1、2021届安徽省皖江名校联盟高三第二次联考数学（理）试题一、单选题1已知全集，集合，则如图中阴影部分所表示的集合为（ ）ABCD【答案】A【分析】先求出集合，从而得到 ，图中阴影部分表示的集合为 ，由此能求出结果.【详解】由Venn图知：阴影部分对应的集合为,集合，所以.所以图中阴影部分表示的集合为.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查Venn图、补集、交集，解题的关键是先分析阴影部分表示集合，考查运算求解能力，是基础题.2命题“，”的否定为（ ）A，B，C，D，【答案】D【解析】该题命题的否定是：，特称命题和全程命题的否定，固定的变换方式是：换量词，否结论，不变条件故答案选D3定积分（ ）A
2、BCD【答案】B【分析】由定积分的运算法则，得到，根据定积分的计算和定积分的几何意义，即可求解.【详解】由定积分的运算法则，可得，又由，又由，可得，表示以原点为圆心，半径为的半圆，此半圆的面积为，根据定积分的几何意义，可得，所以.故选：B.【点睛】本题主要考查了定积分的计算，以及定积分的几何意义的应用，其中解答中熟记定积分的运算法则，以及定积分的几何意义是解答的关键，着重考查推理与运算能力.4函数的图象大致是（ ）ABCD【答案】D【分析】判断函数的奇偶性，进而分析数据即可得出结果.【详解】令，则，所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，排除B，C选项，由函数解析式可看出，函数的零点呈周期性出现，
3、且时，函数值在轴上下震荡，幅度越来越小，而当时，函数值在轴上下震荡，幅度越来越大，故排除A，所以选项D正确.故选：D.【点睛】本题考查函数图象的识别，考查奇偶性的判断，考查分析问题能力，属于基础题.5已知命题：表示焦点在轴的正半轴上的抛物线，命题：表示椭圆，若命题“”为真命题，则实数的取值范围是（ ）ABC且D且【答案】C【分析】根据椭圆和抛物线的标准方程和几何性质，分别求得命题和，再结合命题“”为真命题，所以命题和命题均为真命题，即可求解.【详解】对于命题表示焦点在轴的正半轴上的抛物线，所以，对于命题表示椭圆，所以，解得且，因为命题“”为真命题，所以命题和命题均为真命题，所以实数的取值范围是
4、且.故选：C.【点睛】本题主要考查了根据复合命题的真假求解参数的取值范围，其中解答中熟记椭圆与抛物线的几何性质，正确求解两个命题是解答的关键，着重考查推理与运算能力.6围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现黑、白、空三种情况，因此有种不同的情况，我国北宋学者沈括在他的著作梦溪笔谈中也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，下列最接近的是（ ）（注：）ABCD【答案】D【分析】根据题意，取对数得，得到，分析选项，即可求解.【详解】由题意，对于，得，得，可得D中与其最接近.故选：D.【点睛】本题主要考查了对数的运算性质及其应用，其中解答中掌握对
5、数的运算性质是解答的关键，着重考查计算与求解能力，属于基础题.7若定义在上的函数满足，且当时，则满足的值（ ）A恒小于0B恒等于0C恒大于0D无法判断【答案】C【分析】当时，求导，得出导函数恒小于零，得出在内是增函数.再由得的图象关于直线对称，从而得在内是减函数，由此可得选项【详解】当时，则在内是增函数.由得的图象关于直线对称，在内是减函数，.故选：C【点睛】本题考查运用导函数研究函数的单调性，抽象函数的对称性的应用，以及由函数的单调性比较其函数的大小关系，属于中档题8对，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【分析】首先根据不等式恒成立，对二次项系数是否为零进行讨论，结合图
6、形的特征，列出式子求得结果.【详解】对，不等式恒成立，当时，则有恒成立；当，且，解得.实数的取值范围是.故选：B.【点睛】该题考查的是有关不等式恒成立求参数取值范围的问题，涉及到的知识点有分类讨论思想的应用，一元二次不等式恒成立的条件，属于简单题目.9已知，则（ ）ABCD【答案】D【分析】先利用作商法，结合换底公式、基本不等式得到，可得，再由对数的运算求得，从而可得结论.【详解】，因而，即，则，即；而，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查对数的运算，基本不等式的应用，考查了作商法比较大小，属于综合题. 比较两个数的大小主要有四种方法：（1）作差法；（2）作商法；（3）函数单调性法；（4）基本
7、不等式法.10函数在上不单调的一个充分不必要条件是（ ）ABCD【答案】D【分析】求导，由或，则为单调函数解得a的范围，则其补集为不单调的充要条件求解.【详解】因为，所以，当或，为单调函数，则或，所以在上不单调时，的范围为，所以C是充要条件，D是充分不必要条件.故选：D.【点睛】本题主要考查以导数与函数的单调性为载体的逻辑条件的判断，属于中档题.11若函数是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，若函数在区间上恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【分析】判断出的周期，由在区间上的零点个数，结合图象列不等式，由此求得的取值范围.【详解】函数是定义在上的偶函数，可求得，函
