1、第三章第三章 多元函数微分学的应用多元函数微分学的应用上一页上一页下一页下一页返回返回设空间曲线的方程设空间曲线的方程)1()()()(tztytx ozyx(1)式中的三个函数均可导式中的三个函数均可导.曲线的切线与法平面M.),(0000tttzzyyxxM 对应于对应于;),(0000ttzyxM 对应于对应于设设M 上一页上一页下一页下一页返回返回考察割线趋近于极限位置考察割线趋近于极限位置切线的过程切线的过程zzzyyyxxx 000t t t 上式分母同除以上式分母同除以,t ozyxMM 割线割线 的方程为的方程为MM,000zzzyyyxxx 上一页上一页下一页下一页返回返回,
2、0,时时即即当当 tMM曲线在曲线在M处的切线方程处的切线方程.)()()(000000tzztyytxx 切向量：切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量切线的方向向量称为曲线的切向量.)(),(),(000tttT 法平面：法平面：过过M点且与切线垂直的平面点且与切线垂直的平面.0)()()(000000 zztyytxxt 上一页上一页下一页下一页返回返回例例1 1 求曲线求曲线:tuuduex0cos，tysin2 tcos,tez31 在在0 t处的切线和法平面方程处的切线和法平面方程.解解当当0 t时，时，,2,1,0 zyx,costext ,sincos2tty ,33tez ,
3、1)0(x,2)0(y,3)0(z切线方程切线方程,322110 zyx法平面方程法平面方程,0)2(3)1(2 zyx.0832 zyx即即上一页上一页下一页下一页返回返回1.空间曲线方程为空间曲线方程为,)()(xzxy ,),(000处处在在zyxM,)()(100000 xzzxyyxx .0)()()(00000 zzxyyxxx 法平面方程为法平面方程为切线方程为切线方程为特殊地：特殊地：上一页上一页下一页下一页返回返回2.空间曲线方程为空间曲线方程为,0),(0),(zyxGzyxF切线方程为切线方程为,000000yxyxxzxzzyzyGGFFzzGGFFyyGGFFxx 法
4、平面方程为法平面方程为.0)()()(000000 zzGGFFyyGGFFxxGGFFyxyxxzxzzyzy上一页上一页下一页下一页返回返回例例 2 2 求曲线求曲线6222 zyx，0 zyx在在点点)1,2,1(处的切线及法平面方程处的切线及法平面方程.解解 1 1 直直接接利利用用公公式式;解解 2 2 将所给方程的两边对将所给方程的两边对x求导并移项，得求导并移项，得 1dxdzdxdyxdxdzzdxdyy,zyxzdxdy ,zyyxdxdz 上一页上一页下一页下一页返回返回由由此此得得切切向向量量,1,0,1 T所求切线方程为所求切线方程为,110211 zyx法平面方程为法
5、平面方程为,0)1()2(0)1(zyx0 zx,0)1,2,1(dxdy,1)1,2,1(dxdz上一页上一页下一页下一页返回返回空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面（当空间曲线方程为一般式时，求切向（当空间曲线方程为一般式时，求切向量注意采用量注意采用推导法推导法）小结上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回设曲面方程为设曲面方程为0),(zyxF),(),(),(000tttT 曲线在曲线在M处的切向量处的切向量在曲面上任取一条通在曲面上任取一条通过点过点M的曲线的曲线,)()()(:tztytx 曲面的切平面与法线nTM上一页上一页下一页下一页返回返回)
6、,(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 令令则则,Tn 切平面方程为切平面方程为0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx上一页上一页下一页下一页返回返回 通通过过点点),(000zyxM而而垂垂直直于于切切平平面面的的直直线线称称为为曲曲面面在在该该点点的的法法线线.法线方程为法线方程为),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx ),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 曲面在曲面在M处的法向量即处的法向量即垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法
