，证明：；
11、（3）若集合，当（互质）时，必有，揭示、的关系解：（1）设（2）若则，（3），且互质，或基础练习1已知集合，其中，且，若，则实数=_2已知集合，若，则由满足条件的实数组成的集合_3已知，且，则常数的取值范围是_4若非空集合满足1，2，3，4，5，且若，则，那么符合要求的集合有_个5集合，且，则满足条件的值构成的集合为_6已知集合，且，则_，_7集合，且，则_8已知集合，且，则实数的取值范围是_9集合，集合，求集合与的关系10设集合1，2，3，2 010，集合满足：，且当时，则中元素最多有多少个11设集合1，2，3，4，5，6），都是的含两个元素的子集，且满足：对任意的，都有表示两个数中的较小者
12、），求的最大值12对于函数，若，则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即（1）求证：；（2）若，且，求实数的取值范围13集合之间的运算1交集一般地，由集合和集合的所有公共元素组成的集合，叫做与的交集记作，读作“交”，即用维恩图可以直观地表示的一般情况（见图1-2）由交集运算的定义，容易得到以下一些基本性质：（1）;（2）；（3）；（4）；（5）若，则有；反之若，则例1已知集合，若，求实数的取值范围解：，中至少含有一个负数，即方程至少有一个负根当方程有两个负根时，解得：当方程有一个负根与一个正根时，解得：当方程有一个负根与一个零根时，解得：综上
13、：或或，即实数的取值范围为2并集一般地，由所有属于集合或者属于集合的元素组成的集合，叫做与的并集记作，读作“并”，即用维恩图可以直观地表示的一般情况（见图1-3）由并集运算的定义，容易得到以下一些基本性质：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）若，则有；反之若，则例2已知，求的值和集合解：，或（舍），或，或（舍）当时，；当时，例3，若，求解：依题设，再由解得或，因为，所以，所以，所以或2，所以或3因为，所以，若，则，即，若，则或，解得 综上所述，或；或3补集在给定的问题中，若研究的所有集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集若是全集的子集，由中不属于的元素组成的集合，叫做集合在全
14、集中的补集，记作，读作“补”，即用维恩图可以直观地表示的一般情况（见图1-4）由并集运算的定义，容易得到以下一些基本性质：（1）；（2）（3）例4设，求解：中的元素可分为三类：一类属于不属于；一类属于不属于；一类既属于又属于由=4，6，8，即4，6，8属于不属于；由1，5，即1，5属于不属于；由=3，即3既属于又属于；又1，2，3，4，5，6，7，8，9，若2属于不属于，则与=1，5矛盾，若2属于不属于，则与=4，6，8）矛盾，而，2既不属于也不属于，同理7，9既不属于也不属于综上，2，7，9，l，3，5），3，4，6，8例5设集合，若，求实数的取值范围解：或，的意义是方程有解，且至少有一解在
15、区间内，但直接求解情况比较多，如果考虑“补集”，则解法较简单设全集，且关于的方程的两根都在内，记，方程的两根都在1，4内，解得，所求实数的取值范围是例6求证：对任意集合，有：（1）；（2）；（3）；（4）证明：这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成（1）若，则，且或，所以或，即；反之，则或，即且或，即且，即（3）若，则或，所以或，所以，又，所以，即，反之也有 说明：我们把例7称为集合的性质1分别用集合符号表示图1-5的阴影部分：2设集合，集合，求3集合，则_4设若，求实数的所有值5设全集，集合，若，求、的值6已知，又能为单元素集合，求实数的取值范围71，2，3，4，5，6，7，8，9，则_
16、8已知集合，当时，实数的取值范围是_9集合，若，则_10集合，则中的最小元素是_能力提高11设全集，集合，（1）若，求；（2）若，求12某公司有120人，其中乘轨道交通上班的84人，乘汽车上班的32人，两种都乘的18人，求：（1）只乘轨道交通上班的人数；（2）不乘轨道交通上班的人数；（3）乘坐交通工具的人数；（4）不乘交通工具而步行的人数；（5）只乘一种交通工具的人数13已知，问是否存在实数，使得（1），（2）同时成立?14设集合，（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的取值范围；（3）若，求实数的取值范围15设集合，问：是否存在，使得，并证明你的结论16集合和各含有12个元素，含有4个元素，
