1、 2.1.1 复变函数的导数复变函数的导数1.导数定义导数定义定义定义2.1 设函数设函数w=f(z),zD,且且z0、z0+zD，如果极限如果极限 存在，则称函数存在，则称函数f(z)在点在点z0处可导处可导(可微可微)。称此极限值为称此极限值为f(z)在在z0的导的导数，记作数，记作zzfzzfz )()(lim000zzfzzfdzdwzfzzz )()(lim)(00000等价形式有：等价形式有：00000()()()()limlimzzzf zf zf zzf zzz 220000()()0()()limxyf xxiyi yf xiyxi y 000000()()limxyf xx
2、iyi yf xiyxi y 如果如果w=f(z)在区域在区域D内处处可导，则称内处处可导，则称 f(z)在在区域区域D内可导内可导.000()(),()zf zzf zAAfzz 当当0 0时时:注：注：00zz (1)0,0;(2)0,00;(3)00,00 xyxyxy 但但：可可以以有有下下列列情情形形之之一一任意点任意点z的导数的导数0()()()limzf zzf zfzz 称为导函数，或简称导数称为导函数，或简称导数A (1)(1)z z00是在平面区域上以任意方式趋于零。是在平面区域上以任意方式趋于零。A (2)(2)z=x+iy,z=x+iy,f=f(z+z)-f(z):()
3、Re.f zz 证证明明在在平平面面上上的的任任何何点点都都不不可可导导例例1zzzzzf )Re()Re(:证证明明yixxxx yixx .lim0不不存存在在zfz ;0,0;1,0zfzzfz时时取纯虚数趋于取纯虚数趋于当当时时取实数趋于取实数趋于当当000limlim1xxyxxxi yx 0000limlim0 xyyxxi yi y 01lim1xy k xxxi yik 2.求导公式与法则求导公式与法则 常数的导数常数的导数 c=(a+ib)=0.(zn)=nzn-1 (n是自然数是自然数).证明证明 对于复平面上任意一点对于复平面上任意一点z0，有，有10010021000)
4、(limlimlim000 nnnnzznnzzzznzzzzzzzzzzzzzz-实函数中求导法则的推广实函数中求导法则的推广 设函数设函数f(z),g(z)均可导，则均可导，则 f(z)g(z)=f (z)g(z)，f(z)g(z)=f (z)g(z)+f(z)g(z)0)(,)()()()()()()(2 zgzgzgzfzgzfzgzf.0)()()()(10处处可可导导点点外外）处处在在复复平平面面上上（除除分分母母为为导导；在在整整个个复复平平面面上上处处处处可可由由以以上上讨讨论论zQzPzRzazaazPnn 复合函数的导数复合函数的导数(f g(z)=f (w)g(z)，其中
5、其中w=g(z)。反函数的导数反函数的导数 ，其中，其中:w=f(z)与与z=(w)互为单值的反函数，且互为单值的反函数，且(w)0。)(1)(wzf?)(,;),()(,22的的可可导导性性复复函函数数中中内内可可导导在在实实函函数数中中zzfxxf&思考题思考题例例3 问：函数问：函数f(z)=x+2yi是否可导？是否可导？!0,020,012lim0不存在不存在时时当当时时当当 yxxyyixyixz)(11)5()(22zfzzzzf，求求已已知知 例例2解解22)1(1)52)(5(2)(zzzzzfyixyixiyyxxzzfzzfzz )2()(2lim)()(lim00解解.2
6、)(处处处处不不可可导导故故函函数数yixzf 例例4 证明证明 f(z)=zRez只在只在z=0处才可导。处才可导。时时不不存存在在时时0!)(Re(lim00Relim00zyixxzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz Re)Re(limRe)Re()(lim00证明证明不存在！不存在！时时当当时时当当 0,010,00lim0yxxyyixxzA (1)(1)复变函数在一点处可导，要比实函数复变函数在一点处可导，要比实函数 在一点处可导要求高得多，也复杂得在一点处可导要求高得多，也复杂得 多，这是因为多，这是因为z z00是在平面区域上是在平面区域上 以任意方式趋于零的原故。
