1、绝密启用前数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1已知集合A，B，则ABABCD2已知(34i)z1i，其中i为虚数单位，则在复平面内z对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知向量，满足1，2，且，则与的夹角为ABCD4在平面直角坐标系xOy中，若点P(，0)到双曲线C：的一条渐近线的距离为6，则双曲线C的离心率为A2B4CD5在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若2bco
2、sC2ac，则角B的取值范围是A(0，B(0，C，)D，)6设，则AabcBbacCacbDcab7在平面直角坐标系xOy中，已知圆A：，点B(3，0)，过动点P引圆A的切线，切点为T若PTPB，则动点P的轨迹方程为ABCD8已知奇函数的定义域为R，且若当x(0，1时，则的值是A3B2C2D3二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）95G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应，间接带动国民经济各行业
3、的发展，创造出更多的经济增加值如图，某单位结合近年数据，对今后几年的5G经济产岀做出预测由上图提供的信息可知A运营商的经济产出逐年增加B设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D信息服务商与运营商的经济产岀的差距有逐步拉大的趋势10将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则A函数的图象关于直线对称B函数的图象关于点(，0)对称C函数在区间(，)上单调递增D函数在区间(0，)上有两个零点11已知，则A的值为2B的值为16C的值为5D的值为12012记函数与的定义域的交集为I若存在I，使得对任意I，不等式恒成立，则称(，)构成“M函数对”下列
4、所给的两个函数能构成“M函数对”的有A，B，C，D，三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分请把答案填写在答题卡相应位置上）13如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水若放入一个半径为r的实心铁球（小球完全浸入水中），水面高度恰好升高，则 14被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前287前212），是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学第13题家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形在平面直角坐标系心中，已知
5、直线l：y4与抛物线C：交于A，B两点，则弦与拋物线C所围成的封闭图形的面积为 15已知数列的各项均为正数，其前n项和为，且，n，则 ；若2，则 （本题第一空2分，第二空3分）16若不等式对一切xR恒成立，其中a，bR，e为自然对数的底数，则ab的取值范围是 四、解答题（本大题共6小题，共计70分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分10分）已知向量(2cosx，1)，(sinx，2cos2x)，xR，设函数（1）求函数的最小正周期；（2）若a，且，求cos2a的值18（本小题满分12分）已知数列是公比为2的等比数列，其前n项和为，（1）在，这三个条
6、件中任选一个，补充到上述题干中求数列的通项公式，并判断此时数列是否满足条件P：任意m，n，均为数列中的项，说明理由；（2）设数列满足，n，求数列的前n项和注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分19（本小题满分12分）为调查某校学生的课外阅读情况，随机抽取了该校100名学生（男生60人，女生40人），统计了他们的课外阅读达标情况（一个学期中课外阅读是否达到规定时间），结果如下：是否达标性别不达标达标男生3624女生1030（1）是否有99%的把握认为课外阅读达标与性别有关?附：P(k)0.0500.0250.0100.0050.001k3.8415.0246.6357.8
7、7910.828（2）如果用这100名学生中男生和女生课外阅读“达标”的频率分别代替该校男生和女生课外阅读“达标”的概率，且每位学生是否“达标”相互独立现从该校学生中随机抽取3人（2男1女），设随机变量X表示“3人中课外阅读达标的人数”，试求X的分布列和数学期望20（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ADBC，ABBCPA1，AD2，PADDAB90，点E在棱PC上，设CECP（1）求证：CDAE；（2）记二面角CAED的平面角为，且，求实数的值21（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：（1）设椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，T是椭圆