17、试求同时满足下列条件的集合的个数：（1）且中含有3个元素；（2）17判断以下命题是否正确：设，是平面上两个点集，若对任何，都有，则必有，证明你的结论14容斥原理与抽屉原理在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理容斥原理用表示集合的元素个数，则（1），（2），（3）此结论可以推广到个集合的情况，即例1求1，2，3，100中不能被2，3，5整除的数的个数解：记1，2，3，100，且能被2整除（
18、记为2），由容斥原理，=74，所以不能被2，3，5整除的数有26个说明表示不超过的最大整数如抽屉原理我们知道，三个苹果放进两个抽屉，必有一个抽屉里至少有两个苹果抽屉原则的常见形式：（1）把个物体以任意方式全部放入个抽屉中，一定存在一个抽屉中至少有两个物体（2）把个物体以任意方式全部放入个抽屉中，一定存在一个抽屉中至少有个物体（3）把个物体以任意方式全部放入个抽屉中，那么或在一个抽屉里至少放入了个物体，或在第二个抽屉里至少放入了个物体，或在第个抽屉里至少放入了个物体（4）把个物体以任意方式全部放入个抽屉中，有两种情况：当时（表示整除），一定存在一个抽屉中至少放入了个物体；当不能整除时，一定存在一
19、个抽屉中至少放入了个物体（表示不超过的最大整数）例2幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，那么不管怎样挑选，在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同，试说明道理解：从三种玩具中挑选两件，搭配方式只能是下面六种：（兔、兔），（兔、熊猫），（兔、长颈鹿），（熊猫、熊猫），（熊猫、长颈鹿），（长颈鹿、长颈鹿）把每种搭配方式看作一个抽屉，把7个小朋友看作物体，那么根据原则1，至少有两个物体要放进同一个抽屉里，也就是说，至少两人挑选玩具采用同一搭配方式，选的玩具相同例3把1到10的自然数摆成一个圆圈（见图1-6），证明一定存在三个相邻的数，它们的和数大于17证明：如图，
20、设别代表不超过10的十个自然数，它们围成一个圈，三个相邻的数的组成是共十组现把它们看作十个抽屉，每个抽屉的物体数是，由于根据原则，至少有一个括号内的三数和不少于17，即至少有三个相邻的数的和不小于17基础练习1对某学校的100名学生进行调查，了解他们喜欢看球赛、看电影和听音乐的情况其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看电影，52人喜欢听音乐，既喜欢看球赛又喜欢看电影的有18人，既喜欢听音乐又喜欢看电影的有16人，三种都喜欢的有12人，问有多少人只喜欢听音乐?2正方体各面上涂上红色或蓝色的油漆（每面只涂一种色），证明正方体一定有三个面颜色相同3从自然数1，2，3，99，100这100个数中随意取出5
21、1个数来，求证：其中一定有两个数，它们中的一个是另一个的倍数4任意给定7个不同的自然数，求证其中必有两个整数，其和或差是10的倍数5在一条笔直的马路旁种树，从起点起，每隔一米种一棵树，如果把三块“爱护树木”的小牌分别挂在三棵树上，那么不管怎样挂，至少有两棵挂牌的树之间的距离是偶数（以米为单位），这是为什么?6以表示三元有序整数组，其中为整数，试证：在任意七个三元整数组中，至少有两个三元数组，它们的元中有两对都是奇数或都是偶数7任选6人，试证其中必有3人，他们互相认识或都不认识8为四个任意给定的整数，求证：以下六个差数的乘积一定可以被12整除9求证：从任意个自然数中可以找到若干个数，使它们的和是
22、的倍数10910瓶红、蓝墨水，排成130行，每行7瓶，证明：不论怎样排列，红蓝墨水瓶的颜色次序必定出现下述两种情况之一种：（1）至少有三行完全相同；（2）至少有两组（四行）每组的两行完全相同15命题的形式及等价关系1命题与推出关系在初中，我们已经知道，判断真假的语句叫做命题命题通常用陈述句表述正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题一般地，命题是由题设（条件）和结论两部分组成的题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项命题常写成“如果，那么”的形式具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论有些命题，没有写成“如果，那么”的形式，题设和结论不明显对于这样的命题
