1、第第 三三 章章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用一、罗尔一、罗尔(Rolle)定理定理定理定理(Rolle)若函数若函数f(x)满足满足（1）在闭区间）在闭区间a,b上连续上连续（2）在开区间）在开区间(a,b)内可导内可导（3）在区间端点处的函数值相等）在区间端点处的函数值相等f(a)=f(b)0)()(),(,),(fxfbaba在该点的导数为零，即在该点的导数为零，即使得函数使得函数内至少存在一点内至少存在一点则在则在例如例如,32)(2 xxxf).1)(3(xx,3,1上上连连续续在在 (1,3),在内可导,0)3()1(ff且且),1(2)(xxf)3,1(1(,
2、1 取取.0)(f3.1 微分中值定理几何解释几何解释:xyo)(xfy abC1 2 若连续曲线弧的两个若连续曲线弧的两个端点的纵坐标相等，端点的纵坐标相等，且除去两个端点外处且除去两个端点外处处有不垂直于横轴的处有不垂直于横轴的切线，切线，.,切切线线是是水水平平的的在在该该点点处处的的上上至至少少有有一一点点在在曲曲线线弧弧CAB注注 Rolle定理有三个条件：闭区间连续；开区间可导定理有三个条件：闭区间连续；开区间可导 区间端点处的函数值相等；区间端点处的函数值相等；这三个条件只是充分条件，而非必要条件这三个条件只是充分条件，而非必要条件如：如：y=x2在在-1,2上满足上满足(1),
3、(2)，不满足，不满足(3)却在却在(-1,2)内有一点内有一点 x=0 使使0200 xxxy但定理的条件又都是必须的，即为了保证结论成立但定理的条件又都是必须的，即为了保证结论成立三个条件缺一不可。三个条件缺一不可。例如例如,;2,2,xxy,)0(2,2一一切切条条件件满满足足罗罗尔尔定定理理的的不不存存在在外外上上除除在在f .0)(xf但但在在内内找找不不到到一一点点能能使使又例如又例如,;0)0(,1,0(,1)(fxxxf在在0,1上除去上除去x=0不连续外，满足罗尔定理的不连续外，满足罗尔定理的一切条件一切条件,()0.fx但在(0,1)内找不到一点能使再例如再例如.1,0,)
4、(xxxf在在0,1上除去端点的函数值不相等外，满足罗尔上除去端点的函数值不相等外，满足罗尔定理的一切条件定理的一切条件,.0)(的的点点但但也也找找不不到到使使 xf罗尔定理的结论是在开区间内至少有一使导数罗尔定理的结论是在开区间内至少有一使导数等等0的点。有的函数这样的点可能不止一个；的点。有的函数这样的点可能不止一个；另外还要注意点另外还要注意点并未具体指出，即使对于给定并未具体指出，即使对于给定的具体函数，点的具体函数，点也不一定能指出是哪一点，也不一定能指出是哪一点，如如)2ln()(xxxf在在-1，0上满足罗尔定理的全部条件，而上满足罗尔定理的全部条件，而)2ln(2)(xxxx
5、f但却不易找到使但却不易找到使 的点的点0)(xf但根据定理，这样的点是存在的但根据定理，这样的点是存在的.即便如此，我们即便如此，我们将会看到，这丝毫不影响这一重要定理的应用将会看到，这丝毫不影响这一重要定理的应用.例例1不求函数不求函数f(x)(x 1)(x 2)(x 3)的导数的导数,判断判断方程方程f (x)00有几个实根，以及其所在范围。有几个实根，以及其所在范围。解：解：f(1)f(2)f(3)0，f(x)在在1,2，2,3上满足上满足罗尔定理的三个条件。罗尔定理的三个条件。在在(1,2)内至少存在一点内至少存在一点 1，使使 f (1)0，1是是 f (x)=0的一个实根。的一个
6、实根。在在(2,3)内至少存在一点内至少存在一点 2，使使f (2)0，2也是也是f (x)=0的一个实根。的一个实根。f (x)=0是二次方程，只能有两个实根，分别在是二次方程，只能有两个实根，分别在区间区间(1,2)及及(2,3)内。内。二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理)1()2().()(:bfaf 去去掉掉了了与与罗罗尔尔定定理理相相比比条条件件中中注注意意).()()(fabafbf结论亦可写成结论亦可写成几何解释几何解释:xoy)(xfy ABabC1 D2.,ABCAB线平行于弦线平行于弦在该点处的切在该点处的切一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧
