1、第四章2.2最大值、最小值问题第2课时函数最值的应用学习目标XUEXIMUBIAO1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.会利用导数解决不等式问题及恒成立问题.NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测1自主学习PART ONE知识点一生活中的优化问题1.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为 .2.利用导数解决优化问题的实质是求函数最值.3.解决优化问题的基本思路：上述解决优化问题的过程是一个典型的 过程.优化问题数学建模知识点二导数在不等式问题中的应用利用导数证明不等式及解决不等式恒成立问题的基本思路是转化为函数的最值问题加以解决.1.用导数解
2、决实际问题的关键是建立函数模型.()2.恒成立问题可以转化成函数的最值问题.()3.用导数证明不等式可以通过构造函数，转化为函数大于等于0或小于等于0.()思考辨析 判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWUSIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU2题型探究PART TWO题型一几何中的最值问题例1如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？解设广告的高和宽分别为x
3、 cm，y cm，其中x20，y25.令S0，得x140，令S0，得20 x140.函数在(140，)上是增加的，在(20,140)上是减少的，S(x)的最小值为S(140).当x140时，y175.即当x140，y175时，S取得最小值24 500，故当广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小.反思感悟平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值.跟踪训练1把边长为a的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的正三角形铁皮箱，当箱底边
4、长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？解设箱底边长为x，令V(x)0，这个极大值就是函数V(x)的最大值，命题角度1利润最大问题例2某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y 10(x6)2，其中3x6，a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.(1)求a的值；题型二实际生活中的最值问题多维探究多维探究所以a2.(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.解由(1)可知，该商品每日的销售量所以商场每日销售该商品所获得的利润210(x3)(x6)2,3x6.
5、从而f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6).于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)极大值42由上表可得，x4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点.所以当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值为42.答当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.反思感悟解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有：(1)利润收入成本.(2)利润每件产品的利润销售件数.命题角度2用料(费用)最省问题例3为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋
6、顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6 万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)(0 x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8 万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式；设建造费用为C1(x)，则C1(x)6x.(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值.当0 x5时，f(x)0，f(x)为减函数；当50，f(x)为增函数.故x5是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，故当隔热层修建厚度为5 cm时，总费用f(x)达到
7、最小，最小值为70 万元.反思感悟费用、用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答.题型三与最值有关的恒成立问题例4已知函数f(x)x3ax2bxc在x 与x1处都取得极值.(1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间.解由f(x)x3ax2bxc，得f(x)3x22axb，所以f(x)3x2x2(3x2)(x1)，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：(2)若对任意x1,2，不等式f(x)c2恒成立，求c的取值范围.因为f(2)2c，所以f(2)2c为最大值.要使f(x)f(2)2c，解得
8、c2.故c的取值范围为(，1)(2，).反思感悟解决恒成立问题，常用方法是转化为求函数的最值问题，通过分离参数，要使mf(x)恒成立，只需mf(x)的最大值即可，同理，要使mf(x)恒成立，只需m1时，g(x)0，故g(x)在(1，)上是增加的，所以g(x)的最小值是g(1)1.因此ag(x)ming(1)1，故a的取值范围为(，1.典例已知A，B两地相距200 千米，一艘船从A地逆水而行到B地，水速为8 千米/时，船在静水中的速度为v 千米/时(80)，则y1kv2.当v12时，y1720，720k122，得k5.设全程燃料费为y元，由题意，令y0，解得v16.若v016，当v(8,16)时
9、，y0，y为增函数.故当v16时，y取得极小值，也是最小值，此时全程燃料费最省.若v016，当v(8，v0时，y0，y在(8，v0上为减函数.故当vv0时，y取得最小值，此时全程燃料费最省.综上可得，若v016，则当v16 千米/时时，全程燃料费最省；若v00，yx281(9x)(9x)，令y0，解得x9，当x(0,9)时，y0，当x(9，)时，y0，当t(8,9)时，y0，故t8时，y取最大值.123453.容积为256的方底无盖水箱，它的高为_时最省材料.解析设水箱高为h，底面边长为a，则a2h256，123454当0a8时，S8时，S0，4.要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方
10、体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_元.12345160当x2时，ymin160(元).123455.函数f(x)x33x1，若对于区间3,2上的任意x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|t，则实数t的最小值是_.解析由f(x)3x230，得x1，则f(x)minf(3)19，f(x)maxf(1)1，由题意知|f(x1)f(x2)|max|191|20，t20，故tmin20.20课堂小结KETANGXIAOJIEKETANGXIAOJIE1.正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解应用题的主要思路.另外需要特别注意(1)合理选择变量，正确给出函数表达式.(2)与实际问题相联系.(3)必要时注意分类讨论思想的应用.2.“恒成立”问题可转化为函数最值问题.