7、以任意方式趋于零的原故。(2)(2)在高等数学中要举出一个处处连续，在高等数学中要举出一个处处连续，但处处不可导的例题是很困难的但处处不可导的例题是很困难的,但在复变函数中，却轻而易举但在复变函数中，却轻而易举。3.可导与连续可导与连续若若 w=f(z)在点在点 z0 处可导处可导 w=f(z)点点 z0 处连续处连续.?连续连续在在所以所以由此可得由此可得则则令令有有时时使得当使得当则则可导可导在在若若证明证明000000000000000)(),()(lim,)()()(,0lim),()()(,)()()(,0,0,0,)(:zzfzfzzfzzzzfzfzzfzzfzzfzzfzzfz
8、zfzzfzzzfzz 1.函数函数可微的一个必要条件（哥西可微的一个必要条件（哥西黎曼条件）黎曼条件）2.1.2哥西哥西黎曼条件黎曼条件 本节从函数本节从函数 u(x,y)及及 v(x,y)的可导性，探求的可导性，探求函数函数w=f(z)的可导性，从而给出判别函数解析的的可导性，从而给出判别函数解析的一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。问题问题 如何判断函数的可微性呢？如何判断函数的可微性呢？则则可可导导在在点点设设函函数数,),(),()(iyxzyxivyxuzfw zzfzzf)()(yixyxivyxuyyxxivyyxxu ),(
9、),(),(),(xyxvyxxvixyxuyxxuxyxivyxuyxxivyxxuzzfzzfzfxxxz ),(),(lim),(),(lim),(),(),(),(lim )()(lim)(0000(0)zzzy 若若沿沿平平行行于于实实轴轴的的方方式式xvixu 存在存在yiyxvyyxviyiyxuyyxuyiyxivyxuyyxivyyxuzzfzzfzfyyyz ),(),(lim),(),(lim),(),(),(),(lim)()(lim)(0000(0)zzzx 若若沿沿平平行行于于虚虚轴轴的的方方式式yuiyvyvyui 1()fzuvvuiixxyyuvvuxyxy
10、存存在在A 记忆记忆yvxvyuxu 方程方程称为称为Cauchy-Riemann方程方程(简称简称C-R方程方程).yuxvyvxu ()(,)(,)(,):(,),(,),(,)f zu x yiv x yDx yu x y v x yuuvvx yxyxy函函数数在在区区域域 上上一一点点可可微微的的必必要要条条件件是是的的偏偏导导数数在在点点存存在在,且且满满足足C-RC-R条条件件.定理定理2.1 用定理用定理2.1虽不能判定函数的可微性，但却可以虽不能判定函数的可微性，但却可以判定函数的不可微性，即：不满足定理条件的函数判定函数的不可微性，即：不满足定理条件的函数是不可微的是不可微
11、的(),(,),(,).1,0,0,1,().uf zzu x yx v x yyxuvvyxyf zz 例例如如这这里里而而均均存存在在且且连连续续,但但处处处处不不满满足足C-RC-R条条件件,根根据据定定理理2.1,2.1,函函数数在在复复平平面面上上处处处处不不可可微微 下面的例子可以说明，该条件不是充分的，即下面的例子可以说明，该条件不是充分的，即该条件的满足并不足以保证函数的可微性。该条件的满足并不足以保证函数的可微性。003()02.1,0.(,),(,)0,(,0)(0,0)(0,0)lim0(0,0)(0,)(0,0)(0,0)lim0(0,0)()02.1.xyxyxxf
