1、2021届江苏省六校高三下学期第四次适应性联考数学试题一、单选题1已知向量集合，则（ ）ABCD【答案】B【分析】由交集定义，得出中同一元素满足的两种表示形式，从而建立等量关系，解方程组可得.【详解】设，则，且，则，且.，解得，则.故选：B.【点睛】与集合中元素有关的题目，首先要确定集合的元素是什么，其次要明确元素满足什么限制条件，最后根据条件列关系式时要注意不同集合中相同字母参数取值的不同.2十六进制是一种逢进的计数制.我国曾在重量单位上使用过十六进制，比如成语“半斤八两”，即十六两为一斤.在现代，计算机中也常用到十六进制，其采用数字和字母共个计数符号.这些符号与十进制的数的对应关系如下表：
2、十六进制十进制例如，用十六进制表示：，则（ ）ABCD【答案】A【分析】由表格中A、B对应的十进制可得，转化为十六进制可得答案.【详解】由表格中A对应的十进制为10，B对应的十进制为11，所以，由十进制表示为，又表格中对应的十进制为14，所以十六进制表示，故选：A.3正三棱锥的高为，侧棱与底面成角，则点到侧面的距离为（ ）ABCD【答案】D【分析】设点在底面的射影为点，可得出侧棱与底面所成的角为，延长交于点，求得，可得出，过点在平面内作，垂足为点，证明出平面，然后利用等面积法求出的长，即为所求.【详解】如下图所示：设点在底面的射影为点，则为等边的中心，且，侧棱与底面所成的角为，延长交于点，则为
3、的中点，平面，平面，所以，所以，所以，过点在平面内作，垂足为点，为的中点，则，同理可得，平面，平面，平面，所以，线段的长度即为点到平面的距离，由等面积法可得，可得.故选：D.【点睛】方法点睛：求点到平面的距离，方法如下：（1）等体积法：先计算出四面体的体积，然后计算出的面积，利用锥体的体积公式可计算出点到平面的距离；（2）空间向量法：先计算出平面的一个法向量的坐标，进而可得出点到平面的距离为.4用有机溶剂萃取水溶液中的溶质是化学中进行物质分离与提纯的一种重要方法.根据能斯特分配定律，一次萃取后，溶质在有机溶剂和水中的物质的量浓度(单位：)之比为常数，并称为该溶质在水和有机溶剂中的分配常数.现用
4、一定体积的有机溶剂进行次萃取，每次萃取后溶质在水溶液中的残留量为原物质的量的倍，溶质在水溶液中原始的物质的量浓度为，该溶质在水和有机溶剂中的分配常数为，则至少经过几次萃取，溶质在水溶液中的物质的量浓度低于？（ ）(假设萃取过程中水溶液的体积不变.参考数据：，.)A次B次C次D次【答案】C【分析】审题确定常数，分配常数，根据每次萃取后溶质在水溶液中的残留量为原物质的量的倍，建立函数模型与不等关系，利用参考数据求解即可.【详解】由题意知，则，设经过n次萃取，溶质在水溶液中的物质的量浓度低于，则，解得，由换底公式得.则至少经过11次萃取，溶质在水溶液中的物质的量浓度低于.故选：C.【点睛】解决实际应
5、用问题的一般步骤：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义.5展开式中的常数项为A1B46C4245D4246【答案】D【详解】常数项为6学校组织开展劳动实践，高二某班名学生利用假期时间前往敬老院消防队等场所劳动服务.经统计，该名学生的劳动服务时长平均为小时，标准差为.后来经核实，发现统计的甲乙两名同学的劳动服务时长有误.甲同学的劳动服务时长实际为小时，被误统计为小时；乙同学的劳动服务时
6、长实际为小时，被误统计为小时.更正后重新计算，得到标准差为，则与的大小关系为（ ）ABCD无法判断【答案】C【分析】由已知20名学生的平均时长不变，由方差公式分别计算出可得答案.【详解】由于甲同学的劳动服务时长实际为小时，被误统计为小时，乙同学的劳动服务时长实际为小时，被误统计为小时，所以平均时长不变， 设20名学生的平均时长为，用分别表示甲乙两名学生原来错误的服务时长，用分别表示甲乙两名学生正确的服务时长，分别表示余下18名学生的劳动服务时长，所以，所以只比较与即可，因为，所以，.故选：C.7已知向量，且对任意，恒成立，则（ ）ABCD【答案】C【分析】由已知两边平方得，可判断A；再由得，结
7、合可判断B；由可判断C；由可判断D.【详解】由得，即对任意恒成立，所以，所以，所以A错误；由得，由，所以B错误；由，得，所以C正确；由，所以D错误.故选：C.【点睛】本题考查了向量的模长和数量积的有关运算，解题的关键点是判断出，考查了学生分析问题、解决问题的能力及计算能力.8在平面直角坐标系中，设点是抛物线上的一点，以抛物线的焦点为圆心、以为半径的圆交抛物线的准线于，两点，记，若，且的面积为，则实数的值为（ ）ABCD【答案】A【分析】根据且sin2+cos21求出，结合图象可知，BFC为等边三角形，求出圆的半径，以及抛物线的定义，即可求出SABC|BC|x0|BC|FA|，解得即可求出p的值
