1、电介质物理电介质物理(预备知识预备知识)-场论与张量基础场论与张量基础1.矢量与场论基础u 标量、矢量与场u 微分算子u 梯度、散度与旋度标量、矢量与场u标量(scarlar)-只有大小、没有方向性。如时间、温度、质量等。u矢量(vector)不仅有大小、而且有方向性。如速度、加速度、力、电场强度等。u场(Field)具有空间分布的量。如某一管道中气体的速度就不能用一个点的量来描述，而必须用一定区域内变化的矢量来定义。微分算子多变量标量函数 f(x,y,z)之偏导可表示为可定义矢量微分算子,其在笛卡儿坐标中有如下分量这一算子通常可写为算子自身并无任何几何意义,而其与其它量作用则产生重要的几何意
2、义。zfyfxf/,/,/),(zfyfxfzfkyfjxfi梯度、散度与旋度u梯度(gradient)u散度(divergence)u旋度(curl)zUkyUjxUiUgradUzAAAAAzyxyxdiv)()()(AAAyAxAkAxAAzAjzAyAirotcurlxyzxyz二阶微分算子u可以组合两个一阶微分算子作用于标量函数U或矢量函数A。可能的组合为 (U),(U),(A),(A),(A)注意(A)不存在uLaplace算子2(Laplacian)UUzyxzUyUxUUzUkyUjxUizkyjxiU22222222222222)()()()()(张量基础知识u 张量的简单例
3、子 u 张量的数学定义u 对称张量的性质u 张量与对称性的关系张量的简单例子-电导率u对于均匀导体,电流密度J与电场强度E同向,其大小成比例关系-欧姆定律 J=sE 或 Ji=sEi (i=1,2,3)。此处，s为电导率，标量。u对于晶体而言，J与E将不再同向。欧姆定律变为 (i=1,2,3)此处,sij不再是一个数,而是9个数,将这9个数排成矩阵 称为电导率张量(二阶张量)。而各向异性晶体之欧姆定律可表示为 J=s sE31jjijiEJs333231232221131211ssssssssss坐标变换u设有直角坐标系OX1X2X3，其3个方向的单位矢为e1,e2,e3,变换到新坐标系OX1
4、X2X3后,单位矢为e1,e2,e3。令新坐标系中ei在旧坐标系中的方向余弦为aij(j=1,2,3),则 (i=1,2,3)(1)反之,(i=1,2,3)(2)u方向余弦矩阵 jjijiee31a,jjijiee31a333231232221131211aaaaaaaaa矢量分量的变换u矢量p在新旧坐标系中的分量分别为:p1,p2,p3与p1,p2,p3u由于是同一矢量p，故有 即 (3)u将(2)式代入左边,得u比较两边系数,得 (4),3,3,2,2,1,1332211epepepepepepp,31i31j,jjiiepep,j31j,j,31j31i,31j31i,31i31j31i
5、ep)()(jijijijijjiiiiepepepepaaaijijpp31i,a矢量的数学定义u同样可得 (5)u矢量的数学定义:若有一组数p1,p2,p3,当坐标系变换后变为p1,p2,p3,并且满足(4)和(5)式的关系,则这一组数构成一个矢量。,31ijijippa张量分量的变换u以电导率张量为例，各向异性体的欧姆定律 (6)u坐标变换后 (7)u因J和E均为矢量，应满足(4)和(5)式，故 (8)31jjijiEJs31jjijEiJ 31jj31k31l31j31l31k31lkl31k31k31j)(EEEJJEkljlikjjlkliklikkikijijsaaasaaas二
6、阶张量的数学定义u比较(8)式两端的系数，得 (9)u同样,可得 (10)u于是可以定义二阶张量:若有一组9个数sij,坐标变换后为sij,且满足(9)与(10)式,则这组数构成一个二阶张量.3131klkljlikijsaas 3131klljkiijklsaasn阶张量的数学定义u当坐标变换时,各阶张量的分量变换关系如下:零阶张量(标量):FF 一阶张量(矢量):二阶张量:三阶张量:四阶张量:jjijipp31a 3131klkljlikijTTaa313131lmnlmnknjmilijkTTaaa 31313131mnopmnoplpkojnimijklTTaaaa张量的物理实质u一个
7、张量代表着一个物理量,这个物理量遵从一定物理定律,而不依赖于坐标系的选择方法.当坐标系变换时,其描述方法会随之改变，而物理量本身并不改变。u当坐标系变换时，张量的分量应有随之而变的规律，即张量的数学定义。u热释电系数为一阶张量，电导率、介电常数为二阶张量，压电系数、电光系数等为三阶张量，弹性摸量、刚度系数、柔度系数、电致伸缩系数等为四阶张量。对称张量与反对称张量u若Tij=Tji,则张量T为对称张量。这种张量只有6个独立分量。(11)u若Tij=-Tji,则张量T为反对称张量。因为Tii=0,故反对称张量只有3个独立分量 (12)332313232212131211TTTTTTTTTT0002
8、31323121312TTTTTTT张量的分解u张量总可以分解成若干个同阶张量之和，而且这种分解方法是无穷多的。u定理 任何一个张量总可以分解为一个对称张量和一个反对称张量之和，并且分解的方法是唯一的。u共轭张量：若Tij(i,j=1,2,3)为张量，则可以证明，Tji(i,j=1,2,3)也为张量。我们称它们互为共轭张量。(13)332313322212312111333231232221131211TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTc张量分解定理之证明u设有一个张量T,我们假定它可以分解为对称张量S与反对称张量A之和。即 T=S+A (14)两边取共轭，于是 Tc=Sc+Ac 而S=
9、Sc,Ac=-Ac,所以 Tc=S-A (15)由式(14)与(15)解得 S=1/2(T+Tc),A=1/2(T-Tc)(16)从对称张量与反对称张量定义考查，(16)式确实成立。所以假定成立。而(16)式是唯一确定的，故T的分解方法也是唯一的。于是定理得以证明。晶体对称操作的变换矩阵u在直角坐标系中，每一个对称操作对应于将旧坐标系变换为新坐标系，即对应于一个坐标变换。可用新旧坐标间的方向余弦来表示对称操作变换矩阵。u例 (17)0000010104对称性对张量的制约u对称性对晶体物理性质的限制：沿晶体一定方向测定的某种物理性质，当晶体按其对称操作旋转、反映或反演到新的取向时，其物理性质应有相同的数值和符号。u等价方向上具有完全相同的物理性质。u对称中心(反演)对张量性质的制约 对称中心变换矩阵 即 aij=-dij 1000100011对称中心对张量性质的制约u设有矢量pi(i=1,2,3),则经过对称中心操作，将有u而根据对称性，又应有 pi=pi 所以 pi=0,即具有对称中心的晶体不可能具有矢量性质的物理量。u具有对称中心的晶体不可能具有热释电效应。u推广：具有对称中心的晶体不可能具有三阶张量。如压电效应、电光效应等。u在32个点群中，有11中是中心对称的，其不可能有矢量与三阶张量性质的物理量。ijjijjjijippppda
