1、 绝密绝密 启用前启用前 2020 年高考全国 II 卷临考前 10 天最新信息密卷 理理 科科 数数 学学 注意事项：注意事项： 1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自 己的姓名、考生号填写在答题卡上。 2 回答第卷时， 选出每小题的答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。 3回答第卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。 4考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。 第第卷卷（选择题）（选择题） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，分，共共
2、60 分分在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1已知集合 (2)(5) 0Mx xx，2 x Ny y ，则MN （ ） A(0,2 B(0,5 C2,5 D2, ) 【答案】B 【解析】依题意， (2)(5)0 25Mx xxxx ，2 0 x Ny yy y ， 故(0,5MN ，故选 B 2我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理： “幂势既同，则积不容异” 意 思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等现有同高 的三棱锥和圆锥满足祖暅原理的条件，若圆锥的侧面展开图是半径
3、为3的三分之一圆，由此推算三 棱锥的体积为（ ） A 2 2 3 B 4 2 3 C4 2 D 16 3 【答案】A 【解析】由题意可知三棱锥的体积=圆锥的体积， 因为圆锥的侧面展开图恰为一个半径为4的半圆，所以圆锥的底面周长为 2 3 2 3 ， 故圆锥的底面半径为1，圆锥的高为2 2， 所以圆锥的体积 2 12 12 3 2 =2 3 3在矩形ABCD中，6AB ，3AD 若点M是CD的中点，点N是BC的三等分点， 且 1 3 BNBC，则AM MN（ ） A6 B3 C4 D2 【答案】B 【解析】由题意作出图形，如图所示： 由图及题意，可得 1 2 AMADDMADAB， 212121
4、 323232 MNCNCMCBCDBCDCADAB ， 22 12121 () () 23234 AM MNADABADABADAB 21 9363 34 ， 故选 B 4在等差数列 n a中， 1 2a ， 37 28aa，其前n项和26 n a ，则n等于（ ） A7 B8 C9 D10 【答案】C 【解析】 1 2a ， 375 228aaa， 5 14a ， 51 3 4 aa d ， 又 1 (1)23(1)3126 n aandnn ，9n，故选 C 5已知椭圆 22 :1 6439 xy C的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，点P在椭圆C上，若 1 6PF ， 则 12 PF
5、F的余弦值为（ ） A 3 10 B 7 10 C 2 5 D 3 5 【答案】A 【解析】依题意， 1 6PF ， 2 10PF ，而 12 2 643910FF ， 故 222 1122 12 112 36 100 1003 cos 22 6 1010 PFFFPF PFF PFFF ，故选 A 6函数(1)ln| |yxx的图象大致为（ ） A B C D 【答案】C 【解析】由题易知，函数(1)ln|yxx为偶函数，排除 A 选项； 当01x时，ln | 0x ，10x ，所以(1)ln|yxx，排除 B 选项； 当1x 时，(1) lnyxx， 1 ln x yx x ， 所以当1x
6、 时，ln0x ， 1 0 x x ， 所以函数(1)ln|yxx在(1,)上单调递增，排除 D 选项 7已知函数 2 ( )3cos4sinf xxx， 2 (,) 63 x，则( )f x的值域为（ ） A 17 4,) 4 B 17 (4,) 4 C 13 4, 3 D 13 (4, 3 【答案】C 【解析】依题意， 22 ( )3(1 sin)4sin3sin4sin3f xxxxx ， 令 1 sin( ,1 2 tx，由 2 343ytt 的对称轴为 2 3 t ， 则 max 4213 343 933 y ， min 3 1 4 1 34y ， 则( )f x的值域为 13 4,
7、 3 ，故选 C 8三棱锥SABC的各顶点均在球O上，SC为该球的直径，2ACBC，120ACB， 三棱锥SABC的体积为2，则球的半径为（ ） A3 B5 C 5 2 D7 【答案】D 【解析】如下图所示， 因为2ACBC，120ACB， 则ABC的面积为 113 sin2 23 222 AC BCACB ， 设ABC的外接圆为圆E，连接OE，则OE 平面ABC，作圆E的直径CD，连接SD， O、E分别为SC、CD的中点，则SDOE， SD平面ABC，三棱锥SABC的体积 1 32 3 SABC VSD ， 2 3SD ， 因120ACB，则30ABC，由正弦定理得 2 4 sinsin30