8、C上的一个动点，求的取值范围；（2）设A(0，1)，与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于B，D两点，若ABD是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l的方程22（本小题满分12分）已知函数，kR（1）当k2时，求函数的单调区间；（2）当0x1时，恒成立，求k的取值范围；（3）设n，求证：江苏省南京市2021届高三上学期期初考试数学试题20209一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1已知集合A，B，则ABABCD答案：C解析：集合A，集合A，又B，AB，故选C2已知(34i)z1i，其中i为虚数单位
9、，则在复平面内z对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限答案：B解析：，故在复平面内z对应的点为(，)，在第二象限，故选B3已知向量，满足1，2，且，则与的夹角为ABCD答案：D解析：，故与的夹角为，故选D4在平面直角坐标系xOy中，若点P(，0)到双曲线C：的一条渐近线的距离为6，则双曲线C的离心率为A2B4CD答案：A解析：双曲线C：的一条渐近线为，则，解得，故选A5在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若2bcosC2ac，则角B的取值范围是A(0，B(0，C，)D，)答案：A解析：2bcosC2ac，2sinBcosC2sinAsinC，故cosB，0B，故选A6设
10、，则AabcBbacCacbDcab答案：C解析：98，3，故，从而有，故选C7在平面直角坐标系xOy中，已知圆A：，点B(3，0)，过动点P引圆A的切线，切点为T若PTPB，则动点P的轨迹方程为ABCD答案：C解析：设P(x，y)，PTPB，PT22PB2，整理得：，故选C8已知奇函数的定义域为R，且若当x(0，1时，则的值是A3B2C2D3答案：B解析：根据奇函数，满足，可知函数的周期为4，故选B二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）95G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、
11、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值如图，某单位结合近年数据，对今后几年的5G经济产岀做出预测由上图提供的信息可知A运营商的经济产出逐年增加B设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D信息服务商与运营商的经济产岀的差距有逐步拉大的趋势答案：ABD解析：从图表中可以看出2029年、2030年信息服务商在总经济产出中处于领先地位，C错误，故选ABD10将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则A函数的图象关于直线对称B函数的图象关于点(，0
12、)对称C函数在区间(，)上单调递增D函数在区间(0，)上有两个零点答案：ACD解析：可得，当，故A正确；当，故B错误；当(，)，(，0)，故C正确；当(0，)，(，)，故D正确故选ACD11已知，则A的值为2B的值为16C的值为5D的值为120答案：ABC解析：令x0，得，故A正确；，故，B正确；令x1，得，又，故C正确；令x1，得，由得：，D错误故选ABC12记函数与的定义域的交集为I若存在I，使得对任意I，不等式恒成立，则称(，)构成“M函数对”下列所给的两个函数能构成“M函数对”的有A，B，C，D，答案：AC解析：选项B满足，故不成立；选项D，存在两个非零的零点，故不成立故选AC三、填空
13、题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分请把答案填写在答题卡相应位置上）13如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水若放入一个半径为r的实心铁球（小球完全浸入水中），水面高度恰好升高，则 答案：2解析：14被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前287前212），是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形在平面直角坐标系心中，已知直线l：y4与抛物线C：交于A，B两点，则弦与拋物线C
14、所围成的封闭图形的面积为 答案：解析：首先得到弦的两个端点的坐标分别为(4，4)，(4，4)，其次得在该两点处的抛物线的切线方程分别为y2x4，y2x4，从而抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积为，故弦与拋物线C所围成的封闭图形的面积为15已知数列的各项均为正数，其前n项和为，且，n，则 ；若2，则 （本题第一空2分，第二空3分）答案：4；220解析：根据，得，得，故；当2，可得该数列满足，且与均为公差为2的等差数列，即可求得22016若不等式对一切xR恒成立，其中a，bR，e为自然对数的底数，则ab的取值范围是 答案：(，1解析：令，恒成立，显然a0，则，当a0时，在(，0)
15、递增，(0，)递减，符合题意，a0时，在(，)递减，(，0)递增，(0，)递减x，故符合题意，综上，a0，b1，因此ab(，1四、解答题（本大题共6小题，共计70分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分10分）已知向量(2cosx，1)，(sinx，2cos2x)，xR，设函数（1）求函数的最小正周期；（2）若a，且，求cos2a的值解：因为m(2cosx，1)，n(sinx，2cos2x)，所以f(x)mn12sinxcosx2cos2x1sin2xcos2x2sin(2x)（1）T（2）由f()，得sin(2)由，得2，所以cos(2)，从而co