8、数，即周期为2，又由函数在区间恰有3个不同的零点，即函数与的图象在区间上有3个不同的交点，又由，则满足且，解得.故选：C【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性、周期性，考查函数零点，属于中档题.12已知函数，若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】A【分析】对任意，总存在，使得成立，等价于的值域是值域的子集，只要求出两函数在上的值域，列出不等式组可求得答案【详解】依题意，则，当时，故函数在上单调递增，当时，；而函数在上单调递减，故，则只需，故，解得，所以实数的取值范围为.故选：A.【点睛】结论点睛：本题考查恒成立问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，（1）若，总有成
9、立，故；（2）若，有成立，故；（3）若，有成立，故；（4）若，有，则的值域是值域的子集二、填空题13已知函数，则的值为_.【答案】3【分析】先判断，代入得.再判断，代入可得答案【详解】，.，.故答案为：3【点睛】本题主要考查分段函数求值，考查对数的运算和对数函数的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力，属于中档题.14已知：，：，若是的必要不充分条件，则的取值范围是_.【答案】【分析】解不等式和，由题意可得是的必要不充分条件，转化为两集合的包含关系，由此可求得实数的取值范围.【详解】因为是的必要不充分条件，所以是的必要不充分条件，解不等式，得，解不等式，即，解得.：，：，所以
10、，即.因此，实数的取值范围是.故答案为：【点睛】本题考查利用充分不必要条件求参数，解答的关键就是转化为集合的包含关系来处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题.15已知定义在上的偶函数满足，且当时，所以在上关于的方程恰有_个不同的实数根.【答案】4【分析】先利用已知条件求出函数的周期，把求方程的实数根问题转化为两个函数的交点个数问题，画图观察图象即可得出结果.【详解】函数的周期为4.又为定义在上的偶函数，当时，所以当时，求方程的实数根问题可转化为函数和图象的交点个数问题，根据的周期性，及在上的解析式，可作出在上的图象，如下图所示，是上的增函数，作出的图象，如下图所示，易知，可得出和的图象
11、上有1个交点，在上有1个交点，在上有1个交点，在上有1个交点，即在上共4个交点.所以关于的方程恰有4个不同的实数根.故答案为：4.【点睛】方法点睛：本题考查求方程解的个数问题.一般的，求方程的解的个数，常用的方法：（1）直接解方程，求出方程的解的个数；（2）作出函数的图象，其图象与轴交点的个数就是方程的解的个数；（3）化方程为方程的解的个数问题，在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，两函数图象的交点个数就是方程的解的个数.16已知函数有三个极值点，则的取值范围是_.【答案】【分析】求导，根据函数有三个极值点，即有三个不同的实根，即有三个不同的实根，由，转化为有两个不等于-1的根，利用数形结
12、合法求解.【详解】由函数，求导，因为函数有三个极值点，所以有三个不同的实根，即有三个不同的实根，由，则有两个不等于-1的根，即有两个不等于-1的根，设，则，当得，当得且，所以当时，当时，作出图象，如图所示：要使有两个不同的根，则满足，.【点睛】本题主要考查导数与函数的极值点以及函数的零点问题，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.三、解答题17已知，设：，成立；：，成立，如果“”为真，“”为假，求实数的取值范围.【答案】【分析】由不等式恒成立问题，构造函数，用配方法求函数最小值，由存在性问题，求，利用单调性求最大值，再由“真假”或“假真”，列不等式组求解【详解】若为真，则对，恒成立，设，配方
13、得，在上的最小值为-3，解得，为真时，.若为真，则，成立，即成立.设，则在上是增函数，的最大值为，为真时，.“”为真，“”为假，与一真一假.当真假时，.当假真时，.综上所述，.【点睛】本题考查了恒成立问题及存在性问题及复合命题及其真假，属于中档题18已知函数在时有最大值为1，最小值为0.（1）求实数的值；（2）设，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由题得，解方程组即得解；（2），在上恒成立，设，则，再求最大值即得解.【详解】（1）函数，在区间上是增函数，故，解得.（2）由已知可得，则，所以不等式，转化为，在上恒成立.设，则，即，在，上恒成立，即：，当时