12、zxyzzu x yxy v x yuxuuvxuyuuvyf zz 例例题题函函数数在在点点满满足足定定理理的的所所有有条条件件但但在在点点函函数数不不可可微微所所以以函函数数在在满满足足定定理理的的所所有有条条件件00:()(0)limlim1,xxy k xy k xx yfzfkzxi yikk 但但是是明明显显与与 有有关关 即即 z z沿沿不不同同的的方方向向趋趋于于0 0时时,上上述述极极限限值值不不同同,即即上上述述极极限限值值在在z=0z=0不不存存在在,或或说说函函数数不不可可微微.定理定理2.2 设设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在在 D 内有定义，内有定义，则
13、则 f(z)在点在点 z=x+iy D处可导的充要条件是处可导的充要条件是 u(x,y)和和 v(x,y)在点在点(x,y)可微，且满足可微，且满足 Cauchy-Riemann方程方程yuxvyvxu 上述条件满足时上述条件满足时,有有xyyyyxxxivviuviuuivuzf )(2.函数可微的充分必要条件函数可微的充分必要条件()()f zzxiyfzaib设设在在处处可可导导，把把记记为为，则则由由导导数数的的定定义义，可可得得：()()()(|)()()(|)f zzf zaibzozaibxi yoz ()()f zzf zui vzxi y 其其中中，。按按实实部部和和虚虚部部
14、整整理理得得：(,)(,)(|)u xx yyu x ya xb yoz ；(,)(,)(|)v xx yyv x yb xa yoz ；xvyuyvxu (,)(,)(,)u x yv x yx yCR 因因此此，及及在在处处可可微微，并并有有方方程程成成立立：证明：证明：（1）必要性）必要性程成立，则有方处可微，并有在及设RCyxyxvyxu),(),(),(；|)(|),(),(zoyyxuxyxuuyx；|)(|),(),(zoyyxvxyxvvyx:方程可得由RC(,)(,)()(|)xxfui vux yivx yxi yoz ；所以0lim(,)(,)xxzfux yivx ya
15、ibz 处可导。在即iyxzzf)(证明：（证明：（2）充分性）充分性A 由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系联系.当一个函数可导时当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可以仅由其实部或虚部就可以求出导数来求出导数来.A 利用上述三个定理可以判断大多数函数的可导性利用上述三个定理可以判断大多数函数的可导性.2.2(,),(,),(,),(,)()(,)(,).xyxyux yux y vx y vx yf zu x yiv x y 定定理理函函数数解解析析的的一一个个充充分分条条件件)设设连连续续且且满满足足C-RC-R条条件件,则则函函数数可可微
16、微 讨论函数的可微性往往比讨论函数的偏导数要讨论函数的可微性往往比讨论函数的偏导数要麻烦许多，根据数学分析原理我们有如下定理麻烦许多，根据数学分析原理我们有如下定理使用时使用时:i)判别判别 u(x,y)，v(x,y)偏导数的连续性，偏导数的连续性，ii)验证验证C-R条件条件.iii)求导数求导数：yvyuixvixuzf 1)(A 前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的的,但是求复变函数的导数时要注意但是求复变函数的导数时要注意,并不是两个并不是两个实函数分别关于实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的求导简单拼凑成的.3.举例举例2)3()sin(
17、cos)()2(;)1(zwyiyezfzwx ；例例1 判定下列函数在何处可导：判定下列函数在何处可导：解解(1)设设z=x+iy w=x-iy u=x,v=-y 则则1001 uuxyuvxyvvxywz 故故在在全全平平面面不不可可导导。解解(2)f(z)=ex(cosy+isiny)则则 u=excosy,v=exsinycossinsincos ()(cossin)xxxxxuuuveyeyxyxyvvvueyeyxyxyf zeyiy 故故在在全全平平面面可可导导。)(sincos)(zfyieyexvixuzfxx 仅在点仅在点z=0处满足处满足C-R条件，故条件，故20wzz
