1、 创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验第第8讲与三角函数有关的应用题讲与三角函数有关的应用题考试要求1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题(B级要求)；2.掌握三角函数模型的应用，会运用三角函数知识解决实际中的优化问题.创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验知 识 梳 理1.解三角函数模型应用问题的一般步骤是：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图.(2)建模：根据已知条件与求解目标，建立数学模型.(3)求解：利用三角形，求得数学模型的解.(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.2.在建立三角函数模型求解与
2、实际生活有关的优化问题时，常以三角函数的定义、图象与性质、三角恒等变换以及正余弦定理等知识为载体，以不等式、导数为工具进行求解，但结果要符合实际意义.创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验1.某人的血压满足函数关系式f(t)24sin 160t110，其中，f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数是_.诊 断 自 测答案80 创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验 创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验 创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验解(1)设OPQ，在RtOAQ中，OA3，创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验因为为锐角，所以cos 0，创新设计创新设计考点聚焦突破
3、知识衍化体验 创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验所以当0时，f()最大，即tan OPQ最大，当(0，0)时，f()0，f()单调递增；创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验考点一三角函数在物理中的应用(1)作出函数的图象；(2)当单摆开始摆动(t0)时，离开平衡位置的距离是多少？(3)当单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？(4)单摆来回摆动一次需多长时间？创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验解(1)利用“五点法”可作出其图象(列表略).(3)离开平衡位置6 cm.所以单摆来回摆动一次所需的时间为1 s.创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验规律方法三角函数模型在物理中
4、的应用主要体现在简谐运动中，其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多，尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法.创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验(1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间.创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验考点二三角函数在实际生活中的应用角度1以三角函数定义为载体的三角问题【例21】如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m，且60 s转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动角到OB，设B点与地面间的距离为h.创新设计创新设计考点聚焦突
5、破知识衍化体验(1)求h与间关系的函数解析式；(2)设从OA开始转动，经过t s后到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？解(1)以圆心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系.创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验答：缆车到达最高点时，用的最少时间为30 s.到达最高点时，h10.4 m.创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验角度2以三角函数图象与性质为载体的三角问题【例22】海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落潮时返回海洋，下面是某港口在某季节每天的时间与
6、水深的关系表：时刻水深(米)时刻水深(米)时刻水深(米)0：005.09：002.518：005.03：007.512：005.021：002.56：005.015：007.524：005.0 创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出整点时的水深的近似数值(精确到0.001).(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离)，该船何时能进入港口？在港口能呆多久？(3)若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少
7、，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验解(1)以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图，根据图象，可以考虑用函数yAsin(x)h来刻画水深与时间之间的对应关系.从数据和图象可以得出：创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值：时刻0：001：002：003：004：005：006：007：008：009：00 10：00 11：00水深5.0006.2507.1657.57.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754时刻 12：00 13：00 14：
8、00 15：00 16：00 17：00 18：00 19：00 20：00 21：00 22：00 23：00水深5.0006.2507.1657.57.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754 创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验(2)货船需要的安全水深为41.55.5(米)，所以y5.5时就可以进港.解得xA0.384 8，xB5.615 2.创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验因为x0，24，所以有函数周期性易得xC120.384 812.384 8xD125.615 217.615 2.因此，货船可以在凌晨零时30分左右进港，早晨5时30分
9、左右出港；或在中午12时30分左右进港，下午17时30分左右出港，每次可以在港口停留5小时左右.(3)设在时刻x船舶的安全水深为y，那么y5.50.3(x2)(x2)，在同一坐标系内作出这两个函数的图象，可以看到在6时到7时之间两个函数图象有一个交点.创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验通过计算可得在6时的水深约为5米，此时船舶的安全水深约为4.3米；6.5时的水深约为4.2米，此时船舶的安全水深约为4.1米；7时的水深约为3.8米，而船舶的安全水深约为4米，因此为了安全，船舶最好在6时30分之前停止卸货，将船舶驶向较深的水域.创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验角度3以三角恒等变换为
10、载体的三角问题 创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验(1)试用表示BD的长；(2)试确定点E的位置，使两条栈道长度之和最大.解(1)连接DC.创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验且BF4cos2，所以DEAF44cos2，所以当E与C重合时，两条栈道长度之和最大.创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验角度4以解三角形为载体的三角问题 创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验(1)将三条船PO，PA，PB的长度之和表示为的函数f()，并写出此函数的定义域；(2)试确定的值，使得f()最小.创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验 创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验列表如下：创新设
11、计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验规律方法解三角函数应用问题的基本步骤 创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验【训练2】(2018江苏卷)某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN(P为此圆弧的中点)和线段MN构成.已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚内的地块形状为矩形ABCD，大棚内的地块形状为CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上.设OC与MN所成的角为.创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验(1)用分别表示矩形ABCD和CDP的面积，并确定sin 的取值范围；(2)若大棚内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜
12、，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43，求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.解(1)设PO的延长线交MN于H，则PHMN，所以OH10.过O作OEBC于E，则OEMN，所以COE，故OE40cos，EC40sin，创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验则矩形ABCD的面积为240cos(40sin 10)800(4sin cos cos)，过N作GNMN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GKKN10.创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43，故设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k(k0)，f()cos2sin2 sin(2sin2sin 1)(2sin 1)(sin 1).创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验