7、xNM()()()f bf afba 推论推论 如果函数如果函数f(x)在区间在区间I上的导数恒为零，那上的导数恒为零，那么么f(x)在区间在区间I上是一个常数。上是一个常数。证明：证明：在区间在区间I上任取两点上任取两点x1，x2(x1x2)，应用拉应用拉格朗日中值定理，就得格朗日中值定理，就得 f(x2)f(x1)f ()(x2 x1)(x1 x2)。由假定，由假定，f ()0，所以所以f(x2)f(x1)0，即即 f(x2)f(x1)。因此因此 f(x)在区间在区间I上是一个常数。上是一个常数。证明：证明：设设f(x)ln(1 x)，显然显然f(x)在区间在区间0,x上满足上满足拉格朗日
8、中值定理的条件，根据定理，就有拉格朗日中值定理的条件，根据定理，就有 f(x)f(0)f ()(x 0)，0 x。又由又由0 0 时，xxxx)1ln(1。xxxx)1ln(1。三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理Cauchy定理又称为广义微分中值定理定理又称为广义微分中值定理结构图结构图Lagrange定理定理特例特例Rolle定理定理推广推广Cauchy定理定理拉格朗日中值定理又称拉格朗日中值定理又称微分中值定理微分中值定理.第二节第二节 洛必达法则洛必达法则洛必达法则洛必达法则型未定式解法型未定式解法型及型及一、一、:00 型型未未定定式式解解法法二二、00,1,0,0 洛必
9、达法则洛必达法则型未定式解法型未定式解法型及型及一、一、:00 定义定义()()()()()lim()0.0 xaxxaxf xF xf xF x 如果当或时，两个函数与都趋于零或都趋于无穷大，那么极限可能存在、也可能不存在通常把这种极限称为或型未定式例如例如,tanlim0 xxx,sinlnsinlnlim0bxaxx)00()(.)()(lim)()(lim);()()(lim)3(;0)()()(,)2(;)()(,)1(xFxfxFxfxFxfxFxFxfaxFxfaxaxaxax 那末那末或为无穷大或为无穷大存在存在且且都存在都存在及及点的某去心邻域内点的某去心邻域内在在都趋于零都
10、趋于零及及函数函数时时当当设设定理定理定义定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.,该法则仍然成立该法则仍然成立时时当当 x使用洛必达法则，即使用洛必达法则，即定理的条件，可以继续定理的条件，可以继续满足满足型，且型，且仍属仍属如果如果)(),(00)()(xFxfxFxf .)()(lim)()(lim)()(lim xFxfxFxfxFxfaxaxax.)()(lim)()(limxFxfxFxfxx .,也有相应的洛必达法则也有相应的洛必达法则时的未定式时的未定
11、式当当 xax 例例 1求bxaxxsinsinlim0(b 0)。解解：babxbaxabxaxbxaxxxxcoscoslim)(sin)(sinlimsinsinlim000 例例 2求123lim2331xxxxxx。解解：)1()23(lim123lim23312331xxxxxxxxxxxx 23266lim12333lim1221xxxxxxxbabxbaxabxaxbxaxxxxcoscoslim)(sin)(sinlimsinsinlim000babxbaxabxaxbxaxxxxcoscoslim)(sin)(sinlimsinsinlim000babxbaxabxaxbx
12、axxxxcoscoslim)(sin)(sinlimsinsinlim000。)1()23(lim123lim23312331xxxxxxxxxxxx 23266lim12333lim1221xxxxxxx23266lim12333lim1221xxxxxxx。例例 3求30sinlimxxxx。解解：30sinlimxxxx203cos1limxxxxxx6sinlim061 例例 4求xxx1arctan2lim。30sinlimxxxx203cos1limxxxxxx6sinlim06130sinlimxxxx203cos1limxxxxxx6sinlim06130sinlimxxxx
13、203cos1limxxxxxx6sinlim061。解解：xxx1arctan2lim22111limxxx11lim22xxxxxx1arctan2lim22111limxxx11lim22xxxxxx1arctan2lim22111limxxx11lim22xxxxxx1arctan2lim22111limxxx11lim22xxx。例例 5求nxxxlnlim(n0)。解解：nxxxlnlim11limnxnxx01limnxnx 例例 6xnxexlim(n 为正整数，0)。解解：xnxexlimxnxenx1limxnxexnn22)1(lim 0!limxnxen。nxxxlnl