18、仅仅在在处处可可导导。解解(3)设设z=x+iy w=x2+y2 u=x2+y2,v=0 则则 0022 yvxvyyuxxu2.1.3 解析函数的概念解析函数的概念定义定义2.2 如果函数如果函数w=f(z)在在z0及及z0的某个邻域内处的某个邻域内处 处可导，则称处可导，则称f(z)在在z0解析；如果解析；如果f(z)在区域在区域D内内 每一点都解析，则称每一点都解析，则称 f(z)在在D内解析，或称内解析，或称f(z)是是D内的解析函数内的解析函数(全纯函数或正则函数）全纯函数或正则函数）。如果如果f(z)在点在点z0不解析，就称不解析，就称z0是是f(z)的的奇点奇点。A (1)w=f
19、(z)在在 D 内解析内解析 在在D内可导。内可导。(2)函数函数f(z)在在 z0 点可导，未必在点可导，未必在z0解析解析(例例1(3)函函数只在数只在 ,固也是奇点固也是奇点,即函数处处不解析即函数处处不解析).0z 可可导导例如例如(1)w=z2 在整个复平面处处可导，故是整个复平面在整个复平面处处可导，故是整个复平面 上的解析函数；上的解析函数；(2)w=1/z，除去，除去z=0点外，是整个复平面上的解析点外，是整个复平面上的解析 函数；函数；(3)w=zRez 在整个复平面上处处不解析在整个复平面上处处不解析(见例见例4)。定理定理 设设w=f(z)及及w=g(z)是区域是区域D内
20、的解析函数，内的解析函数，则则 f(z)g(z)，f(z)g(z)及及 f(z)g(z)(g(z)0时时)均是均是D内的解析函数。内的解析函数。.)0()()()()(10的的解解析析函函数数点点外外除除分分母母为为是是复复平平面面上上函函数数；是是整整个个复复平平面面上上的的解解析析由由以以上上讨讨论论zQzPzRzazaazPnn 定理定理 设设 w=f(h)在在 h 平面上的区域平面上的区域 G 内解析内解析,h=g(z)在在 z 平面上的区域平面上的区域 D 内解析内解析,h=g(z)的函数值的函数值集合集合 G，则复合函数，则复合函数w=f g(z)在在D内处处解析。内处处解析。例例
21、2 求证函数求证函数.0),(),(2222dzdwiyxzyxyiyxxyxivyxuw处解析，并求处解析，并求在在 证明证明 由于在由于在z0处，处，u(x,y)及及v(x,y)都是可微函数，都是可微函数，且满足且满足C-R条件：条件：,)(22222yxxyyvxu 222)(2yxxyxvyu 故函数故函数w=f(z)在在z0处解析，其导数为处解析，其导数为22222222222221)()()(2)(zyxiyxyxxyiyxxyxvixuzw ()0,(),fzzDf zCzD 若若例例3 复复常常数数）()(001)(2121CiCCzfCvCuvuvuvuiivuzfyyxxy
22、yxx 证明证明例例4 如果如果f(z)=u(x,y)+i v(x,y)是一解析函数，是一解析函数，且且f (z)0，那么曲线族，那么曲线族u(x,y)=C1，v(x,y)=C2必互相正交，这里必互相正交，这里C1、C2常数常数.那么在曲线的交点处，那么在曲线的交点处，i)uy、vy 均不为零时，均不为零时，由隐函数求导法则知曲线族由隐函数求导法则知曲线族 u(x,y)=C1，v(x,y)=C2中任一条曲线的斜率分别为中任一条曲线的斜率分别为 yxuuk/1 yxvvk/2 01)(yvyuizf0不不全全为为与与yvyu 解解利用利用C-R方程方程 ux=vy,uy=-vx 有有k1k2=(
23、-ux/uy)(-vx/vy)=-1，即：两族曲线互相正交，即：两族曲线互相正交.ii)uy，vy中有一为零时，不妨设中有一为零时，不妨设uy=0，则，则k1=，k2=0（由（由C-R方程）方程）即：两族曲线在交点处的切线一条是水平的，另即：两族曲线在交点处的切线一条是水平的，另一条是铅直的一条是铅直的,它们仍互相正交。它们仍互相正交。?)(,)()(2222在复平面内处处解析在复平面内处处解析取何值时取何值时问常数问常数若若zfdcbaydxycxibyaxyxzf 练习练习:a=2,b=-1,c=-1,d=2 在在下一章中下一章中我们将证明在我们将证明在D内的解析函数内的解析函数,其导数其