23、，要经过分析才能找出题设和结论，当然也可以将它们改写成“如果，那么”的形式命题的题设（条件）部分，有时也可用“已知”或者“若”等形式表述；命题的结论部分，有时也可用“求证”或“则”等形式表述例1判断下列语句是否为命题如果是命题，判断它们是真命题还是假命题为什么?（1）你是个很高的学生吗?（2）过直线外一点作该直线的平行线（3）个位数是0的自然数能被5整除（4）若，则有实根（5）竟然得到59的结果!解：（1）、（2）、（5）不是命题，（3）、（4）是命题，其中（4）是假命题（1）语句“你是个很高的学生吗?”是疑问句，不是判断语句，所以它不是命题（2）语句“过直线外一点作该直线的平行线”是祈使句，
24、不是判断语句，所以它也不是命题（3）此命题为真命题这是因为个位数是0的自然数总可以表示为（）的形式，而，所以能被5整除（4）取无实根是假命题（5）语句“竟然推出59的结果!”是感叹句，不是判断语句，所以它不是命题由例1的（4）可以看到，要确定一个命题是假命题，只要举出一个满足命题的条件，而不满足其结论的例子即可，这在数学中称为“举反例”要确定一个命题是真命题，就必须作出证明，证明若满足命题的条件就一定能推出命题的结论一般地，如果事件成立可以推出事件也成立，那么就说由可以推出，并用记号表示，读作“推出”换言之，表示以为条件，为结论的命题是真命题如果事件成立，而事件不能成立，那么就说事件不能推出事
25、件成立，可记作换言之，表示以为条件，为结论的命题是一个假命题如果，并，那么记作，叫做与等价显然，推出关系满足传递性：，那么例2命题：对任意实数都有恒成立；命题：关于的方程有实数根；如果与中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围解：对任意实数都有恒成立或；关于的方程有实数根；如果正确，且不正确，有且，；如果正确，且不正确，有或，且，所以实数的取值范围为2四种命题形式一个命题由条件和结论两部分组成，如果把原命题的条件和结论互换，所得的命题是原命陋的逆命题，显然它们互为逆命题例如，命题（1）“对顶角相等”和命题（2）“相等的角是对顶角”互为逆命题如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定与
26、结论的否定，则称这两个命题为互否命题，其中一个命题是另一个命题的否命题像命题（3）“不是对顶角的角不相等”与命题（1）是互否命题如果将一个命题的结论的否定作为条件，而将此命题的条件的否定作为结论所得到的命题叫做原命题的逆否命题如命题（4）“不相等的角不是对顶角”与命题（1）是互为逆否命题若为原命题条件，为原命题结论，则其四种命题的形式及关系为：原命题：若，则；逆命题：若，则；否命题：若，则；逆否命题：若，则（为的否定，为的否定）例3分别写出命题“，若，则全为零”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假解：否命题为：，若，则不全为零逆命题：，若全为零，则逆否命题：，若不全为零，则其中，原命题
27、、逆否命题、逆命题和否命题均为真命题例4已知函数对其定义域内的任意两个数，当时，都有，证明：至多有一个实根证明：假设至少有两个不同的实数根，不妨假设，由方程的定义可知： 即 由已知时，有这与式矛盾因此假设不能成立故原命题成立像这样证明问题的方法称为反证法，运用反证法时对结论进行的否定要正确，注意区别命题的否定与否命题用反证法证明的步骤一般有：（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立（2）从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确反证法的证明思路：（1）反设（即假设）：对于则（原命题）进行反设，即且非（2）可能出现三种情况：导出非为真与题设矛