7、向量垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.上一页上一页下一页下一页返回返回特殊地：空间曲面方程形为特殊地：空间曲面方程形为),(yxfz 曲面在曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为,)(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx 曲面在曲面在M处的法线方程为处的法线方程为.1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx,),(),(zyxfzyxF 令令上一页上一页下一页下一页返回返回)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 切平面切平面上点的上点的竖坐标竖坐标的增量的增量的全微分的全微分在点在点函数函数),(),(00yxyxfz 因为曲面在
8、因为曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为全微分的几何意义全微分的几何意义),(yxfz 在在),(00yx的全微分，表示的全微分，表示曲面曲面),(yxfz 在点在点),(000zyx处的处的切平面上的点的竖坐标的增量切平面上的点的竖坐标的增量.上一页上一页下一页下一页返回返回,1cos22yxxfff ,1cos22yxyfff .11cos22yxff ),(00yxffxx),(00yxffyy 其中其中上一页上一页下一页下一页返回返回例例 3 3 求旋转抛物面求旋转抛物面122 yxz在点在点)4,1,2(处的切平面及法线方程处的切平面及法线方程.解解,1),(22 yxyxf)4
9、,1,2()4,1,2(1,2,2 yxn,1,2,4 切平面方程为切平面方程为,0)4()1(2)2(4 zyx,0624 zyx法线方程为法线方程为.142142 zyx上一页上一页下一页下一页返回返回例例 4 4 求曲面求曲面32 xyezz在点在点)0,2,1(处的处的切平面及法线方程切平面及法线方程.解解,32),(xyezzyxFz,42)0,2,1()0,2,1(yFx,22)0,2,1()0,2,1(xFy,01)0,2,1()0,2,1(zzeF令令切平面方程切平面方程法线方程法线方程,0)0(0)2(2)1(4 zyx,042 yx.001221 zyx上一页上一页下一页下
10、一页返回返回例例 5 5 求曲面求曲面2132222 zyx平行于平面平行于平面064 zyx的各切平面方程的各切平面方程.解解设设 为曲面上的切点为曲面上的切点,),(000zyx切平面方程为切平面方程为0)(6)(4)(2000000 zzzyyyxxx依题意，切平面方程平行于已知平面，得依题意，切平面方程平行于已知平面，得,664412000zyx .2000zyx 上一页上一页下一页下一页返回返回因为因为 是曲面上的切点，是曲面上的切点，),(000zyx,10 x所求切点为所求切点为满足方程满足方程),2,2,1(),2,2,1(0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx0
11、)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx切平面方程切平面方程(1)切平面方程切平面方程(2)上一页上一页下一页下一页返回返回曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线（求法向量的方向余弦时注意（求法向量的方向余弦时注意符号符号）小结上一页上一页下一页下一页返回返回思考题思考题 如如果果平平面面01633 zyx 与与椭椭球球面面163222 zyx相相切切，求求.上一页上一页下一页下一页返回返回思考题解答思考题解答,2,2,6000zyxn 设切点设切点),(000zyx依题意知切向量为依题意知切向量为3,3 32236000 zyx,00 xy ,300 xz 切点满足曲面和平面方程切点
12、满足曲面和平面方程,016930169320202200020 xxxxxx .2 上一页上一页下一页下一页返回返回练练 习习 题题011682,8142121 zyxzyx 02112,042zyxyx)271,91,31()1,1,1(21 PP及及 0202021111zyxzyx或或上一页上一页下一页下一页返回返回四、求椭球面四、求椭球面12222 zyx上平行于平面上平行于平面 02 zyx的切平面方程的切平面方程.五、试证曲面五、试证曲面)0(aazyx上任何点处的上任何点处的 切平面在各坐标轴上的截距之和等于切平面在各坐标轴上的截距之和等于a.上一页上一页下一页下一页返回返回练习题答案练习题答案上一页上一页下一页下一页返回返回作业 P109 1 2 3 P114 1 5 6