24、导数仍为解析函数仍为解析函数,所以解析函数有任意阶导数，固所以解析函数有任意阶导数，固u,v的的偏导数的偏导数存在，或说二阶偏导数存在。本节偏导数的偏导数存在，或说二阶偏导数存在。本节利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间的关系。的关系。内内 容容 简简 介介第二节第二节 解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系2222(,):00)(,).x yDLaplacexyx yD 若若二二元元实实变变函函数数在在 内内具具有有二二阶阶连连续续偏偏导导数数且且满满足足方方程程即即（则则称称为为 内内的的调调和和函函数数定义定义2.3 ()(,)(
25、,)(,)(,)f zu x yiv x yDuu x yvv x yD若若在在区区域域 内内解解析析,则则，是是 内内的的调调和和函函数数。定理定理2.3证明：证明：设设f(z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域在区域D内解析，则内解析，则xvyuyvxuRC 方方程程由由yxvyuxyvxu 222222从从而而有有xyvyxvyxvyxu 22.),(),(具具有有任任意意阶阶的的连连续续导导数数理理由由解解析析函函数数高高阶阶导导数数定定,0 D2222 yuxu内有内有故在故在0 2222 yvxv同理有同理有0,0 vu2222yx 其其中中即即u及及v 在在D内满足拉普拉斯内
26、满足拉普拉斯(Laplace)方程方程:内的调和函数。内的调和函数。是是，Dyxvvyxuu),(),(.),(),(D,),(的的共共轭轭调调和和函函数数为为函函数数内内构构成成解解析析函函数数的的调调和和在在称称使使得得内内的的调调和和函函数数为为设设yxuyxvivuDyxu 定义定义上面定理说明：上面定理说明：.部部的的共共轭轭调调和和函函数数内内解解析析函函数数的的虚虚部部是是实实D.),(),(),(),()(,的的共共轭轭调调和和函函数数必必为为内内在在内内解解析析在在即即yxuuyxvDDyxivyxuzf 由解析的概念得：由解析的概念得：.,:的的共共轭轭调调和和函函数数必必
27、为为调调和和函函数数的的两两个个方方程程内内满满足足在在uvvuvuvuRCDxyyx .,一一定定解解析析内内就就不不在在则则内内的的两两个个调调和和函函数数区区域域是是任任意意选选取取的的在在若若DivuDvu 现在研究反过来的问题：现在研究反过来的问题：.的的共共轭轭调调和和函函数数不不是是yxuyxv 如如)11)()()(xyyxvuvuzyxiyxivuzf 处处处处不不解解析析平平面面上上在在（由由此此，的的共共轭轭调调和和函函数数必必须须是是方方程程，即即还还必必须须满满足足及及内内解解析析在在要要想想使使.,uvRCvuDivu (,),(,),.u x yCRv x yui
28、v 已已知知一一个个解解析析函函数数的的实实部部利利用用方方程程可可求求得得它它的的虚虚部部从从而而构构成成解解析析函函数数),(yxv虚虚部部),(yxu实部实部0,),(,2222 yuxuDyxuD则则函函数数内内的的调调和和是是区区域域一一单单连连通通区区域域设设内内有有连连续续一一阶阶偏偏导导数数在在、即即Dxuyu ,dyxudxyudyyvdxxvxuxyuy )()(且且),(yxdvv )(),(),(),(00 cdyxudxyuyxvyxyx.内内解解析析在在方方程程满满足足DivuRCxuyvyuxv D任任意意一一个个在在区区域域 上上解解析析的的函函数数,其其实实部