28、盾导出为真与反设中“非”矛盾导出一个恒假命题与某公理或定理矛盾例5设，求证：不同时大于证明：用反证法，假设，相加得：=，左右矛盾，故假设不成立，不同时大于3等价命题在前面的讨论中，容易发现命题（2）与命题（3）也是互为逆否命题，而且互为逆否命题的两个命题是同真或同假的一般地，原命题与它的逆否命题是同真或同假的，即如果，那么；如果，那么，见图1-17对于命题与来说，如果有，且，那么命题、叫做等价命题原命题与其逆否命题就是等价命题当我们证明某个命题有困难时，就可以尝试用证明它的等价命题或逆否命题来代替证明原命题基础练习1已知命题“两个有理数的和是有理数”为某命题的逆命题试写出原命题、否命题、逆否命
29、题，并判断这些命题的真假2写出命题“已知，若是奇数，则是奇数”的逆否命题：_3下列四个命题中的真命题是（ ）A已知，若是无理数，则都是无理数；B已知，若是有理数，则都是有理数；C已知，若是无理数，则是无理数或是无理数；D已知，若是有理数，则是有理数或是有理数4命题“若不正确，则不正确”的逆命题的等价命题是（ ）A若不正确，则不正确；B若不正确，则正确；C若正确，则不正确；D若正确，则正确5“若，则没有实根”，其否命题是（ ）A若，则没有实根；B若，则有实根；C若，则有实根；D若，则没有实根能力提高6写出命题“各数字之和是3的倍数的正整数，能被3整除”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假7用
30、反证法证明：不存在整数，使得16充分条件与必要条件在日常生活中，我们做事情需要具备一定的条件，有的条件能够保证我们完成这件事，而有的条件虽然不能保证完成这件事，但却是完成它所必不可少的在数学中，若要得出一个结论，同样需要具备一定的条件一般地，如果事件成立，可以推出事件也成立，即，那么称是的充分条件，是的必要条件关于“是的充分条件”的理解是容易的，即为了使成立，具备条件就足够了，“有它即可”；而对于“是的必要条件”的理解，如果从“若，则”的等价命题“若，则”来看，则更易理解，即若没有条件，则事件不能成立，因此对于来说，条件是必定需要的，“非它不行”以命题“对顶角相等”为例，由于两个角是对顶角就足
31、以保证这两个角相等，因此“两个角是对顶角”是“这两个角相等”的充分条件；而如果两个角不相等，则它们必定不可能是对顶角，所以说，“两个角相等”是“这两个角是对顶角”的必要条件如果既有，又有，即有，那么既是的充分条件，又是的必要条件，这时我们称是的充分必要条件，简称充要条件例如，对于、为实数，则“”是“”的充要条件例1（1）是否存在实数，使得是的充分条件?（2）是否存在实数，使得是的必要条件?解：（1）欲使得是的充分条件，则只要，则只要即，故存在实数时，使是的充分条件（2）欲使是的必要条件，则只要，则这是不可能的，故不存在实数时，使是的必要条件例2已知、都是的必要条件，是的充分条件，是的充分条件，
32、那么（1）是的什么条件?（2）是的什么条件?（3）是的什么条件?解：如图1-8所示，（1）是的充要条件；（2）是的充要条件；（3）是的必要条件例3已知关于的实系数一元二次方程，求满足下列关系的充要条件：（1）方程有两个负根；（2）方程有一个正根，另一个根为零；（3）方程的一个根大于1，另一个根小于1；（4）方程的两个根都大于1解：（1），（2）（3），（4）设方程的两个根都大于1，即例4设，求证：成立的充要条件是证明：充分性：如果，那么， 于是，如果即或，当，时，当时，总之，当时，必要性：由及，得 即得，所以故必要性成立，综上，原命题成立基础1若是常数，则函数恒大于0的充要条件是_2若非空集合
33、，则“或”是“”的_条件3“且”是“”的（ ）A充分不必要条件； B必要不充分条件；C充要条件； D既不充分又不必要条件4“三个数不全为零”的充要条件是（ ）A都不为零； B中至多有一个为零；C中只有一个为零； D中至少有一个不为零5设命题“”是命题“”的（ ）A充分不必要条件； B必要不充分条件；C充要条件； D既不充分也不必要条件6若试证明“”是“”的一个充分且非必要条件7已知关于的方程，求：（1）方程有两个正根的充要条件；（2）方程至少有一个正根的充要条件能力提高8（1）已知实数集合证明：的充要条件是；（2）试对两个一元二次不等式的解集写出类似的结果，并加以证明9已知，函数，（1）当时，