8、【详解】因为，且sin2+cos21，解得sin=，cos，结合图象可知，BFC为等边三角形，|FD|p，|BC|FB|p，即圆的半径|FA|p，设A（x0，y0），SABC|BC|x0|BC|FA|pp，解得p8，故选A【点睛】本题考查了圆和抛物线的位置关系，以及抛物线的定义和三角函数的化简和计算，三角形的面积，考查了运算能力，属于中档题二、多选题9已知、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ）A“经过两条平行直线，有且仅有一个平面”是空间图形的基本事实（公理）之一B“若，则”是平面与平面平行的性质定理C“若，则”是直线与平面平行的判定定理D若，则【答案】CD【分析】根据
9、立体几何中的公理可判断A选项的正误；利用平面与平面平行的性质定理可判断B选项的正误；利用线面平行的判定定理可判断C选项的正误；由线面平行的性质和判定定理可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，“经过两条平行直线，有且仅有一个平面”是该公理的一个推理，A选项错误；对于B选项，“若，则”是平面与平面平行的一个性质，而不是平面与平面平行的性质定理，B选项错误；对于C选项，“若，则”是直线与平面平行的判定定理，C选项正确；对于D选项，若，设过直线的平面分别交、于直线、，如下图所示：，则，；若，则.综上所述，D选项正确.故选：CD.【点睛】方法点睛：对于空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是“推理论
10、证加反例推断”，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体（如正方体、正四面体等）为模型进行推理或者反驳10若，且，则（ ）ABCD【答案】ABCD【分析】将变形为和，借助基本不等式与1的代换可解.【详解】， ，且.则，且.对A： ，当时等号成立，A正确；对B： ，解得，B正确；对C：，则，当时等号成立，C正确；对D：，当时等号成立，D正确.故选：ABCD.【点睛】二元条件最值问题的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，消元，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利
11、用常数“1”代换的方法，根据已知条件，构造和或积为常数的式子, 然后利用均值不等式求解最值.11已知椭圆：的左右焦点分别为，离心率为，上顶点为，且的面积为.双曲线与椭圆的焦点相同，且的离心率为，为与的一个公共点，若，则（ ）ABCD【答案】AC【分析】先由的面积为，得椭圆离心率，再在中用椭圆、双曲线定义分别表示离心率，由余弦定理建立等量关系，最后消元求解双曲线离心率.【详解】的面积为，解得，则，为与的一个公共点，不妨设M在第一象限，在中，设，则由椭圆定义得，即，由双曲线定义得，即，又，则由余弦定理得，由得，代入上式化简得，解得.故，AC正确，BD错误.故选：AC.【点睛】椭圆与双曲线的离心率是
12、重要的几何性质，在焦点三角形中求解离心率问题，要注意定义的应用，即椭圆中，双曲线中.12设函数，下列说法正确的是（ ）A若，是奇函数B若，在单调递减C若，在有且仅有一个零点D若，【答案】BC【分析】取不同的值时，对每一个选项逐个判断.【详解】选项A，若时，又，故A不下正确；选项B，时，故B正确；选项C，时，函数在R上单调递减，所以函数在有且仅有一个零点；选项D，取，当时，若成立，即成立.令，所以，故在是单调递增，所以时，不成立.故选：BC.三、填空题13国际象棋中骑士(Knight)的移动规则是沿着格或格的对角移动.若骑士限制在图中的格内按规则移动，存在唯一一种给方格标数字的方式，使得骑士从左
13、上角标的方格内出发，依次不重复经过、，到达右下角标的方格内，那么图中处所标的数应为_.【答案】【分析】根据题意，画出线路图，结合题中的数字即可求出处的数字.【详解】如下图所示：依次不重复经过、，到达右下角标的方格内，且路线是唯一的，故处应填.故答案为：.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于作出线路，根据线路填入表格的数字，进而得出结论.14写出一个使得成立的非零复数_.【答案】(或)【分析】首先由复数非零，化简方程，再设出复数一般形式，代入方程，根据两复数相等条件建立方程组求解.【详解】，且，设， ，则，解得，或.所以，非零复数，或.故答案为：(或).【点睛】复数中求解参数(或范围)，在数量
14、关系上表现为约束参数的方程(或不等式).由于复数无大小之分，所以问题中的参数必为实数，因此，确定参数(或范围)的基本思想是复数问题实数化.15在长方体中，过点A且与直线平行的平面将长方体分成两部分.现同时将两个球分别放入这两部分几何体内，则在平面变化的过程中，这两个球的半径之和的最大值为_.【答案】【分析】用的三角函数将两圆的半径分别表示出来，构造新函数，通过函数单调性求得问题的最值.【详解】如图所示：平面将长方体分成两部分，有可能在平面上或平面上，根据对称性知，两球半径和的最大值是相同的，故仅考虑在平面上的情况，延长与交于点，作于点，设，圆对应的半径为，根据三角形内切圆的性质，在中，则，又当
