1、2.4抛物线2.4.1抛物线及其标准方程【自我预习【自我预习】1.1.抛物线的定义抛物线的定义(1)(1)定义定义:平面内与一定点平面内与一定点F F和一条定直线和一条定直线l(不经过点不经过点F)F)_的点的轨迹的点的轨迹.距离相等距离相等(2)(2)焦点焦点:定点定点F.F.(3)(3)准线准线:定直线定直线l.微提醒微提醒对抛物线定义的两点说明对抛物线定义的两点说明(1)(1)定直线定直线l不经过定点不经过定点F.F.(2)(2)定义中包含三个定值定义中包含三个定值,分别为一个定点分别为一个定点,一条定直线一条定直线及一个确定的比值及一个确定的比值.2.2.抛物线标准方程的几种形式抛物线
2、标准方程的几种形式图形图形标准方程标准方程焦点坐标焦点坐标准线方程准线方程 _ _ _ _ _ _y y2 2=2px(p0)=2px(p0)y y2 2=-2px(p0)=-2px(p0)pF(0)2，px2 pF(0)2，px2图形图形标准方程标准方程焦点坐标焦点坐标准线方程准线方程 _ _ _ _ _ x x2 2=2py(p0)=2py(p0)x x2 2=-2py(p0)=-2py(p0)pF(0)2，py2 pF(0)2，py2微提醒微提醒抛物线标准方程的特点抛物线标准方程的特点(1)(1)是关于是关于x,yx,y的二元二次方程的二元二次方程.(2)p(2)p的几何意义是焦点到准线
3、的距离的几何意义是焦点到准线的距离.微课堂微课堂微思考微思考【思考【思考1 1】定义中为什么要求直线定义中为什么要求直线l不经过点不经过点F?F?提示提示:当直线当直线l经过点经过点F F时时,点的轨迹是过点点的轨迹是过点F F且垂直于直且垂直于直线线l的一条直线的一条直线,而不是抛物线而不是抛物线.【思考【思考2 2】二次函数的图象也是抛物线二次函数的图象也是抛物线,与本节所学抛与本节所学抛物线相同吗物线相同吗?提示提示:不完全相同不完全相同.当抛物线的开口向上或向下时可以当抛物线的开口向上或向下时可以看作是二次函数的图象看作是二次函数的图象,当开口向左或向右时不能看作当开口向左或向右时不能
4、看作二次函数的图象二次函数的图象.【自我总结【自我总结】四种位置的抛物线的标准方程的对比四种位置的抛物线的标准方程的对比(1)(1)共同点共同点:原点在抛物线上原点在抛物线上;焦点在坐标轴上焦点在坐标轴上;焦点的非零坐标都是一次项系数的焦点的非零坐标都是一次项系数的 .14(2)(2)不同点不同点:焦点在焦点在x x轴上时轴上时,方程的右端为方程的右端为2px,2px,左端为左端为y y2 2;焦点焦点在在y y轴上时轴上时,方程的右端为方程的右端为2py,2py,左端为左端为x x2 2.开口方向与开口方向与x x轴轴(或或y y轴轴)的正半轴相同的正半轴相同,焦点在焦点在x x轴轴(或或y
5、 y轴轴)正半轴上正半轴上,方程右端取正号方程右端取正号;开口方向与开口方向与x x轴轴(或或y y轴轴)的负半轴相同的负半轴相同,焦点在焦点在x x轴轴(或或y y轴轴)负半轴上负半轴上,方程右端方程右端取负号取负号.【自我检测【自我检测】1.1.抛物线抛物线y=-xy=-x2 2的准线方程是的准线方程是()A.xA.x=B.yB.y=2=2C.y=C.y=D.y D.y=-2=-218132132【解析【解析】选选B.B.化抛物线方程化抛物线方程y=-xy=-x2 2为标准方程为标准方程x x2 2=-8y,=-8y,因此抛物线因此抛物线y=-xy=-x2 2的准线方程为的准线方程为y=2
6、.y=2.18182.2.抛物线抛物线y=axy=ax2 2的准线方程是的准线方程是y=2,y=2,则则a a的值为的值为()A.A.B.-B.-C.8C.8D.-8D.-81818【解析【解析】选选B.B.抛物线抛物线y=axy=ax2 2的标准方程是的标准方程是x x2 2=y,=y,则其则其准线方程为准线方程为y=-=2,y=-=2,所以所以a=-.a=-.181a14a3.3.抛物线抛物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0)上横坐标为上横坐标为6 6的点到焦点的距离的点到焦点的距离是是10,10,则焦点到准线的距离是则焦点到准线的距离是()A.4A.4B.8B.8C.16C.1