14、im11limnxnxx01limnxnxnxxxlnlim11limnxnxx01limnxnxnxxxlnlim11limnxnxx01limnxnx。xnxexlimxnxenx1limxnxexnn22)1(limxnxexlimxnxenx1limxnxexnn22)1(limxnxexlimxnxenx1limxnxexnn22)1(lim 型未定式解法型未定式解法二、二、00,1,0,0 关键关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型的类型 .),00()(型型 0.1步骤步骤:,10 .0100 或或 例例7求求0+limxx n ln
15、 x(n0)。0.lim0 nxnx 解解：xxnxlnlim0+nxxx 0 lnlim10 1lim nxnxx 例例8 8解解).1sin1(lim0 xxx 求求)(0101 .0000 xxxxxsinsinlim0 原式原式xxxxxcossincos1lim0 .0 型型 .2步骤步骤:0sinlim2cossinxxxxx步骤步骤:型型00,1,0.3 ln01ln0ln01000取对数取对数.0 例例9 9解解.lim0 xxx 求求)0(0 xxxeln0lim 原式原式xxxelnlim0 2011limxxxe 0e.1 xxxe1lnlim0 1洛必达法则是求未定式的
16、一种有效方法，但最洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但最好能与其它求极限的方法结合使用。例如能化简时应尽好能与其它求极限的方法结合使用。例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替代或重要极限时，可能先化简，可以应用等价无穷小替代或重要极限时，应尽可能应用，这样可以使运算简捷。应尽可能应用，这样可以使运算简捷。例例 10求xxxxxsintanlim20。解解：xxxxxsintanlim2030tanlimxxxx22031seclimxxx应注意的问题：应注意的问题：xxxx6tansec2lim2031tanseclim3120 xxxxxxxxxsintanlim2030tanl
17、imxxxx22031seclimxxxxxxxxsintanlim2030tanlimxxxx22031seclimxxx xxxx6tansec2lim2031tanseclim3120 xxxxxxxx6tansec2lim2031tanseclim3120 xxxx。2本节定理给出的是求未定式的一种方法。当定本节定理给出的是求未定式的一种方法。当定理条件满足时，所求的极限当然存在理条件满足时，所求的极限当然存在(或为或为)，但定理，但定理条件不满足时，所求极限却不一定不存在。条件不满足时，所求极限却不一定不存在。例例 11求xxxxsinlim。解解：因为极限)()sin(limxxx
18、x1cos1limxx不存在，所以不能用洛必达法则。所以不能用洛必达法则。xxxxsinlim1sin1limxxx但其极限是存在的：但其极限是存在的：xxxxsinlim1sin1limxxx。第三节第三节 泰勒泰勒(Taylor)公式公式 多项式是一类很重要的函数，其明显特点是结构多项式是一类很重要的函数，其明显特点是结构简单，因此无论是数值计算还是理论分析都比较方便简单，因此无论是数值计算还是理论分析都比较方便从计算的角度看，只须加、减、乘三种运算，这是其从计算的角度看，只须加、减、乘三种运算，这是其它函数所不具备的优点它函数所不具备的优点。用多项式近似地表示给定函。用多项式近似地表示给
19、定函数的问题不仅具有实用价值，而且更具有理论价值。数的问题不仅具有实用价值，而且更具有理论价值。一、问题的提出一、问题的提出例例如如,当当x很很小小时时,xex 1 ,xx )1ln()()()(000 xxxfxfxf xey xy 1oxey oxy )1ln(xy 不足不足:问题问题:1、精确度不高；、精确度不高；2、误差不能估计、误差不能估计.nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 ),(00 xfa 代代入入)(xPn中中得得nnnxxnxfxxxfxxxfxfxP)(!)()(!2)()()()(00)(200000 得得 ),2,1,0()(!10)(nkx