15、与重合时，取得最大值，由内切圆等面积法求得，则设圆对应的半径为，同理可得，又，解得.故，设，则，由对号函数性质易知，函数单减，则，即最大值为故答案为：【点睛】方法点睛：借助三角函数表示边长，从而把问题转化为函数问题，借助单调性解决最值问题.四、双空题16已知数列为正项数列，为的前项和，且满足，则分别以、为三边边长的三角形有一内角为定值_，的通项公式为_.【答案】 【分析】设以为边长的对角为，利用余弦定理求出的值，结合的取值范围可求得的值；考虑，、为射线上的点，满足，分析得出，然后在中利用正弦定理可求得的表达式.【详解】设以为边长的对角为，由余弦定理可得，故；如下图所示：考虑，、为射线上的点，满
16、足，由余弦定理可得，因为，则为等边三角形，则，当时，则为等腰三角形，所以，在中，由正弦定理可得，因此，.故答案为：；.【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定
17、理.五、解答题17设是集合中所有的数从小到大排列成的数列，即，.将各项按照上小下大左小右大的原则写成如下的三角形数表.35 69 10 12 （1）写出该三角形数表的第四行第五行各数(不必说明理由)，并求；（2）设是该三角形数表第行的个数之和所构成的数列，求的前项和.【答案】（1）答案见解析；（2）.【分析】（1）第一行：；第二行：，；第三行：，；找到规律，由规律写出以下各行各数.规律即：在该三角形数表中第行中有个数，其中第个数为，判断在第几行第几个数即可；（2）写出的通项公式，再用错位相减法求和.【详解】（1）第四行：17 18 20 24，第五行：33 34 36 40 48.在该三角形数
18、表中第行中有个数，其中第个数为，设，则，解得，从而.（2），故，从而.【点睛】(1)数列由前几项找规律写通项，要注意统一形式.(2)错位相减法是数列求和的基本方法之一，它适用于由等差与等比数列的相应项积构成的数列求和问题，特别要注意以下两个方面的正确运算：一是两式相减后系数的正负，二是等比求和时项数的计算.18如图，在水平桌面上放置一块边长为的正方形薄木板.先以木板的边为轴，将木板向上缓慢转动，得到平面，此时的大小为.再以木板的边为轴，将木板向上缓慢转动，得到平面，此时的大小也为.（1）求整个转动过程木板扫过的体积；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）
19、确定圆心角及半径计算即可；（2）建立空间直角坐标系，然后求出平面的法向量，然后计算夹角即可.【详解】（1）整个转动过程木板扫过的几何体由两个底面为圆心角为，半径为的扇形，高为的直棱柱组成，故其体积.（2）以为坐标原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设是平面的一个法向量，则，即，不妨令，可取，同理平面的一个法向量，设平面与平面所成锐二面角为，则，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.19在中，角，所对的边分别为，的周长为.（1）求；（2）求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由，转化为，结合二倍角公式和两角和与差的三角函数转化为，再利用正弦定理
20、结合的周长为求解；.（2）由（1）利用基本不等式得到，再由平方，将余弦定理代入得到求解.【详解】（1）因为，所以，所以，化简得，又因为，故，在中，由正弦定理得，故，从而，即.（2）由于，所以，当且仅当时等号成立，而，在中，由余弦定理得，故，所以，故面积的最大值为.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是抓住，这一信息，将中的角，利用余弦定理转化为边，再利用基本不等式而得解.20郑州中原福塔的外立面呈双曲抛物面状，造型优美，空中俯瞰犹如盛开的梅花绽放在中原大地，是现代建筑与艺术的完美结合.双曲抛物面又称马鞍面，其在笛卡儿坐标系中的方程与在平面直角坐标系中的双曲线方程类似.双曲线在物理学中具有很多应
21、用，比如波的干涉图样为双曲线反射式天文望远镜利用了其光学性质等等.（1）已知，是在直线两侧且到直线距离不相等的两点，为直线上一点.试探究当点的位置满足什么条件时，取最大值；（2）若光线在平滑曲线上发生反射时，入射光线与反射光线关于曲线在入射点处的切线在该点处的垂线对称.证明：由双曲线一个焦点射出的光线，在双曲线上发生反射后，反射光线的反向延长线交于双曲线的另一个焦点.【答案】（1）当的位置使得为的平分线时，取最大值；（2）证明见解析.【分析】（1）作点A关于直线l对称点，直线与x轴的交点即为取最大值时的点P，由三角形两边之差小于第三边可证；（2）设入射光线从出射，入射点，则点在（曲线在入射点处
