1、第第4 4讲用数学归纳法证明数列问题讲用数学归纳法证明数列问题核心整合核心整合数学归纳法的步骤数学归纳法的步骤(1)(1)证明当证明当n n取第一个值取第一个值n n0 0时时,命题成立命题成立;(2)(2)假设当假设当n=k(kn=k(kN N*,kn,kn0 0)时时,命题成立命题成立,证明当证明当n=k+1n=k+1时时,命题也成立命题也成立;据据(1)(2)(1)(2)知知,当当nnnn0 0(n(nN N*)时时,命题成立命题成立.【归纳拓展归纳拓展】第一步是基础第一步是基础,不可缺少不可缺少.第二步是灵魂第二步是灵魂,递推思想是实现有限到无限的桥梁递推思想是实现有限到无限的桥梁.核
2、心突破核心突破考点一考点一 整数整数(整式整式)整除问题整除问题【例例1 1】用数学归纳法证明用数学归纳法证明:当当n n为正偶数时为正偶数时,x,xn n-y-yn n能被能被x+yx+y整除整除.证明证明:(1)(1)当当n=2n=2时时,x,xn n-y-yn n=(x+y)(x-y)=(x+y)(x-y)能被能被x+yx+y整除整除,故命题成立故命题成立;(2)(2)假设当假设当n=2kn=2k时时,命题成立命题成立,即即x x2k2k-y-y2k2k能被能被x+yx+y整除整除,则当则当n=2k+2n=2k+2时时,有有x x2k+22k+2-y-y2k+22k+2=x=x2 2x
3、x2k2k-y-y2 2y y2k2k=x=x2 2(x(x2k2k-y-y2k2k)+y)+y2k2k(x(x2 2-y-y2 2)=x=x2 2(x(x2k2k-y-y2k2k)+y)+y2k2k(x+y)(x-y).(x+y)(x-y).因为因为x x2 2(x(x2k2k-y-y2k2k),y),y2k2k(x+y)(x-y)(x+y)(x-y)都能被都能被x+yx+y整除整除,故故x x2k+22k+2-y-y2k+22k+2能被能被x+yx+y整除整除,即当即当n=2k+2n=2k+2时命题成立时命题成立.由由(1),(2)(1),(2)知原命题对一切正偶数均成立知原命题对一切正偶
4、数均成立.方法技巧方法技巧与正整数与正整数n n有关的整除问题有关的整除问题,n=k+1,n=k+1的证明过程中应首先考虑拼凑出的证明过程中应首先考虑拼凑出“归纳假归纳假设设”,然后再想办法证明剩余部分然后再想办法证明剩余部分.【题组训练题组训练】1.1.用数学归纳法证明用数学归纳法证明6 6n n-1(n-1(nN N*)能被能被5 5整除整除.证明证明:(1)n=1(1)n=1时时,6-1,6-1能被能被5 5整除整除;(2)(2)假设假设n=kn=k时成立时成立,即即6 6k k-1-1能被能被5 5整除整除,当当n=k+1n=k+1时时,6,6k+1k+1-1=(6-1=(6k k-1
5、)6+5-1)6+5能被能被5 5整除整除,所以所以6 6n n-1(n-1(nN N*)能被能被5 5 整除整除.由由(1),(2)(1),(2)知原命题得证知原命题得证.2.2.用数学归纳法证明用数学归纳法证明:a:an+1n+1+(a+1)+(a+1)2n-12n-1能被能被a a2 2+a+1+a+1整除整除(其中其中n,an,a为正整数为正整数).).证明证明:(1)(1)当当n=1n=1时时,a,a2 2+a+1+a+1能被能被a a2 2+a+1+a+1整除整除,成立成立;(2)(2)当当n=kn=k时时,假设假设a ak+1k+1+(a+1)+(a+1)2k-12k-1能被能被
6、a a2 2+a+1+a+1整除整除,当当n=k+1n=k+1时时,a,ak+2k+2+(a+1)+(a+1)2k+12k+1=(a+1)=(a+1)2 2aak+1k+1+(a+1)+(a+1)2k-12k-1+a+ak+2k+2-a ak+1k+1(a+1)(a+1)2 2=(a+1)=(a+1)2 2aak+1k+1+(a+1)+(a+1)2k-12k-1-a-ak+1k+1(a(a2 2+a+1)+a+1)能被能被a a2 2+a+1+a+1整除整除.由由(1),(2)(1),(2)知原命题得证知原命题得证.考点二考点二证明几何问题证明几何问题【例例2 2】已知已知n n个圆中每两个圆