20、fkakk ),(101xfa )(!202xfa ,)(!0)(xfannn nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 ()()()nnRxf xP x误差二、泰勒二、泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理)()(!)()(!2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn nnnxxnxfxxxfxxxfxfxP)(!)()(!2)()()()(00)(200000 )()(!1)()(010)1(之之间间与与在在xxxxnfxRnnn -拉格朗日型余项拉格朗日型余项 1010)1()(!1)(!1)()(nnnnxxn
21、MxxnfxR-佩亚诺型余项佩亚诺型余项0)()(lim00 nnxxxxxR及及.)()(0nnxxoxR 即即()2(0)(0)()(0)(0)2!()nnnfff xffxxxno x)10()!1()(!)0(!2)0()0()0()(1)1()(2 nnnnxnxfxnfxfxffxf麦克劳林麦克劳林(Maclaurin)(Maclaurin)公式公式(1)10()()(1)!nnfxxn0()no xx三、简单的应用三、简单的应用解解,)()()()(xnexfxfxf 1)0()0()0()0()(nffffxnexf )()1(注意到注意到代入公式代入公式,得得).10()!1
22、(!2112 nxnxxnenxxxe 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式21().2!nxnxxexo xn 解解)(!21122xoxxex 244 cos1()2!4!xxxo x 又)(127)()!412!21(3cos244442xoxxoxxex 4440)(127limxxoxx 原原式式.127 例例 2 2 计计算算 403cos2lim2xxexx .)(!2114422xoxxex 第四节第四节 函数单调性与曲线凹凸性函数单调性与曲线凹凸性 导数符号与单调性导数符号与单调性 单调性的判定步骤单调性的判定步骤 凹凸与拐点的定义凹凸与拐点的定义 二阶导数符号与凹凸
23、性二阶导数符号与凹凸性 凹凸与拐点的判定步骤凹凸与拐点的判定步骤一、单调性的判别法一、单调性的判别法 函数在某区间上是否具有单调性是我们在研究函数在某区间上是否具有单调性是我们在研究函数的性态时，首先关注的问题。第一章中已经给函数的性态时，首先关注的问题。第一章中已经给出了函数在某区间上单调的定义，但利用定义来判出了函数在某区间上单调的定义，但利用定义来判定函数的单调性却是很不方便的。定函数的单调性却是很不方便的。xyo)(xfy xyo)(xfy abAB()0fx()0fxabBA 从几何图形上看，表示单调函数的曲线当自变量从几何图形上看，表示单调函数的曲线当自变量在单调区间内按增加方向变
24、动时，曲线总是上升在单调区间内按增加方向变动时，曲线总是上升（下降）的。进一步若曲线在某区间内每点处的切（下降）的。进一步若曲线在某区间内每点处的切线斜率都为正（负），曲线就是上升（下降）的线斜率都为正（负），曲线就是上升（下降）的 这就启示我们：能否利用导数的符号来判定单调这就启示我们：能否利用导数的符号来判定单调性性？回答是肯定的。？回答是肯定的。定理定理(),(,).1(,)()0(),(2)(,)()0(),.yf xa ba ba bfxyf xa ba bfxyf xa b设函数在上连续，在内可导（）如果在内，那么函数在上单调增加；如果在内，那么函数在上单调减少例例1 1解解.1的
25、单调性的单调性讨论函数讨论函数 xeyx1.xye,)0,(内内在在,0 y(,0函数在上单调减少；,),0(内内在在,0 y0,).函数在上单调增加(,).定义域例例2 2.)(32的单调区间的单调区间确定函数确定函数xxf 解解(,).定义域)0(,32)(3 xxxf.,0导数不存在导数不存在时时当当 x时，时，当当0 x,0)(xf(,0f x（）在上单调减少；时，时，当当 x0,0)(xf()0,)f x在上单调增加；单调减区间为单调减区间为，0,().,0 32xy 单调增区间为单调增区间为二、单调区间求法二、单调区间求法问题问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，如上例，函数在