14、，取得最大值，最大值为，则，即，的取值范围是.【点睛】本题主要考查二次函数的最值问题，考查对数函数的值域的求法，考查二次不等式的恒成立问题的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于较难题.19已知定义在上的函数是奇函数.（1）若关于的方程有正根，求实数的取值范围；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由题意可得，求得，再由（1），求得，检验可得所求值；（2）运用参数分离和换元法、结合指数函数的单调性，以及反比例函数、一次函数的单调性，求得函数的值域，结合恒成立思想，可得所求范围【详解】（1）由题意：因为函数是奇函数，所以，解得， 又，得，解得
15、，当，时，定义域为，所以为奇函数，.，即，有正根，.（2）由，得，所以，.令，则，此时不等式可化为，记，当时，和均为减函数，为减函数，故，恒成立，.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，以及不等式恒成立问题解法，属于中档题对于求不等式恒成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数， 另一端是参数的不等式，便于问题的解决. 但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后,得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究， 就不要使用分离参数法.20已知函数(为自然对数的底数).（1）当时，求在处的切线方程和的单调区
16、间；（2）当时，求整数的最大值.【答案】（1）切线方程为，在上单调递减；（2）最大值为2.【分析】（1）利用导数的几何意义，由点斜式即可求得切线方程；对函数求导，根据导数的正负，判断的单调性；（2）对参数进行分类讨论，对函数进行二次求导，根据函数单调性求参数范围即可.【详解】（1）当时，；所以，故可得切线方程为；设，令，解得，在区间单调递增，在区间单调递减，在上单调递减.（2）时，恒成立，即：，恒成立.又，设，在区间单调递增，在区间单调递减，故.当，即时，故在单调递减.故，若满足题意，只需，解得.故；当，即时，在区间单调递减，且，1.当时，此时在区间单调递减，要满足题意只需，解得，故此时只需.
17、2.当时，因为在区间单调递减，故一定存在，且使得在区间单调递增，单调递减.故要满足题意，只需，即.结合，只需，恒成立即可.只需在时恒成立即可.显然是关于且开口向下的二次函数，无法满足题意.综上所述：满足题意的范围是.又因为，且，故满足题意的整数的最大值为2.【点睛】本题考查导数的几何意义，以及利用单调研究函数的单调性和恒成立问题，属于难题.21新冠肺炎疫情发生后，政府为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额(万元)在的小微企业做统一方案，方案要求同时具备下列两个条件：补助款(万元)随企业原纳税额(万元)的增加而增加；补助款不低于原纳税额的.经测算政府决定采用函数模型
18、(其中为参数)作为补助款发放方案.（1）判断使用参数是否满足条件，并说明理由；（2）求同时满足条件的参数的取值范围.【答案】（1）满足，理由见解析；（2）.【分析】（1）当，求得，得到在为增函数，又由，结合二次函数的性质，即可得到答案；（2）求得，分类讨论求得函数的单调性，得到，再由不等式在上恒成立，求得，即可求解.【详解】（1）当时，所以，可得，所以函数在为增函数，满足条件；又由不等式，可化为，设，可得对称轴为且在为递减函数且，所以恒成立，综上可得，当使用参数时满足条件；（2）由函数，可得，所以当时，满足条件，当时，由，可得，当时，单调递增，所以，解得，综上可得，由条件可知，即不等式在上恒成
19、立，等价于.当时，取最小值12，所以，综上，参数的取值范围是.【点睛】本题主要考查函数的实际应用，以及导数在函数的中的应用，其中解答中正确理解题意，结合导数求得函数的单调性是解答的关键，着重考查推理与运算能力.22已知函数.（1）若的最大值为-1，求的值；（2）若存在实数且，使得，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）求导，分和，两种情况讨论导函数的正负，得出函数的单调性，从而得出函数的最大值，可求得的值；（2）由（1）知，得出函数的单调性.若存在实数，使得，则介于，之间，不妨设，由函数的单调性可得证.【详解】（1）根据题意可得的取值范围为，若，则，所以在上单调递增，无最值，不合题意；若，当时，当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减，故的最大值，解得，符合题意.综上，.（2）若，则由（1）知，所以函数在上单调递增，在上单调递减.若存在实数，使得，则介于，之间，不妨设，在上单调递增，在上单调递减，且，所以当时，由，可得，故，又在上递增，且，所以，所以.同理.所以，解得，不等式得证.【点睛】本题考查运用导函数研究函数的单调性和最值，以及运用导函数证明不等式，属于较难题