7、相交于两点个圆中每两个圆相交于两点,且无三圆过同一点且无三圆过同一点,用数学归纳法证明用数学归纳法证明:这这n n个圆将平面划分成个圆将平面划分成n n2 2-n+2-n+2块区域块区域.证明证明:(1)(1)当当n=1n=1时时,1,1个圆将平面分成个圆将平面分成2 2块区域块区域,而而2=12=12 2-1+2,-1+2,所以当所以当n=1n=1时命题成立时命题成立;(2)(2)假设假设n=kn=k时命题成立时命题成立,即满足条件的即满足条件的k k个圆将平面划分成个圆将平面划分成k k2 2-k+2-k+2块区域块区域,所以当所以当n=k+1n=k+1时时,平面上增加了第平面上增加了第k
8、+1k+1个圆个圆,它与原来的它与原来的k k个圆的每一个圆都相交于两个圆的每一个圆都相交于两个不同点个不同点,共共2k2k个交点个交点.而这而这2k2k个点将第个点将第k+1k+1个圆分成个圆分成2k2k段弧段弧,每段弧将原来的一块每段弧将原来的一块区域隔成了两块区域区域隔成了两块区域,所以区域的块数增加了所以区域的块数增加了2k,2k,所以所以k+1k+1个圆将平面划分成的块数为个圆将平面划分成的块数为(k(k2 2-k+2)+2k=k-k+2)+2k=k2 2+k+2=(k+1)+k+2=(k+1)2 2-(k+1)+2,-(k+1)+2,所以所以n=k+1n=k+1时命题也成立时命题也
9、成立,根据根据(1)(2)(1)(2)知命题对知命题对nnN N*都成立都成立.方法技巧方法技巧用数学归纳法证明几何问题的关键是利用几何特性发现从用数学归纳法证明几何问题的关键是利用几何特性发现从k k到到k+1k+1发生的发生的 变化变化.【题组训练题组训练】1.1.证明证明:凸凸n(n3)n(n3)边形内角和为边形内角和为(n-2)(n-2)180180.证明证明:(1)n=3(1)n=3时时,三角形内角和为三角形内角和为(3-2)(3-2)180180=180=180成立成立;(2)(2)假设假设k(k3)k(k3)边形内角和为边形内角和为(k-2)(k-2)180180,则则k+1k+
10、1边形边形,连接间隔一点的连接间隔一点的两点两点,把把k+1k+1边形分为一个边形分为一个k k边形和一个三角形边形和一个三角形,所以内角和为所以内角和为(k-2)(k-2)180180+180+180=(k+1)-2=(k+1)-2180180.综上综上,凸凸n(n3)n(n3)边形内角和为边形内角和为(n-2)(n-2)180180.证明证明:(1)(1)两点构成一条线段两点构成一条线段;考点三考点三证明等式问题证明等式问题方法技巧方法技巧用数学归纳法证明用数学归纳法证明,关键是第二步关键是第二步,要注意当要注意当n=k+1n=k+1时时,等式两边的式子与等式两边的式子与n=kn=k时等式
11、两边的式子的联系时等式两边的式子的联系,增加了哪些项增加了哪些项,减少了哪些项减少了哪些项,问题就会顺利解决问题就会顺利解决.证明证明:(1)(1)当当n=1,n=1,左边左边=1,=1,右边右边=1,=1,成立成立;考点四考点四用数学归纳法求通项用数学归纳法求通项【例例4 4】在数列在数列aan n 与与bbn n 中中,a,a1 1=1,b=1,b1 1=4,=4,数列数列aan n 的前的前n n项和项和S Sn n满足满足nSnSn+1n+1-(n+3)S(n+3)Sn n=0,2a=0,2an+1n+1为为b bn n与与b bn+1n+1的等比中项的等比中项,n,nN N*.(1)
12、(1)求求a a2 2,b,b2 2的值的值;(2)(2)求数列求数列aan n 与与bbn n 的通项公式的通项公式.方法技巧方法技巧利用数学归纳法求通项公式既降低了直接求通项的难度又弥补了猜想的利用数学归纳法求通项公式既降低了直接求通项的难度又弥补了猜想的 不足不足.【题组训练题组训练】1.1.在数列在数列aan n 中中,a,a1 1=2,a=2,an+1n+1=a=an n+n+1n+1+(2-)2+(2-)2n n,(n,(nN N*,0),0)(1)(1)求求a a2 2,a,a3 3,a,a4 4;解解:(1)a(1)a2 2=2+=2+2 2+2(2-)=+2(2-)=2 2+