26、定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调但在各个部分区间上单调定义定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的的，则该区间称为函数的单调区间单调区间.导数等于零的点导数等于零的点(驻点驻点)和不可导点，可能是单调和不可导点，可能是单调区间的分界点区间的分界点单调区间求法单调区间求法:1.在在 f 的定义域上求的定义域上求 f 的零点及的零点及 f 不存在的点；不存在的点；2.2.用用 f 的零点及的零点及 f 不存在的点将不存在的点将 f 的定义区间的定义区间划分为子区间；划分为子区间；3.3.根据根据 f 在各子区间内的符号确定在各子区
27、间内的符号确定 f 的单调性。的单调性。4.4.二、三两步可借助于表格方式完成。二、三两步可借助于表格方式完成。例例3 332()29123.f xxxx确定函数的单调区间解解(,).定义域12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx得，得，解方程解方程0)(xf.2,121 xx的的单单调调性性列列表表如如下下：的的符符号号与与将将 ff (,1 1,22,)f 在上单调增；在上单调减；在上单调增。xf (x)f(x)(,1)(1,2)(2,)xyO11y=x3说明说明:一般地，如果一般地，如果f (x)在某区间内在某区间内的有限个点处为零，在其余各点处的有限个点处为零，在其余各点处均为正
28、均为正(或负或负)时，那么时，那么f(x)在该区间在该区间上仍旧是单调增加上仍旧是单调增加(或单调减少或单调减少)的。的。例例4讨论函数讨论函数y x3的单调性。的单调性。解：解：函数的定义域为函数的定义域为(,)。y 3x2，当当x 0时，时，y 0。因为当因为当x 0时，时，y 0。所以函数所以函数y x3在区间在区间(,0及及0,)内都是单调增加的。内都是单调增加的。因此函数在整个定义域因此函数在整个定义域(,)内是单调增加的。内是单调增加的。注注 利用导数符号与单调性之间的关系可证明利用导数符号与单调性之间的关系可证明一些不等式。一些不等式。)1(111)(22xxxxxxf。因为当因
29、为当x1时，时，f (x)0，所以所以f(x)在在1,)上上f(x)单单调增加。因此当调增加。因此当x1时，时，f(x)f(1)0，即即 0)13(2xx，4 函数单调性的判定法函数单调性的判定法 也就是xx132(x1)。例例 5证明：当证明：当 x1 时，时，xx132 。证证明明：令令)13(2)(xxxf ，则，则 三、曲线的凹凸性与拐点三、曲线的凹凸性与拐点定义定义:若曲线段向上（下）弯曲，若曲线段向上（下）弯曲，则称之为则称之为凹（凸）的。凹（凸）的。xyoxyo1x2x)(xfy 图形上任意弧段（图形上任意弧段（）位于所张弦的上方。位于所张弦的上方。xyo)(xfy 1x2x图形
30、上任意弧段（图形上任意弧段（）位于所张弦的下方。位于所张弦的下方。ABC问题问题:如何用准确的数学语言描述曲线的凹凸性如何用准确的数学语言描述曲线的凹凸性?的中点的中点的中点的中点 定义定义121212(),()(),(),22();f xIIxxf xf xx xff xI设在区间 上连续 如果对 上任意两点恒有那么称在 上的图形是凹的121212,()()(),22();Ix xxxf xf xff xI如果对区间 上任意两点恒有那么称在 上的图形是凸的四、曲线凹凸的判定四、曲线凹凸的判定xyo)(xfy xyo)(xfy abAB递增递增)(xf abBA0 y递减递减)(xf 0 y定
31、理定理1 1.,)(,0)()2(;,)(,0)()1(),(,),(,)(上的图形是凸的上的图形是凸的在在则则上的图形是凹的上的图形是凹的在在则则内内若在若在二阶导数二阶导数内具有内具有在在上连续上连续在在如果如果baxfxfbaxfxfbababaxf 例例6 6.3的凹凸性的凹凸性判断曲线判断曲线xy 解解,32xy ,6xy 时，时，当当0 x,0 y为凸的；为凸的；在在曲线曲线0,(时，时，当当0 x,0 y为凹的；为凹的；在在曲线曲线),0.)0,0(点点是是曲曲线线由由凸凸变变凹凹的的分分界界点点注意到注意到,xyO11y=x3五、曲线的拐点及其求法五、曲线的拐点及其求法连续曲线