8、 AC CD ABC ， 2222 4(2 3)2 7SCCDSD， 设球O的半径为R，则22 7RSC，7R 9函数 2 ( )4(2) ( ) 3 x f xxx的零点个数为（ ） A0 B1 C2 D3 【答案】C 【解析】令( )0f x ，得 2 4(2) ( ) 3 x xx，显然2x不是该方程的根， 故 42 ( ) 23 x x x ， 在同一直角坐标系中分别作出 4 2 x y x ， 2 ( ) 3 x y 的图象如图所示， 观察可知，它们有2个交点，即函数 2 ( )4(2) ( ) 3 x f xxx有2个零点，故选 C 10已知函数( )sin3cosf xxx（0）
9、的对称轴构成一个公差为 2 的等差数列，把函 数( )f x的图像沿x轴向左平移 12 个单位，得到函数( )g x的图像，关于函数( )g x，下列说法正确 的是（ ） A函数( )g x是奇函数 B其图像关于直线 4 x 对称 C在 0, 4 上是增函数 D在区间 2 , 43 上的值域为 2,0 【答案】D 【解析】 ( )sin3cos2sin() 3 f xxxx， 函数( )f x图象的对称轴构成一个公差为 2 的等差数列， 故函数( )f x的最小正周期为 2 2 T ， 所以 22 2 T ，函数 ( )2sin(2) 3 f xx图象沿x轴向左平移 12 个单位得， ( )2
10、sin2()2sin(2)2cos2 1232 g xxxx， 故( )g x为偶函数，并在区间 0, 2 上为减函数，所以 A、C 错误； ( )2cos(2)0 44 g，所以 B 错误； 因为 2 43 x，所以 4 2 23 x，2cos2 2,0x ，所以 D 正确 11已知函数 2 ,0 ( ) 2 ln ,0 x x f x xx ，若函数( )( )1g xf xkx有且只有三个零点，则实数k的 取值范围（ ） A 2 1 (0,) e B 1 (,0) 2 C(0, ) e D 2 11 (,) 2 e 【答案】A 【解析】 如图， 作出函数 ,0 ( )2 ln ,0 x
11、x f x x x 的图象， 函数( )( )1g xf xkx有且只有三个零点， 则函数( )f x与函数1ykx的图象有且只有三个交点， 函数1ykx图象恒过点(0,1)，则直线1ykx在图中阴影部分内时， 函数( )f x与1ykx有三个或两个交点， 当直线1ykx与lnyx的图象相切时，设切点为 00 ,l(n)xx，切线斜率为 0 1 k x ， 00 0 1 ln1xx x ，解得 2 0 xe， 2 1 k e ， 2 1 0,)(k e 12已知双曲线 2 2 :1 3 y C x 的左右焦点分别为 12 ,F F，M是双曲线C左支上的点， 12 MFF的 周长是9，动点P在双
12、曲线C的右支上，则 1 MFP面积的取值范围是（ ） A 3,) B 3 3 (,) 4 C 5 3 (+ ) 4 ， D 9 3,) 8 【答案】B 【解析】本题首先要通过 12 MFF的周长结合双曲线的第一定义求得焦半径 1 MF的长， 再由余弦定理得出 1 MF与双曲线渐近线平行的结论， 而 1 MFP的面积则需求得点P到 1 MF距离的取值范围， 进而发现P到 1 MF距离总大于b 不妨设点M在x轴上方，由双曲线方程得1a ，3b ，2c ， 所以 111 3 | 249| 2 MFMFMF ， 所以 222 12 37 ( )4( ) 1 22 cos 3 2 24 2 MFF ，
13、所以 1 MF与渐近线3yx平行， 所以点P到直线 1 MF距离的取值范围是( ,)b ，即( 3,)， 因此 1 MFP面积的取值范围是 3 3 (,) 4 第第卷卷（非选择题非选择题） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，分，共共 20 分分 13记等比数列 n a的前n项和为 n S，若 5 10 1 4 S S ，则 2 7 a a 【答案】 1 3 【解析】显然1q ，故 5 5 105 10 111 114 Sq Sqq ，故 5 3q ，故 2 5 7 11 3 a aq 14已知函数 2 2 2,0 ( ) 2,0 xxx f x x
14、xx ，若(2 )(6)fafa，则a的取值范围是 【答案】(2,) 【解析】因为函数 2 2 2,0 ( ) 2,0 xxx f x xxx ， 0x时， 22 11 ( )22() 48 f xxxx，此时( )f x递增； 0x时， 22 11 ( )22() 48 f xxxx ，此时( )f x递增， 且(0)0f，所以( )f x在R上单调递增， (2 )(6)fafa，26aa ，2a 15已知实数x，y满足 4 260 4 yx xy y ，则 4 4 y x x 的最大值为 【答案】 2 7 【解析】作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影区域所示， 4 4 y z x 表示平
15、面区域内的点( , )x y与点(4, 4)D连线的斜率， 观察可知， 4 4 DCDB y kk x ，联立 4 260 yx xy ，解得 2 3 8 3 x y ， 即 28 (,) 33 B ， 故 4 4 y z x 的最大值为 84 4 2 33 2212 7 4 333 16在直三棱柱 111 ABCABC中，90ABC且 1 4BB 设其外接球的球心为O已知三棱锥 OABC的体积为2，则球O的表面积的最小值是 【答案】28 【解析】如图，在ABCRt中，设ABc，ACb，则 22 BCbc ， 取BC， 11 BC的中点分别为 2 O， 1 O， 则 2 O， 1 O分别为AB