29、部与与虚虚部部在在该该区区域域上上为为共共轭轭调调和和函函数数.定理定理2.4以下是四种求共轭调和函数的方法以下是四种求共轭调和函数的方法（1）曲线积分法；（）曲线积分法；（2）凑微分法；（）凑微分法；（3）偏积分法；）偏积分法；（4）不定积分法）不定积分法iifyxyxuivuzf 1)()(22由由下下列列条条件件求求解解析析函函数数例例1dyyxdxxydyyvdxxvdvxyyuxvyxxuyv)2()2(22 解解cyxyxcdyyxxdxcdyyxdxxyyxvyxoyx 222)2()2()2(),(220),()0,0(曲线积分法曲线积分法icziiciyxiiyxcyxyxi
30、xyyxzf 2222222)211()(2)()21221()()(故故2)21()(211)21(1)(22izizfciiciiiif 代代入入上上式式得得，A )(21),(21zziyzzx 22222()()22ydxxdyxdxydyxyd xyd dyyxdxxydyyvdxxvdv)2()2(又解又解cyxyxyxv 222),(22)21221()()(2222cyxyxixyyxzf 凑凑全全微微分分法法)(2222xyxyvyxyv )21221()()(2222cyxyxixyyxzf 又解又解偏偏积积分分法法xyxyxvxv 2)(2 cxx 2)(2 cxyxyy
31、xv 222),(22xx )()2()2()(yxiyxiuuivuzfyxxx )21221()()(2222cyxyxixyyxzf 又解又解不不定定积积分分法法)(2()()(2iyxiiyxiiyx zi 2iczizf 222)(&1.指数函数指数函数&2.三角函数和双曲函数三角函数和双曲函数&3.对数函数对数函数&4.乘幂与幂函数乘幂与幂函数&5.反三角函数与反双曲函数反三角函数与反双曲函数第三节第三节 初等函数初等函数 本节将实变函数的一些常用的初等函数本节将实变函数的一些常用的初等函数推广到复变函数情形，研究这些初等函数的推广到复变函数情形，研究这些初等函数的性质，并说明它的
32、解析性。性质，并说明它的解析性。内内 容容 简简 介介一一.指数函数指数函数它与实变指数函数有类似的性质它与实变指数函数有类似的性质：0exp)1(zz)0exp,(xez事实上事实上xezzfxz exp)(,)2(时时为为实实数数当当)0(y)2(12(的的例例见见 ,2,1,02)expArg(expkkyzezx)1()sin(cosexp)(:expyiyezzfzziyxzx 如如下下的的指指数数函函数数定定义义复复变变数数对对定义定义.exp)(expexp)()3(zzzzf 且且在复平面上处处解析，在复平面上处处解析，右右边边左左边边设设事事实实上上 )exp()sin()c
33、os()sincoscos(sinsinsincoscos)sin(cos)sin(cos expexp)2,1(,21212121212121221121212121zzyyiyyeyyyyiyyyyeyiyeyiyezzjiyxzxxxxxxjjj)exp(expexp:)4(2121zzzz 加法定理加法定理.expzez代替代替为了方便，我们用以后为了方便，我们用以后:)(的的周周期期性性由由加加法法定定理理可可推推得得zezf ZkikTzfTzf ,2),()(.2 )()2sin2(cos)2(,22为为任任意意整整数数事事实实上上kikTzfekikeeeeikzfzzikzi
34、kz A 这个性质是实变指数函数所没有的。这个性质是实变指数函数所没有的。zzxxzzeeeyyiyyeee111)sin()(cos(0 又又2121zzzzeee 没没有有幂幂的的意意义义.它它的的定定义义为为仅仅仅仅是是个个符符号号，)sin(cos ,)1(yiyeexzyiyexziysincos:Euler0)2(公公式式 就就得得时时,的的实实部部特特别别当当到到A )Im(zie求求例例1 ie 141求求例例21 ze解方程解方程例例3xeysin ie 12241,2,1,02 kikz)2(2cos2sin:,sincossincos,0:Ryeeyieeyyiyeyiy
