1、第三章 空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算【自我预习【自我预习】1.1.空间向量空间向量(1)(1)定义定义:在空间在空间,具有具有_和和_的量叫做空间向量的量叫做空间向量.(2)(2)长度或模长度或模:向量的向量的_._.大小大小方向方向大小大小(3)(3)表示方法表示方法:几何表示法几何表示法:空间向量用空间向量用_表示表示;字母表示法字母表示法:用字母用字母a,b,c,表示表示;若向量若向量a的起点的起点是是A,A,终点是终点是B,B,也可记作也可记作:_,:_,其模记为其模记为_或或_._.有向线段有向线段AB|a|AB|2.2.几类常见的空间向量几
2、类常见的空间向量名称名称方向方向模模记法记法零向量零向量_单位向量单位向量任意任意_相反向量相反向量_相等相等a的相反向量的相反向量:_:_ 的相反向量的相反向量:_ :_ 相等向量相等向量相同相同_a=b任意任意0 001 1相反相反-a相等相等AB BA 微提醒微提醒注意单位向量的方向注意单位向量的方向.3.3.向量的加法、减法向量的加法、减法空间空间向量向量的运算的运算加加法法 =_=_=a+b 减减法法 =_=_=a-b加法加法运算律运算律 交换律交换律:a+b=_ 结合律结合律:(:(a+b)+)+c=_OB OAOC CA OAOC b+aa+(+(b+c)微课堂微课堂微思考微思考
3、【思考【思考1 1】在空间中在空间中,所有单位向量平移到同一起点后所有单位向量平移到同一起点后,终点轨迹是什么终点轨迹是什么?提示提示:球面球面.【思考【思考2 2】空间中空间中,a,b,c为不共面向量为不共面向量,则则a+b+c的几何的几何意义是什么意义是什么?提示提示:以以a,b,c为相邻棱的平行六面体的体对角线为相邻棱的平行六面体的体对角线.【思考【思考3 3】平面向量的加减运算和空间向量的加减运算平面向量的加减运算和空间向量的加减运算有什么联系有什么联系?提示提示:任意两个向量都可平移到同一平面任意两个向量都可平移到同一平面,故空间向量故空间向量的加减运算与平面向量的加减运算类似的加减
4、运算与平面向量的加减运算类似.【自我总结【自我总结】1.1.理解空间向量概念时的两个关注点理解空间向量概念时的两个关注点(1)(1)两向量的关系两向量的关系:空间向量是具有大小与方向的量空间向量是具有大小与方向的量,两个向量之间只有相等与不等之分而无大小之分两个向量之间只有相等与不等之分而无大小之分.(2)(2)有向线段与向量有向线段与向量:向量可用有向线段来表示向量可用有向线段来表示,但是但是有向线段不是向量有向线段不是向量,它只是向量的一种表示方法它只是向量的一种表示方法.2.2.空间向量加法运算的三角形法则空间向量加法运算的三角形法则语言叙述语言叙述首尾顺次相接首尾顺次相接,首指向尾为和
5、首指向尾为和图形叙述图形叙述 3.3.空间向量加法运算的平行四边形法则空间向量加法运算的平行四边形法则语言语言叙述叙述共起点为邻边作平行四边形共起点为邻边作平行四边形,共点对角线为和共点对角线为和图形图形叙述叙述 4.4.空间向量减法运算的三角形法则空间向量减法运算的三角形法则语言叙述语言叙述共起点共起点,连终点连终点,方向指向被减向量方向指向被减向量图形叙述图形叙述 【自我检测【自我检测】1.1.在平行六面体在平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,顶点连接的向量中顶点连接的向量中,与向量与向量 相等的向量共有相等的向量共有 ()A.1A.1个个B.