16、CRt和 111 ABCRt的外接圆的圆心，连接 21 O O， 又直三棱柱 111 ABCABC的外接球的球心为O，则O为 21 O O的中点， 连接OB，则OB为三棱柱外接球的半径， 设半径为R，因为直三棱柱 111 ABCABC，所以 121 4BBO O， 所以三棱锥OABC的高为2，即 2 2OO ， 又三棱锥OABC体积为2，所以 11 226 32 O ABC Vbcbc 在 2 OO BRt中， 2222 2222 2 1 ()()()44 224 bcbc RBCOO ， 设球的表面积为 1 S，所以 22 222 1 44(4)() 16216 4 bc SRbcbc 12
17、 1628， 当且仅当bc时取“” ，所以球O的表面积的最小值是28 三、解答题：本三、解答题：本大题共大题共 6 个个大题，共大题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （12 分）已知数列 n a的前n项 * 340() nn SanN， 1 1 4 a （1）求数列 n a的通项公式； （2）设数列 2 log nn ba，求数列 1 1 nn bb 的前n项和 n S 【答案】 （1） 1 ( ) 4 n n a ； （2） 4(1) n n S n 【解析】 （1）数列 n a的前n项和为 n S， 1 1 4 a ，且34
18、0 nn Sa， 当2n时， 11 340 nn Sa ，相减得 1 4 nn aa ，所以 1 1 4 n n a a ， 则数列 n a是以 1 1 4 a 为首项， 1 4 为公比的等比数列， 则 1 111 ( )( ) 444 nn n a ， 当1n 时， 1 1 4 a ，符合通项公式， 故 1 ( ) 4 n n a （2） 2 log2 nn ban ， 1 111 11 () 4 (1)41 nn bbn nnn ， 1 1111111111 ()(1) 4 1223341414(1) n n S nnnn 18 （12 分）已知向量(sin ,cos )xx=m，( 3c
19、os ,cos )xx=n，xR，设( )21f x =?m n （1）求函数( )f x的解析式及单调减区间； （2）在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且3a =，3bc+=，( )3f A =， 求ABC的面积 【答案】 （1） ( )2sin(2)2 6 f xx=+； 单调减区间为 2 , 63 kk+，kZ； （2） 3 2 S = 【解析】 2 ( )2 3sin cos2cos13sin2cos222sin(2)2 6 f xxxxxxx=+=+=+ 3 2 22 262 kxk+?，kZ，得 2 , 63 kk+，kZ， 所以函数的单调递减区间为 2 , 63 k
20、k+，kZ （2） ( )2sin(2)23 6 f AA=+=， 1 sin(2) 62 A+=， 0A， 13 2 666 A+， 5 2 66 A+=，即 3 A= 由余弦定理得 2222 2 cos()22cosabcbAbcbcbcA=+-=+-， 393bc=-，2bc=， 13 sin 22 SbcA= 19 （12 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ADBC，90ADC， 平面PAD 底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC的中点，4PAPD， 1 2 2 BCAD， 3CD （1）求证：平面BQM 平面PAD； （2）求四面体PBQM的体积 【答案】 （
21、1）证明见解析； （2）1 【解析】 （1）证明：ADBC， 1 2 BCAD，Q为AD中点， 四边形BCDQ为平行四边形，CDBQ， 90ADC，90AQB，即BQAD， 又平面PAD 平面ABCD，且平面 PAD平面ABCDAD，BQ 平面ABCD， BQ 平面PAD， BQ 平面BQM，平面BQM 平面PAD （2） C BQMP BQM VV ， 1 2 MBCQP BCQ VV ， 由（1）可知：四边形BCDQ为矩形， 1 3 2 BCQ SBQ BC ， PAPD，Q为AD的中点，PQAD， 平面PAD 平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD， PQ 平面ABCD， 在PDQR
22、t， 222 PDPQDQ，2 3PQ ， 111 32 31 223 P BQMP BCQ VV 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的上顶点为A，以A为圆心，椭圆的长半轴为半 径的圆与y轴的交点分别为(0,3)，(0,) 1 （1）求椭圆C的标准方程； （2） 设不经过点A的直线l与椭圆C交于P，Q两点， 且0AP AQ， 试探究直线l是否过定点？ 若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由 【答案】 （1） 2 2 1 4 x y； （2）直线l过定点，该定点的坐标为 3 (0,) 5 【解析】（1） 依题意知点A的坐标为(0, )b， 以点A