22、的）切线上，先证明是切线上唯一使得取最大值的点，再由结论（1）可得切线即的角平分线，即反射光线的反向延长线交于双曲线的另一个焦点.【详解】（1）不妨设点到直线的距离比点到直线的距离大，作点关于直线的对称点.当，三点共线，即为的平分线时， 有，当，三点不共线，即不是的平分线时，取这样的点，则，能构成一个三角形，故(两边之差小于第三边)，因此，当且仅当的位置使得为的平分线时，取最大值.（2）不妨设双曲线的焦点在轴上，实半轴长为，虚半轴长为b，左右焦点分别为，入射光线从出射，入射点，反射光线，双曲线在点处的切线，在点处的垂线，由光的反射定律，关于对称，故，关于对称，要证：反射光线过点，只要证：是的角
23、平分线，定义双曲线焦点所在区域为双曲线的内部，渐近线所在区域为双曲线的外部，由双曲线的定义，双曲线上任意一点满足方程为，若，满足不等式，即与焦点同在双曲线内部；若，满足不等式，即在双曲线外部.故：对于双曲线内部的任意一点，有，对于双曲线外部的任意一点，有，又是双曲线在点处的切线，故在上有且仅有一点使得，上其他点均有，故是上唯一使得取最大值的点，又，到直线距离不相等，根据(1)中结论，可知是的角平分线，故反射光线过点，命题得证. 【点睛】设双曲线左右焦点分别为，则有：若为双曲线上任意一点，则，且；若为双曲线内部任意一点，则，且；若为双曲线外部任意一点，则，且.21已知函数.（1）求的单调区间；（
24、2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）.【分析】（1）连续求导研究单调性，注意观察导函数零点；（2）分离参数法将恒成立问题转化为函数最值问题求解.【详解】（1）的定义域，令，令，当时，当时，所以在单调递增，在单调递减，又，故，即当时，所以在单调递减，于是当时，当时，所以当时，当时，所以的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）不等式等价于，又，故，设，又，故当时，所以在单调递减，于是，故，所以的取值范围为.【点晴】恒成立问题的常见解决方法：（1）转化为基本函数（曲线）问题：数形结合，利用函数图象或曲线性质求解，如一次函数端点法，二次函数判别式
25、、指对函数切线法、根式平方联想圆等等；（2）分离参数法：转化为函数最值问题求解；（3）变换主元法：参数与变量角色转化，以参数为自变量，构建函数再求解.22品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，通常采用的测试方法如下：拿出（且）瓶外观相同但品质不同的酒让品酒师品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序.这称为一轮测试，根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.现分别以、表示第一次排序时被排在、的种酒在第二次排序时的序号，并令，则是对两次排序的偏离程度的一种描述.（1）证明：无论取何值，的可能取值都为非负偶数；（2）取，假设在
26、品酒师仅凭随机猜测来排序的条件下，、等可能地为、的各种排列，且各轮测试相互独立.求的分布列和数学期望；若某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有，则认为该品酒师有较好的酒味鉴别功能.求出现这种现象的概率，并据此解释该测试方法的合理性.【答案】（1）证明见解析；（2）分布列答案见解析，数学期望为；概率为，解释答案见解析.【分析】（1）分析出且与的奇偶性一致，右由此可得出结论；（2）由题意可知，随机变量的可能取值有、，分别计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，并由此计算出的值；记“在相继进行的三轮测试中都有”为事件，计算出的值，由此可得出结论.【详解】（1）首先有，去绝对值不影响数
27、的奇偶性，故与的奇偶性一致，而为偶数，故的可能取值都为非负偶数；（2）由（1）知当时，的可能取值为、，所以的分布列为从而的数学期望；记“在相继进行的三轮测试中都有”为事件，“在某轮测试中有”为事件，则，又各轮测试相互独立，因为表示仅凭随机猜测得到较低偏离程度的结果的概率，而，该可能性非常小，所以我们可以认为该品酒师确实有较好的酒味鉴别能力，而不是靠随机猜测，故这种测试方法合理.【点睛】思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布；（2）求出每一个随机变量取值的概率；（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率.