6、2B.2个个C.3C.3个个D.4D.4个个AD【解析【解析】选选C.C.与向量与向量 相等的向量有相等的向量有 ,共共3 3个个.AD BC 11A D 11B C2.2.已知正方体已知正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的中心为的中心为O,O,则在下列各结则在下列各结论中正确的结论共有论中正确的结论共有()是一对相反向量是一对相反向量;是一对相反向量是一对相反向量;11OAODOBOC 与11OBOCOAOD 与 是一对相反是一对相反向量向量;是一对相反向量是一对相反向量.A.1A.1个个B.2B.2个个C.3C.3个个D.4D.4个个1111OAOBO
7、CODOAOBOCOD 与11OAOAOCOC 与【解析【解析】选选C.C.利用图形及向量的运算可知利用图形及向量的运算可知是相等向是相等向量量,是相反向量是相反向量.3.3.设有四边形设有四边形ABCD,OABCD,O为空间任意一点为空间任意一点,且且 ,则四边形则四边形ABCDABCD是是()A.A.平行四边形平行四边形B.B.空间四边形空间四边形C.C.等腰梯形等腰梯形D.D.矩形矩形AOOB DOOC【解析【解析】选选A.A.因为因为 ,所以所以 ,所以所以ABDCABDC且且 .所以四边形所以四边形ABCDABCD为平行四边形为平行四边形.AOOBDOOC ABDC ABDC 类型一
8、空间向量的概念及其简单应用类型一空间向量的概念及其简单应用【典例【典例】1.1.给出下列命题给出下列命题:两个空间向量相等两个空间向量相等,则它们的起点相同则它们的起点相同,终点也相同终点也相同;若空间向量若空间向量a,b满足满足|a|=|=|b|,|,则则a=b;在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,必有必有 ;若空间向量若空间向量m,n,p满足满足m=n,n=p,则则m=p;空间中任意两个单位向量必相等空间中任意两个单位向量必相等.其中正确的个数为其中正确的个数为()A.4A.4B.3B.3C.2C.2D.1D.111ACA C 2.(20
9、182.(2018成都高二检测成都高二检测)在如图所示的平行六面体在如图所示的平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,与向量与向量 相等的向量有相等的向量有_个个(不含不含 ).).1AA 1AA【思路导引【思路导引】1.1.向量是自由的向量是自由的,没有固定的没有固定的_和和_._.|a|=|=|b|,|,a与与b的模的模_,_,这两个向量未必这两个向量未必_._.考虑单位向量的考虑单位向量的_,_,故两个单位向量未必相等故两个单位向量未必相等.起点起点终点终点相等相等相等相等方向方向2.2.与向量与向量 相等的向量则其相等的向量则其_、_均与均与
10、相同相同.1AA 大小大小方向方向1AA【解析【解析】1.1.选选C.C.当两个空间向量的起点相同当两个空间向量的起点相同,终点也相终点也相同时同时,这两个向量必相等这两个向量必相等,但两个向量相等但两个向量相等,不一定起点不一定起点相同、终点相同相同、终点相同,故命题故命题错误错误;命题命题错误错误;命题命题显然正确显然正确;对于命题对于命题,空间中任意两个单位向量的模空间中任意两个单位向量的模均为均为1,1,但方向不一定相同但方向不一定相同,故不一定相等故不一定相等,故故错错.2.2.由平行六面体由平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1知向量知向量 与
11、向与向量量 方向相同方向相同,长度相等长度相等,故与向量故与向量 相等的向量有相等的向量有3 3个个.答案答案:3 3111BB,CC,DD 1AA 1AA【方法技巧【方法技巧】解答空间向量有关概念问题的关键点和注意点解答空间向量有关概念问题的关键点和注意点(1)(1)空间向量的两个要素空间向量的两个要素:大小和方向大小和方向.两向量相等的充两向量相等的充要条件要条件:大小相等大小相等,方向相同方向相同.(2)(2)两个特殊向量两个特殊向量:零向量零向量:长度为长度为0 0的向量的向量,方向任意方向任意.单位向量单位向量:长度为长度为1 1的向量的向量,方向不确定方向不确定.【变式训练【变式训
12、练】1.1.下列命题中假命题的个数为下列命题中假命题的个数为()向量向量 与与 的长度相等的长度相等;空间向量就是空间中的一条有向线段空间向量就是空间中的一条有向线段;不相等的两个空间向量的模必不相等不相等的两个空间向量的模必不相等.A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.0D.0AB BA【解析【解析】选选B.B.向量向量 与与 互为相反向量互为相反向量,故模相等故模相等,正确正确;有向线段可表示向量有向线段可表示向量,但向量不是有向线段但向量不是有向线段,向向量的起点和终点不确定量的起点和终点不确定,错误错误;相等向量大小相等相等向量大小相等,方方向相同向相同,不相等的两个向量可能模相等不
13、相等的两个向量可能模相等,方向不同方向不同,错错误误.AB BA 2.2.如图如图,在长方体在长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,AB=4,AD=2,AA,AB=4,AD=2,AA1 1=1,=1,以该长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的所有以该长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的所有向量中向量中,(1),(1)写出模为写出模为 的所有向量的所有向量.(2).(2)写出与写出与 相相等的所有向量等的所有向量.(3).(3)写出写出 的相反向量的相反向量.(4).(4)单位向量共单位向量共有多少个有多少个?5AB 1B B【解析【解析】(1)(1)显