23、圆心， 以a为半径的圆的方程为 222 ()xyba， 令0x ，得yba， 由圆A与y轴的交点分别为(0,3)，(0,) 1，可得 3 1 ba ba ，解得 2 1 a b ， 故所求椭圆C的标准方程为 2 2 1 4 x y （2）由0AP AQ，得APAQ，可知PA的斜率存在且不为0 设直线:1 PA lykx，则 1 :1 QA lyx k ， 将代入椭圆方程并整理，得 22 (1 4)80kxkx，可得 2 8 14 P k x k ， 则 2 2 14 14 P k y k ，同理，可得 2 8 4 Q k x k ， 2 2 4 4 Q k y k ， 由直线方程的两点式，得直
24、线l的方程为 2 13 55 k yx k ， 即直线l过定点，该定点的坐标为 3 (0,) 5 21 （12 分）已知函数( )ln(0) x f xaxea a （1）求当1a 时，( )f x在点(1,(1)f处的切线方程； （2）若关于x的不等式( )0f x 恒成立，求实数a的取值范围 【答案】 （1）(1)0exy； （2）(0, ) e 【解析】 （1）当1a 时，因为( )lnln1 xx f xaxeaxe， 所以 1 ( ) x fxe x ，所以(1)1fe ， 又(1)1fe ，所以( )f x在(1,(1)f处的切线方程为(1)(1)(1)yee x， 即(1)0ex
25、y （2）由（1）知( )(0) x x aaxe fxex xx ， 令( ) x g xaxe，则( )(1)0 x g xxe ，所以( )g x在(0,)上单调递减 由于(0)0ga，( )(1)0 aa g aaaeae， 则存在 0 (0, )xa，使得 0 ()0g x，即 000 00 0 0 xxx a ax ex eae x ， 又 0 0xx，( )0g x ，则( )0fx，所以( )f x在 0 (0,)x上单调递增； 0 xx，( )0g x ，则( )0fx，所以( )f x在 0 (,)x 上单调递减， 所以在 0 xx处有最大值 0 000 0 1 ()ln(
26、ln1) x f xaxeaax x ， 由( )0f x 恒成立，得 0 ()0f x，即 0 0 1 (ln1)0ax x ，所以 0 0 1 ln10x x 令 1 ( )ln1h xx x ，则 2 11 ( )0h x xx ，所以函数( )h x在(0,)上单调递增 由于(1)0h，则( )0h x ，解得1x，所以 0 1x ， 由 0 0 x ax e在(0,1)上单调递增，所以0ae， 所以实数a的取值范围为(0, ) e 请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22 （10 分） 【
27、选修 4-4：坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 4cos : 4sin x C y （为参数） ，将曲线 1 C上的所有点的横坐标缩 短为原来的 1 2 ，纵坐标缩短为原来的 3 4 后得到曲线 2 C，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴 建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 3 sin() 3 （1）求曲线 2 C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程； （2）设直线l与曲线 1 C交于不同的两点A，B，点M为抛物线 2 8 3yx 的焦点， 求MA MB的值 【答案】 （1） 2 2 2 12 : 3sin C ，:360lxy； （2）4 【解析】 （1）将曲线 1 4
28、cos : 4sin x C y （为参数） ，消参得 22 16xy， 经过伸缩变换 1 2 3 4 xx yy 后得到曲线 22 2: 1 43 xy C， 化为极坐标方程为 2 2 12 3sin ， 将直线l的极坐标方程为 3 sin() 3 ，化为直角坐标方程为360xy （2）由题意知( 2 3,0)M 在直线l上， 又直线l的倾斜角为 3 ，所以直线l的参数方程为 1 2 3 2 3 2 xt yt （t参数） ， 设A，B对应的参数分别为 1 t， 2 t， 将直线l的参数方程代入 22 16xy中，得 2 2 340tt 因为M在 1 C内，所以0恒成立， 由韦达定理得 12
29、 4t t ，所以 12 4MA MBt t 23 （10 分） 【选修 4-5：不等式选讲】 已知0a ，0b ，且1ab （1）若abm恒成立，求m的取值范围； （2）若 41 |21|2|xx ab 恒成立，求x的取值范围 【答案】 （1） 1 4 m ； （2）6,12 【解析】 （1）0a ，0b，且1ab， 2 1 () 24 ab ab ， 当且仅当 1 2 ab时“”成立， 由abm恒成立，故 1 4 m （2）,(0,)a b，1ab， 414144 ()()5529 bab a ab abababab ， 故若 41 |21|2|xx ab 恒成立，则|21|2| 9xx 当2x时，不等式化为1 229xx ，解得62x ； 当 1 2 2 x ，不等式化为1 229xx ，解得 1 2 2 x ； 当 1 2 x 时，不等式化为2129xx ，解得 1 12 2 x， 综上所述，x的取值范围为6,12