7、6D.32D.32【解析【解析】选选B.B.因为横坐标为因为横坐标为6 6的点到焦点的距离是的点到焦点的距离是10,10,所以该点到准线的距离为所以该点到准线的距离为10,10,抛物线的准线方程为抛物线的准线方程为x=-,x=-,所以所以6+=10,6+=10,所以所以p=8.p=8.p2p2类型一求抛物线的标准方程类型一求抛物线的标准方程【典例【典例】求满足下列条件的抛物线的标准方程求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1).(1)过过点点M(M(-6,6)-6,6).(2)(2)焦点焦点F F在直线在直线l:3x-2y-6=0:3x-2y-6=0上上.【思路导引【思路导引】(1)(1)根据点
8、根据点M M的位置的位置,确确定定_,_,设出设出抛物线方程求解抛物线方程求解.开口方向开口方向(2)(2)利用焦点位置确定抛物线的利用焦点位置确定抛物线的_,写出方写出方程程.【解析【解析】(1)(1)由于点由于点M M(-6,6)-6,6)在第二象限在第二象限,所以过所以过M M的抛的抛物线开口向左或开口向上物线开口向左或开口向上.若抛物线开口向左若抛物线开口向左,则焦点在则焦点在x x轴上轴上,设其方程为设其方程为y y2 2=-2p-2p1 1x(px(p1 10),0),对称轴和参数对称轴和参数p p将点将点M M(-6,6)-6,6)代入代入,可得可得36=-2p36=-2p1 1
9、(-6)-6),所以所以p p1 1=3.=3.所以抛物线的方程为所以抛物线的方程为y y2 2=-6x.=-6x.若抛物线开口向上若抛物线开口向上,则焦点在则焦点在y y轴上轴上,设其方程为设其方程为x x2 2=2p=2p2 2y(py(p2 20),0),将点将点M M(-6,6)-6,6)代入可得代入可得,36=2p,36=2p2 26,6,所以所以p p2 2=3,=3,所以抛物所以抛物线的方程为线的方程为x x2 2=6y.=6y.综上所述综上所述,抛物线的标准方程为抛物线的标准方程为y y2 2=-6x=-6x或或x x2 2=6y.=6y.(2)(2)因为直线因为直线l与与x
10、x轴的交点为轴的交点为(2,0)2,0),所以抛物线的焦所以抛物线的焦点是点是F(F(2,0)2,0),所以所以 =2,=2,所以所以p=4,p=4,所以抛物线的标准方程是所以抛物线的标准方程是y y2 2=8x.=8x.p2因为直线因为直线l与与y y轴的交点为轴的交点为(0,-3)0,-3),即抛物线的焦点即抛物线的焦点是是F(F(0,-3)0,-3),所以所以 =3,=3,所以所以p=6,p=6,所以抛物线的标准方程是所以抛物线的标准方程是x x2 2=-12y.=-12y.综上综上,抛物线的标准方程是抛物线的标准方程是y y2 2=8x=8x或或x x2 2=-12y.=-12y.p2
11、【解题流程【解题流程】(1)(1)确定开口确定开口设方程设方程求解求解.(2)(2)求焦点求焦点确定对称轴及确定对称轴及pp写方程写方程.【方法技巧【方法技巧】求抛物线的标准方程的关键与方法求抛物线的标准方程的关键与方法(1)(1)关键关键:确定焦点在哪条坐标轴上确定焦点在哪条坐标轴上,进而求方程的有关进而求方程的有关参数参数.(2)(2)方法方法:定义法定义法,根据定义求根据定义求p,p,最后写标准方程最后写标准方程.待定系数法待定系数法,设标准方程设标准方程,列有关的方程组求系数列有关的方程组求系数.直接法直接法,建立恰当坐标系建立恰当坐标系,利用抛物线的定义列出动利用抛物线的定义列出动点
12、满足的条件点满足的条件,列出对应方程列出对应方程,化简方程化简方程.提醒提醒:当抛物线的焦点位置不确定时当抛物线的焦点位置不确定时,应分类讨论应分类讨论,也可也可以设以设y y2 2=ax=ax或或x x2 2=ay(a0)=ay(a0)的形式的形式,以简化讨论过程以简化讨论过程.【变式训练【变式训练】已知双曲线已知双曲线C C1 1:(a0,b0):(a0,b0)的离心率为的离心率为3,3,若抛若抛物线物线C C2 2:x:x2 2=2py(p0)=2py(p0)的焦点到双曲线的焦点到双曲线C C1 1的渐近线的距离的渐近线的距离为为2,2,则抛物线则抛物线C C2 2的方程为的方程为()A
