1、课题课题:6.4.3(1):6.4.3(1)余弦定理余弦定理SSSSASAASASA 定性研究定量研究1.1.余弦定理余弦定理2.2.正弦定理正弦定理3.3.余弦定理、正余弦定理、正弦定理应用举例弦定理应用举例单元主题CBAcab问题提出CBAcab思考1CBAcab由向量数量积的性质，可得问题探究=ABCCB CAAB CBCA 在中，取，为基底，则，22|=()ABAB ABCBCA 222CBCACB CA 22|2|cosCBCACB CAC 2222coscababC解：解：问题探究2222cosabcbcA同理：同理：CBAcab由向量数量积的性质，可得=ABCCB CAAB CB
2、CA 在中，取，为基底，则，22|=()ABAB ABCBCA 222CBCACB CA 22|2|cosCBCACB CAC 2222coscababC解：解：问题探究2222cosabcbcA同理：同理：2222cosbacacBACBabc由向量数量积的性质，可得=ABCCB CAAB CBCA 在中，取，为基底，则，22|=()ABAB ABCBCA 222CBCACB CA 22|2|cosCBCACB CAC 2222coscababC解：解：余弦定理还有其余弦定理还有其他证明方法吗他证明方法吗?2222cosabcbcA2222cosbacacB2222coscababC问题探究
3、余弦定理余弦定理(law of cosines)(law of cosines)三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.2222cosabcbcA2222cosbacacB2222coscababC问题探究2222cosbcAbca222cos2bcaAbc思考思考2 2、余弦定理可以怎样进行变形余弦定理可以怎样进行变形？acbcaB2cos222abcbaC2cos222角度角度1 1bcacbA2cos222acbcaB2cos222abcbaC2cos222余弦定理的
4、推论余弦定理的推论 概念剖析概念剖析C为锐角为锐角C为钝角为钝角222bacC为直角为直角222bac222bac2222coscababC角度角度2.2.余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例.bcacbA2cos222acbcaB2cos222abcbaC2cos2222222cosabcbcA2222cosbacacB2222coscababC概念剖析（1 1）轮换对称，简洁优美；）轮换对称，简洁优美；（2 2）每个等式中有同一个三角形的四个元素，知三求一）每个等式中有同一个三角形的四个元素，知三求一.（3 3）三角函数把几何
5、中关于三角形的定性结论变成了可定量计算的公式）三角函数把几何中关于三角形的定性结论变成了可定量计算的公式.思考思考2 2 余弦定理及推论有什么余弦定理及推论有什么结构结构特点？特点？一般地，三角形的三个角一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边和它们的对边a，b，c叫叫做三角形的元素做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其它元素的过程已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形（叫做解三角形（solving triangles）.新知应用题型一题型一 两边及夹角两边及夹角22212cos942 3 2()173cababC 由余弦定理:1cos()cos()cos3ABCC CBAba
6、c17c ABCABC 在中，解，：ABC，1cos3C 应用举例3.21 cos.4ABCABBCCAC在中，则练习1(0)ACx x解设：，2222cosABBCACBC ACC由余弦定理:321 cos4ABBCC，223(2)12 14xx ，22320 xx整理得：，1212()2xx 解得：，舍，2ACABC题型一题型一 两边及一角两边及一角应用举例题型一题型一 两边及一角两边及一角222132cos49642 7 8()9,14cababC 由余弦定理:222c9 49 641cos.22 3 77abBca 进而3.c 所以练习练习2 23 3sin14CC因为，解且：为锐角，
7、223 313cos1 sin1().1414CC所以应用举例3 378sincos.14ABCabCCB在中，锐角满足，求规律方法规律方法1 1若已知角是两边的夹角则直接运用余弦定理求若已知角是两边的夹角则直接运用余弦定理求出另外一边，然后根据边角关系利用余弦定理求角出另外一边，然后根据边角关系利用余弦定理求角已知两边及一角解三角形的解题思路2 2若已知角是其中一边的对角，可以利用余弦定理若已知角是其中一边的对角，可以利用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解列出关于另一边的一元二次方程求解例例2 2.解解：由余弦定理得：由余弦定理得22222223161222231()()cos()bc
8、aAbc018060AA，018045BB，180180604575CAB 22)13(622)13()6(2cos222222acbcaBCBAbac题型二题型二 已知三边求角已知三边求角623+1ABCabc在中，已知，解三角形.题型二题型二 已知三边求角已知三边求角练习练习B解：解：应用举例22222(+)3,b cabcbcabc由已知可得：，整理可得：2221222bcabcAbcbccos,所以018060AA，.规律方法已知三角形的三边解三角形的方法已知三角形的三边解三角形的方法1 1先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第
9、一个角；再利 用余弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三用余弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角个角2 2利用余弦定理求角时，注意整体代换利用余弦定理求角时，注意整体代换解：由余弦定理得：题型三题型三 判断三角形的形状判断三角形的形状例例3 3222222coscos22bcaacbABbcac，coscosaAbB22222222bcaacbabbcac 22222222()()abcabacb整理得：4422220abb ca c即：2222222()(+)()0ababcab22222()(+)0ababc222220+0ababc或222+abab
10、c 或ABC为等腰三角形或直角三角形规律方法余弦定理判断三角形形状的方法余弦定理判断三角形形状的方法2 2一般地，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，一般地，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，常用余弦定理常用余弦定理1 1用余弦定理将等式转化为边之间的关系式是判断三用余弦定理将等式转化为边之间的关系式是判断三角形形状的常用手段角形形状的常用手段课堂小结课堂小结2222cosabcbcA2222cosbacacB2222coscababC222cos2bcaAbc222cos2acbBac222cos2abcCab22290Ccab22290Ccab22290Ccab两边及夹角两边及夹角（SASSAS）三边求角三边求角（SSSSSS）知三求一知三求一三角形形状三角形形状课后作业1.课后测试2.拓展作业：余弦定理的其他证明方法.