35、exiyiyiyiyiyiy 从从而而得得到到时时当当由由指指数数函函数数的的定定义义二二.三角函数和双曲函数三角函数和双曲函数推广到复变数情形推广到复变数情形的正弦与余弦函数的正弦与余弦函数称为称为zeezieezzizizizi )3(2cos2sin定义定义周周期期函函数数是是及及 2cossin)1 Tzzcos222)2cos(22)2()2(zeeeeeeeeziziziiziizzizi zzzzsin)(coscos)(sin,)2 且且在在复复平平面面上上处处处处解解析析zeeeeizizizizizcos)(21)(21)(sin q正弦与余弦函数的性质正弦与余弦函数的性质
36、.cos,sin)3是是偶偶函函数数是是奇奇函函数数zzzzzieezizizcos)cos(;sin2)sin(同理同理zizezizsincosEuler,)3()4 成成立立公公式式对对一一切切式式由由思考题思考题.1cos,1sin:,cos,sin zzzz有类似的结果有类似的结果是否与实变函数是否与实变函数作为复变函数作为复变函数三三角角公公式式的的加加法法定定理理可可推推知知一一些些及及指指数数函函数数由由正正弦弦和和余余弦弦函函数数定定义义)5 1cossinsincoscossin)sin(sinsincoscos)cos(22212121212121zzzzzzzzzzzz
37、zziyxiyxiyxiyxiyxiyxsincoscossin)sin(sinsincoscos)cos()4(2sin2cos ishyieeiychyeeiyyyyy由正弦和余弦函数的定义得由正弦和余弦函数的定义得 xshyixchyiyxxshyixchyiyxcossin)sin(sincos)cos(zzzzzzzzzzsin1csccos1secsincoscotcossintan 其它三角函数的定义其它三角函数的定义(详见详见P51)chyiyshyieeiyyyycos2sin)4()7当当式式知知由由)(0sin,sin)6Zkkzzz 的的根根为为即即方方程程的的零零点点
38、Zkkzz 2cos 的零点为的零点为.1sin,1cos不不再再成成立立在在复复数数范范围围内内 zz)1(thzcthzchzshzthz 22zzzzeechzeeshz 定义定义称为双曲正弦和双曲余弦函数称为双曲正弦和双曲余弦函数q双曲正弦和双曲余弦函数的性质双曲正弦和双曲余弦函数的性质为为周周期期的的函函数数都都是是以以、ichzshz 2)1奇奇函函数数偶偶函函数数 shzchz,)2.,一一定定是是多多值值函函数数反反函函数数且且是是周周期期函函数数，故故它它的的定定义义的的函函数数双双曲曲函函数数均均是是由由复复指指数数三三角角函函数数yishxychxiyxchychiyyi
39、shiysincos)(cossin)4 由由定定义义析析在在整整个个复复平平面面内内处处处处解解和和chzshzchzshzshzchz )()()3三三.对数函数对数函数定义定义 指数函数的反函数称为对数函数。即，指数函数的反函数称为对数函数。即，Lnzwzfwzzew 记作记作称为对数函数称为对数函数的函数的函数把满足把满足,)()0()(2,lnZkkvrureerezivuwiivui 那么那么令令),1,0()2(ln kkirLnzw ),2,1,0()2(arglnArgln kkzizzizLnz 或或(1)对数的定义对数的定义.2,)0(的的一一个个整整数数倍倍相相差差其其
40、任任意意两两个个相相异异值值即即虚虚部部无无穷穷多多角角的的一一般般值值的的幅幅的的虚虚部部是是的的模模的的实实自自然然对对数数；它它实实部部是是它它的的的的对对数数仍仍为为复复数数这这说说明明一一个个复复数数 zzzz 的的无无穷穷多多值值函函数数是是即即zLnzw ,)(,)2(lnargln,0主主值值支支的的主主值值称称为为的的一一单单值值函函数数为为时时当当记记作作LnzLnzzzizLnzk )(2lnZkkizLnz 故故ikLniia )12()1(1ln)1ln(1 .(负数也有对数).(负数也有对数),LnzLnz1)1)复数都有意义复数都有意义对一切非零对一切非零不仅对正