32、上凹凸的分界点称为连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点曲线的拐点.定理定理 2 2 如果如果)(xf在在),(00 xx内存在二阶导内存在二阶导数数,则点则点 )(,00 xfx是拐点的必要条件是是拐点的必要条件是0)(0 xf.1.1.定义定义2.2.拐点的求法拐点的求法例例8 8.3的拐点的拐点求曲线求曲线xy 解解,0时时当当 x,3132 xy532,9yx 0.xy 时,不存在,0,)0,(y内内但在但在;0,(上是凹的上是凹的曲线在曲线在,0,),0(y内内在在.),0上是凸的上是凸的曲线在曲线在.)0,0(3的拐点的拐点是曲线是曲线点点xy 凹凸与拐点的判定步骤凹凸与拐点的判定步
33、骤不不存存在在的的点点；的的零零点点以以及及求求)()()1(xfxf 间间；的的定定义义区区间间分分割割为为子子区区用用上上述述点点将将)()2(xf与与拐拐点点。确确定定凹凹凸凸在在各各子子区区间间上上的的符符号号以以确确定定)()3(xf 。两两步步可可用用列列表表方方式式完完成成、)3()2(例例2 2.14334凹、凸的区间凹、凸的区间的拐点及的拐点及求曲线求曲线 xxy解解(,)定义域,121223xxy ).32(36 xxy,0 y令令.32,021 xx得得x)0,(),32()32,0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点)1,0()271
34、1,32(,02/3 0,2/3(0,1),(2/311/27 此函数在及，+上是凹的、在上是凸的，拐点为,)。第五节第五节 函数的极值与函数的极值与 最大值最小值最大值最小值 由单调性的判定法则，结合函数的图形可知，由单调性的判定法则，结合函数的图形可知，曲线在升、降转折点处形成曲线在升、降转折点处形成“峰峰”、“谷谷”，函，函数在这些点处的函数值大于或小于两侧附近各点数在这些点处的函数值大于或小于两侧附近各点处的函数值。函数的这种性态以及这种点，无论处的函数值。函数的这种性态以及这种点，无论在理论上还是在实际应用上都具有重要的意义，在理论上还是在实际应用上都具有重要的意义，值得我们作一般性
35、的讨论。值得我们作一般性的讨论。一、函数极值的定义一、函数极值的定义oxyab)(xfy 1x2x4x5x6xoxyoxy0 x0 x 设函数设函数f(x)在区间在区间(a,b)内有定义，内有定义，x0(a,b)x1x2x3x4x5x6x7xyOab y=f(x)f(a)和和 f(b)是否为极值？是否为极值？x U(x0)，有有f(x)f(x0)，则称则称f(x0)是函数是函数f(x)的一的一。如果如果 U(x0)，个极小值；函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数个极小值；函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点取得极值的点称为极值点极值的定义：极值的定义：取得
36、极值的必要条件：取得极值的必要条件：观察极值与切线的关系：观察极值与切线的关系：在极值点处，如果函数曲线有切线，则切线是水平的在极值点处，如果函数曲线有切线，则切线是水平的xyOabx1x2x3x4x5x6x7 y=f(x)定理定理1（必要条件）（必要条件）设函数设函数f(x)在点在点x0处可导，且在处可导，且在x0处取得处取得极值，那么极值，那么f (x0)0驻点：驻点：使导数为零的点使导数为零的点(即方程即方程f (x)0的实根的实根)叫函数叫函数f(x)的驻的驻点点应注意的问题：应注意的问题：可导函数可导函数f(x)的极值点必定是函数的驻点但反过来，函数的极值点必定是函数的驻点但反过来，
37、函数f(x)的驻点却不一定是极值点的驻点却不一定是极值点观察函数观察函数f(x)x在在x 0 0处的导数与极值情况处的导数与极值情况xyOy=x3在在 x=0处，处，f (0)0.但函数在但函数在x=0无极值无极值 定理定理2（第一充分条件）（第一充分条件）设函数设函数f(x)在点在点x0的一个邻域内连的一个邻域内连续，在续，在x0的左右邻域内可导的左右邻域内可导 (1)如果在如果在x0的某一左邻域内的某一左邻域内f (x)0，在在x0的某一右邻域内的某一右邻域内 f (x)0，那么函数那么函数f(x)在在x0处取得极大值；处取得极大值；(2)如果在如果在x0的某一左邻域内的某一左邻域内f (
38、x)0，那么函数那么函数f(x)在在x0处取得极小值；处取得极小值；(3)如果在如果在x0的左右邻域内的左右邻域内f (x)不改变符号，那么函数不改变符号，那么函数f(x)在在 x0处没有极值处没有极值取得极值的第一充分条件：取得极值的第一充分条件：取得极值的第一充分条件的几何意义：取得极值的第一充分条件的几何意义：x1x2x3x4x5x6x7xyOab y=f(x)f (x)0 f (x)0 f (x)0在极小值点附近在极小值点附近在极大值点附近在极大值点附近例例1 1 求函数求函数f(x)1(x 2)2/3的极值的极值 解解 (1)当当x 2时，时，(2)函数无驻点，函数无驻点，x 2是不