13、.xA.x2 2=y=yB.xB.x2 2=4y=4yC.xC.x2 2=12y=12yD.xD.x2 2=24y=24y2222xy1ab8 33【解析【解析】选选D.D.由题意可得双曲线由题意可得双曲线C C1 1:(a0,b0):(a0,b0)的渐近线为的渐近线为y=y=x,x,化为一般式可得化为一般式可得bxbxay=0,ay=0,离心率离心率e=3,e=3,解得解得b=2 a,c=3a,b=2 a,c=3a,又抛物线又抛物线C C2 2:x:x2 2=2py(p0)=2py(p0)的焦点为的焦点为 ,2222xy1abba22cabaa2p02（，）故焦点到故焦点到bxbxayay=
14、0=0的距离的距离d=d=所以所以p=12,p=12,所以抛物线所以抛物线C C2 2的方程为的方程为x x2 2=24y.=24y.22apap222cab，4ca类型二抛物线的定义及应用类型二抛物线的定义及应用【典例【典例】若位于若位于y y轴右侧的动点轴右侧的动点M M到到F F 的距离比它到的距离比它到y y轴的距离大轴的距离大 .求点求点M M的轨迹方程的轨迹方程.1(0)2，12【思路导引【思路导引】位于位于y y轴右侧的动点轴右侧的动点M M到到F F的距离比它到的距离比它到y y轴的距离大轴的距离大 说明动点说明动点M M到到F F的距离与它到直线的距离与它到直线_的距离相等的
15、距离相等,符合抛物线的定义符合抛物线的定义.12x=-x=-12【解析【解析】由于位于由于位于y y轴右侧的动点轴右侧的动点M M到到F F 的距离比它的距离比它到到y y轴的距离大轴的距离大 ,所以动点所以动点M M到到F F 的距离与它到直的距离与它到直线线l:x:x=-=-的距离相等的距离相等.由抛物线的定义知动点由抛物线的定义知动点M M的轨的轨迹是以迹是以F F为焦点为焦点,l为准线的抛物线为准线的抛物线(不包含原点不包含原点),),其方其方程应为程应为y y2 2=2px(p0)=2px(p0)的形式的形式,而而 ,所以所以p=1,2p=2,p=1,2p=2,故点故点M M的轨迹方
16、程为的轨迹方程为y y2 2=2x(x0).=2x(x0).1(0)2，121(0)2，12p122【延伸探究【延伸探究】1.1.若本例中点若本例中点M M所在轨迹上一点所在轨迹上一点N N到点到点F F的距离为的距离为2,2,求点求点N N的坐标的坐标.【解析【解析】设点设点N N的坐标为的坐标为(x(x0 0,y,y0 0),),则则|NF|=2,|NF|=2,即即 ,又由典例的解析知点又由典例的解析知点M M的轨迹方程的轨迹方程为为y y2 2=2x(x0),=2x(x0),故故 =2x=2x0 0,由由可得可得 故点故点N N的坐标为的坐标为 22001(x)y4220y000033x
17、x22y3y3，或，33(,3)(3).22或，2.2.若本例中增加一点若本例中增加一点A(3,2),A(3,2),其他条件不变其他条件不变,求求|MA|+|MF|MA|+|MF|的最小值的最小值,并求出点并求出点M M的坐标的坐标.【解析【解析】如图如图,由于点由于点M M在抛物线上在抛物线上,所以所以|MF|MF|等于点等于点M M到其准线到其准线l的距离的距离|MN|,|MN|,于是于是|MA|+|MF|=|MA|+|MN|AN|=3+=.|MA|+|MF|=|MA|+|MN|AN|=3+=.当当A,M,NA,M,N三点共线时三点共线时,|MA|+|MN|,|MA|+|MN|取最小值取最
18、小值,亦即亦即|MA|+|MF|MA|+|MF|取最小值取最小值 ,这时这时M M的纵坐标为的纵坐标为2,2,可设可设M(xM(x0 0,2),2),代入抛物线方程得代入抛物线方程得x x0 0=2,=2,即即M(2,2).M(2,2).127272【方法技巧【方法技巧】抛物线定义的两种应用抛物线定义的两种应用(1)(1)实现距离转化实现距离转化.根据抛物线的定义根据抛物线的定义,抛物线上任意一抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离点到焦点的距离等于它到准线的距离,因此因此,由抛物线由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化定义可以实现点点距与点线距的相互转化,从而简化某从而简化某些