41、数有意义不仅对正数有意义 wZkikaLnzazLnzaz 2lnlnln0 的的主主值值当当例例如如ikaLnziazLnzaaz )12(lnlnln)0(的的主主值值当当特别特别A (2)对数函数的性质对数函数的性质.,这与实函数不同这与实函数不同多值性多值性了对数函数的了对数函数的指数函数的周期性导致指数函数的周期性导致 2)2)21212121,)()1LnzLnzzzLnLnzLnzzzLn .ln:)2处处处处连连续续在在除除去去原原点点与与负负实实轴轴外外连连续续性性z,arglnln:zizz 主主值值;ln续续除除原原点点外外在在其其它它点点均均连连其其中中z.arg 连连
42、续续在在原原点点与与负负实实轴轴上上都都不不而而z见见1-6例例1.ln,在在复复平平面面内内处处处处连连续续除除原原点点及及负负实实轴轴外外z0)(eeezzeddzzdzd111)(ln zz1)(ln 即即.ln析析的的除除原原点点及及负负实实轴轴外外是是解解z .ln:)3平平面面内内解解析析在在除除去去原原点点与与负负实实轴轴的的解解析析性性zzLnzLnz1)(且且负负实实轴轴外外均均是是解解析析的的，的的每每个个分分支支除除了了原原点点和和.,2ziez求求设设 例例4,1,0222ln kikiz 四四.乘幂乘幂 与幂函数与幂函数 babzq 乘幂乘幂ab,0,aba且且为为复
43、复数数设设定义定义.bLnabea 定定义义乘乘幂幂.,0,为为实实数数实实变变数数情情形形ba A kiaLna2ln 多值多值一般为多一般为多值值)2(ln kiabbLnabeea .,它它是是单单值值函函数数为为整整数数时时bababebkibkelnln)2sin2(cos kbiabkiabbLnabeeeea2ln)2(ln 为为整整数数当当 b)0,(qqpqpb且且为为互互质质的的整整数数当当)2(argln)2arg(ln kaiaikaiabqpqpqpeeea )1,3,2,1,0(qk)2(argsin)2(argcosln kaqpikaqpeaqp q支支具具有有
44、一一般般而而论论ba,.无穷多支无穷多支(2)当当b=1/n(n正整数正整数)时时，乘幂乘幂ab与与a 的的 n次根意义一致。次根意义一致。A (1)当当b=n(正整数正整数)时时，乘幂乘幂ab与与a 的的n次幂次幂 意义一致。意义一致。LnaLnaLnaeee LnaLnaLnanLnaneea 个个naaaa nkannnniaikaiaLnaeeeea 2arg1111ln)2arg(ln )2argsin2arg(cosnkainkaan )12,1,0(nkna ikikLneee22)21(ln21221 )2()2(ln22 kikiiiiLniieeei)2,1,0(k)sin
45、()cos(3434)2()2(ln2322323232 kkkiikiiLniieeei ),2,1,0(k)22sin(22cos(kik )2,1,0(k解解.1322的的值值和和、求求iii例例5q 幂函数幂函数zb称称为为幂幂函函数数。得得为为复复变变数数中中，取取在在乘乘幂幂,bbzwza 定义定义当当b=n(正整数正整数)w=z n 在整个复平面上是单值解析函数在整个复平面上是单值解析函数为正整数）为正整数）nnb(1 nkznnnnizikzizLnzeeeez 2arg1111ln)2arg(ln )2argsin2arg(cosnkzinkzzn )12,1,0(nknz.解解析析除除原原点点与与负负实实轴轴外外处处处处的的解解析析性性由由于于Lnz的的反反函函数数nwz )()(,1单值分支单值分支且且解析解析除原点与负实轴外处处除原点与负实轴外处处 bbbbzzzwbzw ,一一般般而而论论 除去除去b为正整数外，多值函数，为正整数外，多值函数，当当b为无理数或复数时，无穷多值。为无理数或复数时，无穷多值。5.反三角函数与反双曲函数反三角函数与反双曲函数详见详见P37A 重点：重点：指数函数、对数函数指数函数、对数函数、乘幂、乘幂