13、4,+4,a a3 3=(=(2 2+4)+4)+3 3+(2-)2+(2-)22 2=2=23 3+8,+8,a a4 4=(2=(23 3+8)+8)+4 4+(2-)2+(2-)23 3=3=34 4+16.+16.(2)(2)猜想猜想aan n 的通项公式的通项公式,并加以证明并加以证明.解解:(2)(2)由由(1)(1)可猜想数列通项公式为可猜想数列通项公式为a an n=(n-1)=(n-1)n n+2+2n n,下面用数学归纳法证明下面用数学归纳法证明:当当n=1,2,3,4n=1,2,3,4时时,等式显然成立等式显然成立,假设当假设当n=k(k4)n=k(k4)时等式成立时等式
14、成立,即即a ak k=(k-1)=(k-1)k k+2+2k k,那么当那么当n=k+1n=k+1时时,a,ak+1k+1=a=ak k+k+1k+1+(2-)2+(2-)2k k=(k-1)=(k-1)k k+2+2k k+k+1k+1+2+2k+1k+1-2-2k k=(k-1)(k-1)k+1k+1+k+1k+1+2+2k+1k+1=(k+1)-1=(k+1)-1k+1k+1+2+2k+1k+1,所以当所以当n=k+1n=k+1时时,猜想成立猜想成立,由知数列的通项公式为由知数列的通项公式为a an n=(n-1)=(n-1)n n+2+2n n.2.2.在数列在数列aan n,b,b
15、n n 中中,a,a1 1=2,b=2,b1 1=4,=4,且且a an n,b,bn n,a,an+1n+1成等差数列成等差数列,b,bn n,a,an+1n+1,b,bn+1n+1成等比成等比数列数列(n(nN N*).).(1)(1)求求a a2 2,a,a3 3,a,a4 4及及b b2 2,b,b3 3,b,b4 4,由此猜测由此猜测aan n,b,bn n 的通项公式的通项公式,并证明你的结论并证明你的结论;考点五考点五用数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明不等式(2)x(2)xn nxxn+1n+1;方法技巧方法技巧利用数学归纳法和函数关系式通常能证明数学单调性、有界性等性质利用
16、数学归纳法和函数关系式通常能证明数学单调性、有界性等性质.3.3.已知函数已知函数f(x)=x-sin x,f(x)=x-sin x,数列数列aan n 满足满足:0a:0a1 11,a1,an+1n+1=f(a=f(an n),n=1,2,3,),n=1,2,3,.证明证明:(1)0a:(1)0an+1n+1aan n1;1;证明证明:(1)(1)先用数学归纳法证明先用数学归纳法证明0a0an n1,n=1,2,3,1,n=1,2,3,.当当n=1n=1时时,由已知显然结论成立由已知显然结论成立.假设当假设当n=kn=k时结论成立时结论成立,即即0a0ak k1.1.因为因为0 x10 x0
17、,f(x)=1-cos x0,所以所以f(x)f(x)在在(0,1)(0,1)上是增函数上是增函数.又又f(x)f(x)在在(0,1)(0,1)上连续上连续,从而从而f(0)f(af(0)f(ak k)f(1),)f(1),即即0a0ak+1k+11-sin 11.1-sin 11.故故n=k+1n=k+1时时,结论成立结论成立.由可知由可知,0a,0an n11对一切正整数都成立对一切正整数都成立.又因为又因为0a0an n11时时,a an+1n+1-a-an n=a=an n-sin a-sin an n-a-an n=-sin a=-sin an n0,0,所以所以a an+1n+1aan n,综上所述综上所述,0a,0an+1n+1aan n1.1.阅卷评析阅卷评析数列通项公式猜想与证明数列通项公式猜想与证明【典例典例】(14(14分分)设数列设数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,且方程且方程x x2 2-a-an nx-ax-an n=0=0有一根为有一根为S Sn n-1,n=1,2,3,1,n=1,2,3,.(1)(1)求求a a1 1,a,a2 2;(2)(2)求求aan n 的通项公式的通项公式.