19、问题些问题.(2)(2)解决最值问题解决最值问题.在抛物线中求解与焦点有关的两点在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时间距离和的最小值时,往往用抛物线的定义进行转化往往用抛物线的定义进行转化,即化折线为直线解决最值问题即化折线为直线解决最值问题.类型三抛物线的实际应用类型三抛物线的实际应用【典例【典例】某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔,已知已知上部呈抛物线型上部呈抛物线型,跨度为跨度为2020米米,拱顶距水面拱顶距水面6 6米米,桥墩高桥墩高出水面出水面4 4米米.现有一货船欲过此孔现有一货船欲过此孔,该货船水下宽度不超该货船水下宽度不超过过181
20、8米米,目前吃水线上部中央船体高目前吃水线上部中央船体高5 5米米,宽宽1616米米,且该且该货船在现有状况下还可多装货船在现有状况下还可多装1 0001 000吨货物吨货物,但每多装但每多装150150吨货物吨货物,船体吃水线就要上升船体吃水线就要上升0.040.04米米.若不考虑水下深若不考虑水下深度度,问问:该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔孔?为什么为什么?【解题探究】【解题探究】如何建立坐标系可以使建立的方程更简如何建立坐标系可以使建立的方程更简洁洁?提示提示:以拱顶为原点以拱顶为原点,过拱顶的水平直线为过拱顶的水平直线为x x轴建系轴
21、建系.【解析【解析】如图所示如图所示,以拱顶为原点以拱顶为原点,过拱顶的水平直线过拱顶的水平直线为为x x轴轴,竖直直线为竖直直线为y y轴轴,建立直角坐标系建立直角坐标系.因为拱顶距水面因为拱顶距水面6 6米米,桥墩高出水面桥墩高出水面4 4米米,所以所以A(10,-2).A(10,-2).设桥孔上部抛物线方程是设桥孔上部抛物线方程是x x2 2=-2py(p0),=-2py(p0),则则10102 2=-2p=-2p(-2),(-2),所以所以p=25,p=25,所以抛物线方程为所以抛物线方程为x x2 2=-50y,=-50y,即即y=-xy=-x2 2.150若货船沿正中央航行若货船沿
22、正中央航行,船宽船宽1616米米,而当而当x=8x=8时时,y=-y=-8 82 2=-1.28,=-1.28,即船体在即船体在x=x=8 8之间通过之间通过,B(8,-1.28),B(8,-1.28),此时此时B B点距水面点距水面6+(-1.28)=4.72(6+(-1.28)=4.72(米米).).而船体高为而船体高为5 5米米,所以无法通行所以无法通行.150又因为又因为5-4.72=0.28(5-4.72=0.28(米米),0.28),0.280.04=7,0.04=7,1501507=1 050(7=1 050(吨吨),),所以若船通过增加货物通过桥孔所以若船通过增加货物通过桥孔,
23、则要增加则要增加1 0501 050吨吨,而而船最多还能装船最多还能装1 0001 000吨货物吨货物,所以货船在现在状况下不所以货船在现在状况下不能通过桥孔能通过桥孔.【方法技巧【方法技巧】求抛物线实际应用的五个步骤求抛物线实际应用的五个步骤(1)(1)建系建系:建立适当的坐标系建立适当的坐标系.(2)(2)假设假设:设出合适的抛物线标准方程设出合适的抛物线标准方程.(3)(3)计算计算:通过计算求出抛物线的标准方程通过计算求出抛物线的标准方程.(4)(4)求解求解:求出需要求出的量求出需要求出的量.(5)(5)还原还原:还原到实际问题中还原到实际问题中,从而解决实际问题从而解决实际问题.【
24、变式训练【变式训练】(2018(2018西安高二检测西安高二检测)已知灯的反光镜的纵断面是抛物已知灯的反光镜的纵断面是抛物线的一部分线的一部分,光源在抛物线的焦点处光源在抛物线的焦点处,已知灯口直径是已知灯口直径是60 cm,60 cm,灯深灯深40 cm,40 cm,则光源到反光镜顶点的距离是则光源到反光镜顶点的距离是 ()A.11.25 cmA.11.25 cmB.5.625 cm B.5.625 cm C.20 cmC.20 cm D.10 cmD.10 cm【解析【解析】选选B.B.设抛物线的方程为设抛物线的方程为y y2 2=2px(p0),=2px(p0),抛物线抛物线过点过点(4
