1、适用范围适用范围文字叙述文字叙述“=”成立条件成立条件222abab2ababa=ba=b两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两数的平方和不小于它们积的2倍 a,bRa0,b0注意基本不等式的变形)0,0（.2baabba)0,0（.)2(2babaab（1）面积为）面积为36m2 的矩形中的矩形中，它们的周长最小？它们的周长最小？（2）周长为）周长为36m的矩形中，那个矩形的面积积最大？的矩形中，那个矩形的面积积最大？ab=当且仅当a=b=6时，a+b最小为122a bab 当且仅当a=b=9时，ab最大为81【探究一】解：设矩形的长为am，宽为bm，已知a+b=18，求ab的最大值已
2、知ab=36,求2（a+b）的最小值，即求a+b的最小值baab若ab=p若a+b=sba )2(2baab3612362当且仅当a=b时，a+b最小值为 p2182)218(81当且仅当a=b时，ab最大为 42spp2S2)2(s42s各项皆为正数；和或积为定值；注意等号成立的条件.一“正”二“定”三“相等”利用基本不等式求最值时，要注意哪些条件？若a0,b0,P,S 是常数.则有：(1)ab=P a+b2 P(2)a+b=S ab S214(当且仅当当且仅当 a=b 时时,取取“=”号号).(当且仅当当且仅当 a=b 时时,取取“=”号号).例1：（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形
3、菜园，问这个矩形菜园长、宽各为多少时，所用篱笆最短？最短的篱笆是多少？2m100解：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则xy=100篱笆的周长C=2（x+y）当且仅当x=y时等号成立，此时x=y=10这个矩形的长、宽都为这个矩形的长、宽都为10m时，所用篱笆最短，最短篱笆是时，所用篱笆最短，最短篱笆是40mxy22=40例1（2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？面积最大值是多少？解：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则2(x+y)=36即 x+y=18=81当且仅当x=y=9时取等号 当这个矩形的长、宽都是9m的时候面积最大，为81m2xy面积s
4、=xy22yx变式1，一段长为36m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积时多少？18m解：设菜园的长和宽分别为xm，ym则 x+2y=36 xy菜园的面积为s=xy=X2y12212()22xy=162当且仅当x=2y时取等号即当矩形菜园的长为18m，宽为9 m时，面积最大，最大为162此时x=18，y=9变式2，一段长为36m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长12m，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积时多少？12m解：设菜园的长和宽分别为xm，ym则 x+2y=36 xy菜园的面积为s=xy=X2y122
5、12()22xy=162当且仅当x=2y时取等号即当矩形菜园的长为18m，宽为9 m时，面积最大，最大为162此时x=18，y=9变式2，一段长为36m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长12m，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积时多少？12m解：设菜园的长和宽分别为xm，ym则 x+2y=36 xy菜园的面积为s=xyS=X（18-X）y=18 X 1212（00)例例2、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积容积为为4800立方米，立方米，深深为为3米米，如果池底每平方米的造价为，如果池底每平方米的造价为150元元，池壁池壁每平方
6、米的造价为每平方米的造价为120元元，(1)怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？(2)若受条件限制若受条件限制,水池的长不能超水池的长不能超25米米,怎样设计水池能怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？使总造价最低？最低总造价是多少？x3x1600设底面的长为xm，宽为 m，水池总造价为z元，根据题意有z=1501600+120（23x+23 ）=240000+720（x+）240000+7202 =297600 当且仅当x=，即x=40时，“=”成立；x1600 x1600 x1600 x1600 xx1600(0 x25)设底
7、面的长为xm，宽为 m，水池总造价为z元，根据题意有z=1501600+120（23x+23 ）=240000+720（x+）y=x+在（0,25上为减函数 ymin=25+1600/25=89 Zmin=240000+72089=304080 当水池的长为25，宽为64米时，水池总造价为304080元x1600 x1600 x1600(0 x25)x1600练习练习(1),已知三角形的面积等于已知三角形的面积等于50，两条直角边各，两条直角边各为多少时，两条直角边的和最小？最小值是多少？为多少时，两条直角边的和最小？最小值是多少？设三角形的两条直角边为x、y解：则s=1502xy xy=10
8、0220 xyxy 当且仅当x=y=10时取等号当这个直角三角形的直角边都时10的时候，两条直角边的和最小为20练习（练习（2）用）用20m长的铁丝折成一个面积最长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？大的矩形，应当怎样折？解：设矩形的长为设矩形的长为xm，宽为，宽为ym，则，则2(x+y)=20即 x+y=102()2xyxy=25 当且仅当x=y=5时取等号 当这个矩形的长、宽都是5m的时候面积最大，为252mxy练习练习3、李老师花、李老师花10万元购买了一辆家用汽车，如果每年使用万元购买了一辆家用汽车，如果每年使用的保险费，养路费，汽油费约为的保险费，养路费，汽油费约为0.9万元，
9、维修费第一年是万元，维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增万元，以后逐年递增0.2万元，则这种汽车使用多少年时，它万元，则这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？的年平均费用最少？解：设使用解：设使用 年平均费用最少，汽车的平均费用为年平均费用最少，汽车的平均费用为 万元。则：万元。则：汽车使用汽车使用 年总的维修费用是年总的维修费用是 万元。万元。且且 整理得：整理得：当且仅当当且仅当 ，即，即 10时，时，3。答：汽车使用答：汽车使用10年平均费用最少。年平均费用最少。xyx0.20.22xx0.20.2100.92xxxyx101011 231010 xxyxx 1010 xxxmin
10、y解：设使用解：设使用 年平均费用最少，汽车的平均费用为年平均费用最少，汽车的平均费用为 万元。则：万元。则：汽车使用汽车使用 年总的维修费用是年总的维修费用是 万元。万元。且且 整理得：整理得：当且仅当当且仅当 ，即，即 10时，时，3。答：汽车使用答：汽车使用10年平均费用最少。年平均费用最少。xyx0.20.22xx0.20.2100.92xxxyx101011 231010 xxyxx 1010 xxxminy课堂课堂小小结结实际问题实际问题数学模型数学模型提炼提炼模型的解模型的解数学数学知识知识数学结论数学结论分析分析总结总结回回归归（1）应用基本不等式求最值。）应用基本不等式求最值。（2）应用基本不等式解决实际应用题）应用基本不等式解决实际应用题作作 业业课本课本P100习题习题3.4 A组组 第第2、3、4题题