34、若对任意都有，证明：；（2）当时，证明：对任意的充要条件是：；（3）当时，讨论：对任意的充要条件10设定数，使得不等式对一切实数都成立，问应满足怎样的条件?（要求写出充分必要条件，而且限定用只涉及的等式或不等式表示条件）11设是实数，证明：方程有4个实根的充要条件是17集合的综合运用例1已知集合，其中表示和中所有不同值的个数（1）已知集合2，4，6，8，2，4，8，16，分别求；（2）若集合2，4，8，求证：；（3）求的最小值解：（1）由，得，由得（2）因为共有项，所以又集合2，4，8，任取，当时，不妨设，则，即，当时，因此，当且仅当，时，即所有（）的值两两不同，因此（3）不妨设，可得故中至少
35、有个不同的数，即事实上，设成等差数列，考虑，根据等差数列的性质，当时，；当时，；因此每个和等于中的一个，或者等于中的一个故对这样的集合，所以的最小值为例2设为正整数，规定：，已知（1）解不等式：；（2）设集合0，1，2），对任意，证明： （3）求的值；（4）若集合，证明：中至少包含有8个元素解：（1）当时，由得，当时，因恒成立由，得，的解集为（2），当时，；当时，；当时，即对任意，恒有（3），一盘地，（4）由（1）知，则由（2）知，对，或1，或2，恒有，则由（3）知，对，恒有，综上所述，中至少含有8个元素（不唯一）例3已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集合：，其中是有序数对，集合和中的元
36、素个数分别为和若对于任意的，总有，则称集合具有性质（1）检验集合0，1，2，3与-1，2，3）是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和；（2）对任何具有性质的集合，证明：；（3）判断和的大小关系，并证明你的结论解：（1）集合0，1，2，3不具有性质集合-l，2，3具有性质，其相应的集合和是（2）首先，由中元素构成的有序数对共有个因为，所以；又因为当时，所以当时，从而，集合中元素的个数最多为，即（3），证明如下：对于，根据定义，且，从而如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也至少有一个不成立故与也是的不同元素可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，对于，根据定义，A
37、，且，从而如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也至少有一个不成立，故与也是的不同元素可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，由（1）（2）可知，例4是集合1，2，2 004的子集，中的任意两个数的差不等于4或7，问中最多含有多少个元素?解：将任意连续的11个整数排成一圈如图1-9所示由题目条件可知每相邻两个数至多有一个属于，将这11个数按连续两个为一组，分成6组，其中一组只有一个数，若含有这11个数中至少6个，则必有两个数在同一组，与已知矛盾，所以至多含有其中5个数又因为2 004=18211+2，所以一共至多含有1825+2=912个元素图1-9另一方面，当时，恰有，且满
38、足题目条件，所以最多含有912个元素例5集合1，2，可以划分成个互不相交的三元集合，其中，求满足条件的最小正整数解：设其中第个三元集为则，所以当为偶数时，有，所以，当为奇数时，有，所以，当时，集合1，11，4，2，13，5，3，15，6，9，12，7，10，14，8）满足条件，所以的最小值为5能力提高1已知集合（不必相异）的并集，则满足条件的有序三元组（）个数是_2已知集合，问：（1）当取何值时，为恰有2个元素的集合?说明理由（2）若改为3个元素集合，结论如何?3求集合和，使得=1，2，10，并且的元素乘积等于的元素和4是的子集且满足：若，则，恰有一个成立，并且若，测，试确定集合5集合1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的若干个五元子集满足：中的任何两个元素至多出现在两个不同的五元子集中，问：至多有多少个五元子集?6是三个非空整数集，已知对于1，2，3的任意一个排列，如果，则求证：中必有两个相等7求证：集合1，2，1 989）可以划分为117个互不相交的子集（1，2，117），使得（1）每个恰有17个元素；（2）每个中各元素之和相同8设是20个两两不同的整数，且集合中有201个不同的元素，求集合中不同元素个数的最小可能值9设1，2，3，4，5，6，7，8，9， ，在中取三个数，中取两个数组成五个元素的集合，l，2，20，求的最小值
