1、14.1坐标系与参数方程第1课时坐标系基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习基础知识自主学习设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：_的作用下，点P(x，y)对应到点P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.1.平面直角坐标系平面直角坐标系知识梳理2.极坐标系极坐标系(1)极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.点O称为极点，射线Ox称为极轴.平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度和从射线Ox到射线OM的角度来刻画(如图
2、所示).这两个数组成的有序数对(，)称为点M的极坐标.称为点M的 ，称为点M的 .一般认为0.当极角的取值范围是0,2)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(，)(0)建立一一对应的关系.我们设定，极点的极坐标中，极径0，极角可取任意角.极径极角(2)极坐标与直角坐标的互化设M为平面内的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(，).由图可知下面关系式成立：这就是极坐标与直角坐标的互化公式.3.常见曲线的极坐标方程常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆_圆心为(r,0)，半径为r的圆_圆心为(r，)，半径为r的圆_r(02)2rcos()2rsin(0)过极点，倾斜角为
3、的直线(R)或(R)过点(a,0)，与极轴垂直的直线_过点(a，)，与极轴平行的直线_sin a(0)1.(2016北京西城区模拟)求在极坐标系中，过点(2，)且与极轴平行的直线方程.考点自测解答过点(0,2)且与x轴平行的直线方程为y2.即为sin 2.解答3.在以O为极点的极坐标系中，圆4sin 和直线sin a相交于A，B两点.当AOB是等边三角形时，求a的值.解答由4sin 可得x2y24y，即x2(y2)24.由sin a可得ya.设圆的圆心为O，ya与x2(y2)24的两交点A，B与O构成等边三角形，如图所示.由对称性知OOB30，ODa.题型分类深度剖析题型分类深度剖析题型一极坐
4、标与直角坐标的互化题型一极坐标与直角坐标的互化例例1(1)以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求线段y1x(0 x1)的极坐标方程.解答y1x化成极坐标方程为cos sin 1，0 x1，线段在第一象限内(含端点)，(2)在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为sin2cos 和sin 1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C1和C2交点的直角坐标.解答因为xcos，ysin，由sin2cos，得2sin2cos，所以曲线C1的直角坐标方程为y2x.由sin 1，得曲线C2的直角坐标方程为y1.思维升华(1)极坐标与直角坐标互化
5、的前提条件：极点与原点重合；极轴与x轴的正半轴重合；取相同的单位长度.(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式xcos 及ysin 直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如cos，sin，2的形式，进行整体代换.跟踪训练跟踪训练1(1)曲线C的直角坐标方程为x2y22x0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程.解答将x2y22，xcos 代入x2y22x0，得22cos 0，整理得2cos.(2)求在极坐标系中，圆2cos 垂直于极轴的两条切线方程.解答由2cos，得22cos，化为直角坐标方程为
6、x2y22x0，即(x1)2y21，其垂直于x轴的两条切线方程为x0和x2，题型二求曲线的极坐标方程题型二求曲线的极坐标方程例例2将圆x2y21上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出曲线C的方程；解答设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，(2)设直线l：2xy20与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.解答化为极坐标方程，并整理得2cos 4sin 3，思维升华求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的极坐标系，设P(，)是曲线上任意一点；(2)由曲线
7、上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径和极角之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程.跟踪训练跟踪训练2在极坐标系中，已知圆C经过点P()，圆心为直线 与极轴的交点，求圆C的极坐标方程.解答令0，得1，所以圆C的圆心坐标为(1,0).如图所示，因为圆C经过点于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为2cos.题型三极坐标方程的应用题型三极坐标方程的应用例例3(2015课标全国)在直角坐标系xOy中，直线C1：x2，圆C2：(x1)2(y2)21，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1，C2的极坐标方程；解答因为xcos，ysin，所以C1
8、的极坐标方程为cos 2，C2的极坐标方程为22cos 4sin 40.由于C2的半径为1，所以C2MN为等腰直角三角形，解答思维升华(1)已知极坐标系方程讨论位置关系时，可以先化为直角坐标方程；(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性.跟踪训练跟踪训练3(2017广州调研)在极坐标系中，求直线sin()2被圆4截得的弦长.解答课时作业课时作业解答123456789102.在极坐标系(，)(02)中，求曲线(cos sin)1与(sin cos)1的交点的极坐标.解答曲线(cos sin)1化为直角坐标方程为xy1，(sin cos)1化为直角坐标方程为yx1.12
9、3456789103.在极坐标系中，已知圆3cos 与直线2cos 4sin a0相切，求实数a的值.解答圆3cos 的直角坐标方程为x2y23x，直线2cos 4sin a0的直角坐标方程为2x4ya0.12345678910以极点为坐标原点，极轴为x轴建立直角坐标系，则曲线2cos 的直角坐标方程为(x1)2y21，且圆心为(1,0).因为圆心(1,0)关于yx的对称点为(0,1)，所以圆(x1)2y21关于yx的对称曲线为x2(y1)21.解答12345678910解答12345678910对曲线C1的极坐标方程进行转化：12sin，212sin，x2y212y0，即x2(y6)236.
10、对曲线C2的极坐标方程进行转化：12345678910解答OA4，OB5，123456789107.已知P(5，)，O为极点，求使POP为正三角形的点P的坐标.解答设P点的极坐标为(，).POP为正三角形，如图所示，123456789108.在极坐标系中，判断直线cos sin 10与圆2sin 的位置关系.直线cos sin 10可化成xy10，圆2sin 可化为x2y22y，即x2(y1)21.解答故直线与圆相交.12345678910解答(1)将M、N、P三点的极坐标化为直角坐标；12345678910解答(2)判断M、N、P三点是否在一条直线上.kMNkNP，M、N、P三点在一条直线上.12345678910(1)写出C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标；解答12345678910当0时，2，所以M(2,0).12345678910(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程.解答M点的直角坐标为(2,0).12345678910