25、0,30)40,30),则则30302 2=2p=2p40,40,光源光源到反光镜顶点的距离是到反光镜顶点的距离是 =5.625.=5.625.45 p45p5.625428，p2【补偿训练【补偿训练】一种卫星接收天线的轴截面如图所示一种卫星接收天线的轴截面如图所示,卫星波束呈近似平行状态射入轴截面卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线为抛物线的接收天线,经反射聚集到焦点处经反射聚集到焦点处.已知接收已知接收天线的口径天线的口径(直径直径)为为4.8 m,4.8 m,深度为深度为0.5 m,0.5 m,试建立适当试建立适当的坐标系的坐标系,求抛物线的标准方程和焦点坐标求抛物线的标准
26、方程和焦点坐标.【解析【解析】在接收天线的轴截面所在在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系平面内建立直角坐标系,使接收天线使接收天线的顶点与原点重合的顶点与原点重合.设抛物线的标准设抛物线的标准方程为方程为y y2 2=2px(p0),=2px(p0),由已知条件可得由已知条件可得,点点A A的坐标是的坐标是(0.5,2.4),(0.5,2.4),代入方程代入方程,得得2.42.42 2=2p=2p0.5,0.5,所以所以p=5.76.p=5.76.所以所求抛物线的标准方程是所以所求抛物线的标准方程是y y2 2=11.52x,=11.52x,焦点坐标是焦点坐标是(2.88,0).(2.8
27、8,0).(答案不唯一答案不唯一)【核心素养培优区【核心素养培优区】易错误区案例易错误区案例 求抛物线的标准方程求抛物线的标准方程 【典例【典例】若抛物线若抛物线y y2 2=-2px(p0)=-2px(p0)上有一点上有一点M,M,其横坐标其横坐标为为-9,-9,它到焦点的距离为它到焦点的距离为10,10,求抛物线方程和求抛物线方程和M M点的坐标点的坐标.【错解案例【错解案例】由抛物线定义由抛物线定义,得焦点为得焦点为F ,F ,准线为准线为x=,x=,由题意设由题意设M M到准线的距离为到准线的距离为|MN|,|MN|,则则|MN|=|MF|=10,|MN|=|MF|=10,即即 -(-
28、9)=10,-(-9)=10,所以所以p=2.p=2.p(0)2，p2p2故抛物线方程为故抛物线方程为y y2 2=-4x,=-4x,将将M(-9,yM(-9,y0 0)代入代入y y2 2=-4x,=-4x,解得解得y y0 0=6,=6,所以所以M(-9,6).M(-9,6).错误原因防范措施考虑不全面,导致丟分.求解过程中要思维严谨,解答准确【正解【正解】由抛物线定义由抛物线定义,得焦点为得焦点为F ,F ,准线为准线为x=,x=,由题意设由题意设M M到准线的距离为到准线的距离为|MN|,|MN|,则则|MN|=|MF|=10,|MN|=|MF|=10,即即 -(-9)=10,-(-9
29、)=10,p(0)2，p2p2所以所以p=2,p=2,故抛物线方程为故抛物线方程为y y2 2=-4x,=-4x,将将M(-9,yM(-9,y0 0)代入代入y y2 2=-4x,=-4x,解得解得y y0 0=6,6,所以所以M(-9,6)M(-9,6)或或M(-9,-6).M(-9,-6).【即时应用【即时应用】已知抛物线的顶点在原点已知抛物线的顶点在原点,焦点在焦点在x x轴上轴上,且焦点到准线的距离为且焦点到准线的距离为1,1,则抛物线的标准方程为则抛物线的标准方程为_._.【解析【解析】抛物线的顶点在原点抛物线的顶点在原点,焦点在焦点在x x轴上轴上,且焦点到且焦点到准线的距离为准线的距离为1,1,可得可得p=1,p=1,所求抛物线方程为所求抛物线方程为y y2 2=2x=2x或或y y2 2=-2x.=-2x.答案答案:y y2 2=2x=2x或或y y2 2=-2x=-2x