39、可导点；是不可导点；(3)列表判断：列表判断：x f (x)f(x)，222 222，不存在不存在1极大值极大值函数函数f(x)在在x 2取得极大值，极大值为取得极大值，极大值为f(2)1 f(x)3232x；确定极值点和极值的步骤：确定极值点和极值的步骤：(1)求出导数求出导数f (x)；(2)求出求出f(x)的全部驻点和不可导点；的全部驻点和不可导点；(3)列表判断（考察列表判断（考察f (x)的符号在每个驻点和不的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况，以便确定该点是否是极可导点的左右邻近的情况，以便确定该点是否是极值点，如果是极值点，还要按定理值点，如果是极值点，还要按定理 2 确定
40、对应的函确定对应的函数值是极大值还是极小值）；数值是极大值还是极小值）；(4)确定出函数的所有极值点和极值确定出函数的所有极值点和极值 函数函数f(x)的极大值为的极大值为f(1)10，极小值为极小值为f(3)22 例例2 2 求函数求函数f(x)x 3 3x 2 9x 5的极值的极值 解解 (1)f (x)3x 2 6x 9 3(x 1)(x 3)(2)令令3(x 1)(x 3)0，得驻点得驻点x 11，x 2 3 (3)列表判断：列表判断：(3,)22(,1)1(1,3)3 f (x)00 f(x)10极大极大极小极小x应注意的问题：应注意的问题：如果函数如果函数f(x)在驻点在驻点x 0
41、处的二阶导数处的二阶导数f (x 0)0，那么点那么点x 0一定是极值点，并且可以按二阶导数一定是极值点，并且可以按二阶导数f (x 0)的符来判定的符来判定f(x 0)是是极大值还是极小值但如果极大值还是极小值但如果f (x 0)0，定理定理3就不能应用就不能应用 定理定理2(第二充分条件第二充分条件)设函数设函数f(x)在点在点x 0处具有二阶导数处具有二阶导数且且f (x 0)0，f (x 0)0，那么那么 (1)当当f (x 0)0时，函数时，函数f(x)在在x 0处取得极小值处取得极小值讨论讨论：函数：函数 f 1(x)x 4，f 2(x)x 3在点在点x 0是否有极值？是否有极值？
42、f 1(x)4x 3，f 1(0)0，f 1(x)12x 2，f 1(0)0当当x0时，时，f 1(x)0时，时，f 1(x)0 f 1(0)为极小值为极小值 f 2(x)3x 2，f 2(0)0，f 2(x)6x，f 2(0)0 f 2(x)0，f 2(0)不是极值不是极值 1012112xy101x1234y (2)令令f (x)0，求得驻点求得驻点x 11，x 2 0，x 3 1 (3)f (x)6(x 2 1)(5x 2 1)(4)因因f (0)60，所以所以x 0为为极小值点，极小值为极小值点，极小值为 f(0)0 (5)因因f (1)f (1)0，用定用定理理 3 无法判别无法判别
43、 例例3 3 求函数求函数f(x)(x 2 1)3 1的极值的极值 解法一解法一(1)f (x)6x(x 2 1)2同理，同理，f(x)在在1处也没有极值处也没有极值 因为在因为在 1的左右邻域内的左右邻域内f (x)0，所以所以f(x)在在 1处没有极值；处没有极值；2101x12y f(x)(x 2 1)3 1 f (x)f(x)(1)f (x)6x(x 2 1)2 (2)令令f (x)0，求得驻点求得驻点x 11，x 2 0，x 3 1 (3)列表判断：列表判断：x，111111，000 000，111 111，0 0+00无极值无极值无极值无极值极小值极小值 f(x)在在x 0处取得极
44、小值，极小值为处取得极小值，极小值为 f(0)0 解法二解法二极值与最值的关系：极值与最值的关系：x1x2x3x4x5xyOab y=f(x)最大值：最大值：f(b)，最小值：最小值：f(x3)观察：观察：x1x2x3x4x5xyOab y=f(x)最大值：最大值：f(x4)，最小值：最小值：f(x3)观察：观察：设函数设函数f(x)在闭区间在闭区间a，b上连续，则函数的最大值和最小上连续，则函数的最大值和最小值一定存在函数的最大值和最小值有可能在区间的端点取得，值一定存在函数的最大值和最小值有可能在区间的端点取得，如果最大值不在区间的端点取得，则必在开区间如果最大值不在区间的端点取得，则必在