14、然显然A A1 1D=ADD=AD1 1=B=B1 1C=BCC=BC1 1=,=,所以模为所以模为 的向量为的向量为 (2)(2)与向量与向量 相等的所有向量为相等的所有向量为 (3)(3)与向量与向量 相反的所有向量为相反的所有向量为 5511111111A D DA AD D A B CCB BC C B.，AB 1111DC A B,D C.，1B B1111AA,BB,CC,DD.(4)(4)由于由于AAAA1 1=1,=1,所以所以 这这8 8个向量都是单位向量个向量都是单位向量,而其他向量的模均不为而其他向量的模均不为1,1,故单位故单位向量共有向量共有8 8个个.1111111
15、1AA A A BB B BCC C C DD D D ，类型二空间向量的加法、减法运算类型二空间向量的加法、减法运算【典例【典例】1.1.已知空间向量已知空间向量 则下列结则下列结论正确的是论正确的是()A.A.B.B.C.C.D.D.AB,BC,CD,AD,ABBCCD ABDCBCAD ADABBCDC BCBDDC 2.(20172.(2017台州高二检测台州高二检测)已知空间四边形已知空间四边形ABCDABCD中中,=a-2-2c,=5,=5a+6+6b-8-8c,对角线对角线AC,BDAC,BD的中点分别为的中点分别为E,F,E,F,则则 =_.=_.AB CD EF3.3.在长方
16、体在长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,画出下列向量的有向线段画出下列向量的有向线段.(1)(1)(2)(2)1ABADAA.11ABCCDD.【思路导引【思路导引】1.1.利用向量运算的利用向量运算的_得结果得结果.2.2.利用向量加减运算的利用向量加减运算的_法则得结果法则得结果.3.3.利用向量加减法的利用向量加减法的_得结果得结果.运算法则运算法则三角形三角形几何意义几何意义【解析【解析】1.1.选选B.B.2.2.取取BCBC中点中点M(M(如图所示如图所示),),连接连接EM,FM,EM,FM,因为因为E,FE,F是中点是中点,所以所以EM
17、EM AB,MFAB,MF CD,CD,所以所以 从而从而 答案答案:3 3a+3+3b-5-5cABDCBCABBCCDACCDAD.121211EMAB22 ，ac15MFCD3422 ，abc15EF EM MF34335.22 acabcabc3.3.如图如图,(1),(1)(2)(2)图中图中 为所求为所求.111ABADAAACAAAC.11111111ABCCDDABBBAAABAAA B.111AC,A B 【方法技巧【方法技巧】空间向量加法、减法运算的两个技巧空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)(1)巧用相反向量巧用相反向量:向量的三角形法则是解决空间向量向量的三角形法则是
18、解决空间向量加法、减法的关键加法、减法的关键,灵活运用相反向量可使用向量首尾灵活运用相反向量可使用向量首尾相接相接.(2)(2)巧用平移巧用平移:利用三角形法则和平行四边形法则进行利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时向量加、减法运算时,务必注意和向量、差向量的方向务必注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.【变式训练【变式训练】已知正方形已知正方形ABCDABCD的边长为的边长为1,1,设设 =a,=,=b,=,=c,则则|a+b+c|等于等于()A.0A.0B.3B.3C.2+C.2+D.2D.2 AB
19、BC AC 22【解析【解析】选选D.D.利用向量加法的平行四边形法则结合正利用向量加法的平行四边形法则结合正方形性质求解方形性质求解,|,|a+b+c|=2|=2 .|=2|=2 .AC 2【核心素养培优区【核心素养培优区】易错误区案例易错误区案例 向量加减运算向量加减运算【典例【典例】在长方体在长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,化简化简 11111DADBB CB BA BA B.【错解案例【错解案例】111111111DADBB CB BA BA BABCBB BDCDAB BDBD DD B.错误原因错误原因防范措施防范措施对三角形减法法则理
20、对三角形减法法则理解、记忆错误解、记忆错误,进而对进而对差向量的结果推断错差向量的结果推断错误误熟知向量加减运算法则的代熟知向量加减运算法则的代数运算和几何运算形式数运算和几何运算形式.【正解【正解】111111DADBB CB BA BA BBABCBB 111BDBBBDDDBD.【即时应用【即时应用】如图所示如图所示,在正方体在正方体ABCDABCD-A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,下下列各式中运算结果为向量列各式中运算结果为向量 的有的有();.A.1A.1个个B.2B.2个个C.3C.3个个D.4D.4个个1AC 1ABBCCC （）11111AAA DD C （）111ABBBB C （）11111AAA BB C（）【解析【解析】选选D.D.根据空间向量加法法则及正方体的性质根据空间向量加法法则及正方体的性质有有 所以所给四个式子的运算结果都是所以所给四个式子的运算结果都是 .111ABBCCCACCCAC （）；111111111AAA DD CADD CAC （）；1111111ABBBB CABB CAC （）；111111111AAA BB CABB CAC.（）1AC