45、开区间(a，b)内取得，内取得，在这种情况下，最大值一定是函数的极大值因此，函数在闭区在这种情况下，最大值一定是函数的极大值因此，函数在闭区间间a，b上的最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点上的最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中最大者同理，函数在闭区间的函数值中最大者同理，函数在闭区间a，b上的最小值一定上的最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中最小者是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中最小者极值与最值的关系：极值与最值的关系：设设f(x)在在(a，b)内的驻点和不可导点内的驻点和不可导点(它们是可能的极值点它们是可能的极值点)为为x1，x2
46、，xn，则比较则比较f(a)，f(x 1)，f(x 2)，f(x n)，f(b)的大小，其中最大的便是函数的大小，其中最大的便是函数f(x)在在a，b上的最大值，最小的上的最大值，最小的便是函数便是函数f(x)在在a，b上的最小值上的最小值 求最大值和最小值的步骤：求最大值和最小值的步骤：(1)求出求出f(x)在在(a，b)内的所有驻点和不可导点；内的所有驻点和不可导点；(2)求出函数在上述点处和区间端点处的函数值；求出函数在上述点处和区间端点处的函数值；(3)比较上述函数值，找出最大的和最小的比较上述函数值，找出最大的和最小的最大值和最小值的求法：最大值和最小值的求法：例例4 求函数求函数y
47、 2x3 3x2 12x 14在在 3,4上的最大值与最小值上的最大值与最小值 解解 f(x)2x 3 3x 2 12x 14，f (x)6x 2 6x 12 6(x 2)(x 1)，解方程解方程f (x)0，得得 x12，x2 1，由于由于 f(3)2(3)3 3(3)2 12(3)14 23；f(2)2(2)3 3(2)2 12(2)14 34；f(1)2 3 12 14 7；f(4)24 3 34 2 124 14 142，比较可得比较可得f(x)在在 x 4取得它在取得它在 3，4上的最大值上的最大值f(4)142,在在x 1取得它在取得它在 3，4上的最小值上的最小值f(1)7 例例
48、5 铁路线上铁路线上AB段的距离为段的距离为100km工厂工厂C距距A处为处为20km，AC垂直于垂直于AB为了运输需要，要在为了运输需要，要在AB线上选定一点线上选定一点D向工厂向工厂修筑一条公路已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货修筑一条公路已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比运的运费之比3:5为了使货物从供应站为了使货物从供应站B运到工厂运到工厂C的运费最的运费最省，问省，问D点应选在何处？点应选在何处？100kmDABC20km最大值和最小值的应用：最大值和最小值的应用：解解 设设AD x(km)，则则 DB 100 x，100kmDABC20kmCD2220 x2
49、400 x 设从设从B点到点到C点需要的总运费为点需要的总运费为y，那么那么y 5kCD 3kDB(k是正数是正数)，即即 y5k2400 x3k(100 x)(0 x100)先求先求y对对x的导数：的导数：y k340052xx，解方程解方程y 0，得得x 15由于 y|x0400k，y|x15380k，y|x100500k2511，其中以其中以y|x 15 380k为最小，因此当为最小，因此当AD x 15km时，总运费为最省时，总运费为最省 解解 设设AD x(km)，则则 DB 100 x，CD2220 x2400 x 设从设从B点到点到C点需要的总运费为点需要的总运费为y，那么那么y
50、 5kCD 3kDB(k是某个正数是某个正数)，即即 y5k2400 x3k(100 x)(0 x100)如果如果f(x)在一个区间在一个区间(有限或无限，开或闭有限或无限，开或闭)内可导且只有一个内可导且只有一个驻点驻点x0，并且这个驻点并且这个驻点x0是函数是函数f(x)的极值点，那么，当的极值点，那么，当f(x0)是极是极大值时，大值时，f(x0)就是就是f(x)在该区间上的最大值；当在该区间上的最大值；当f(x0)是极小值时，是极小值时，f(x0)就是就是f(x)在该区间上的最小值在该区间上的最小值特殊情况下的最大值与最小值：特殊情况下的最大值与最小值：f(x0)Oa x0 b x y