16、s2cos(2)cos(2)cossin(2)sin18（本小题满分12分）已知数列是公比为2的等比数列，其前n项和为，（1）在，这三个条件中任选一个，补充到上述题干中求数列的通项公式，并判断此时数列是否满足条件P：任意m，n，均为数列中的项，说明理由；（2）设数列满足，n，求数列的前n项和注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分解：（1）选，因为S1S32S22，所以S3S2S2S12，即a3a22，又数列an是公比为2的等比数列，所以4a12a12，解得a11，因此an12n12n1此时任意m，nN*，aman2m12n12mn2，由于mn1N*，所以aman是数列a
17、n的第mn1项，因此数列an满足条件P选，因为S3，即a1a2a3，又数列an是公比为2的等比数列，所以a12a14a1，解得a1，因此an2n1此时a1a2a1an，即a1a2不为数列an中的项，因此数列an不满足条件P选，因为a2a34a4，又数列an是公比为2的等比数列，所以2a14a148a1，又a10，故a14，因此an42n12n1此时任意m，nN*，aman2m12n12mn2，由于mn1N*，所以aman是为数列an的第mn1项，因此数列an满足条件P（2）因为数列an是公比为2的等比数列，所以2，因此bnn2n1所以Tn120221322n2，则2Tn121222(n1)2n
18、2，两式相减得Tn121222n2n2(1n)21，所以Tn(n1)2119（本小题满分12分）为调查某校学生的课外阅读情况，随机抽取了该校100名学生（男生60人，女生40人），统计了他们的课外阅读达标情况（一个学期中课外阅读是否达到规定时间），结果如下：是否达标性别不达标达标男生3624女生1030（1）是否有99%的把握认为课外阅读达标与性别有关?附：P(k)0.0500.0250.0100.0050.001k3.8415.0246.6357.87910.828（2）如果用这100名学生中男生和女生课外阅读“达标”的频率分别代替该校男生和女生课外阅读“达标”的概率，且每位学生是否“达标”
19、相互独立现从该校学生中随机抽取3人（2男1女），设随机变量X表示“3人中课外阅读达标的人数”，试求X的分布列和数学期望解：（1）假设H0：课外阅读达标与性别无关，根据列联表，求得211.8366.635，因为当H0成立时，26.635的概率约为0.01，所以有99%以上的把握认为课外阅读达标与性别有关（2）记事件A为：从该校男生中随机抽取1人，课外阅读达标；事件B为：从该校女生中随机抽取1人，课外阅读达标由题意知：P(A)，P(B)随机变量X的取值可能为0，1，2，3P(X0)(1)2(1)，P(X1)C(1)(1)(1)2，P(X2)()2(1)C(1)，P(X3)()2所以随机变量X的分布
20、列为：X0123P期望E(X)01231.5520（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ADBC，ABBCPA1，AD2，PADDAB90，点E在棱PC上，设CECP（1）求证：CDAE；（2）记二面角CAED的平面角为，且，求实数的值（1）证明：因为PAD90，所以PAAD因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PA平面PAD，所以PA平面ABCD又CD平面ABCD，所以CDPA在四边形ABCD中，AD/BC，DAB90，所以ABC90，又ABBC1，所以ABC是等腰直角三角形，即BACCAD45，AC在CAD中，CAD45，AC，AD2，所
21、以CD，从而AC2CD24AD2所以CDAC又ACPAA，AC，PA平面PAC，所以CD平面PAC又AE平面PAC，所以CDAE（2）解：因为PA平面ABCD，BAAD，故以，为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系因为ABBCPA1，AD2，所以A(0，0，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，则(1，1，0)，(0，2，0)因为点E在棱PC上，且CECP，所以，设E(x，y，z)，则(x1，y1，z)(1，1，1)，故E(1，1，)，所以(1，1，)由（1）知，CD平面PAC，所以平面ACE的一个法向量为n(1，1，0)设平面AED的法向量为m(x1，y1，z1)，由
22、得令z11，所以平面AED的一个法向量为m(，0，1)因此|cos|cos|，化简得3840，解得或2因为E在棱PC上，所以0，1，所以所以当|cos|时，实数的值为21（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：（1）设椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，T是椭圆C上的一个动点，求的取值范围；（2）设A(0，1)，与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于B，D两点，若ABD是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l的方程解：（1）因为椭圆C：y21，所以F1(，0)，F2(，0)设T(x0，y0)，则(x0，y0)(x0，y0)x02y023因为点T(x0，y0)在椭圆C上，即y021
23、，所以x022，且x020，4，所以的取值范围是2，1（2）因为直线l与坐标轴不垂直，故设直线l方程ykxm(m1，k0)设B(x1，y1)，(x2，y2)由得(14k2)x28kmx4m240，所以x1x2，x1x2因为ABD是以A为直角顶点的等腰直角三角形，所以ABAD，即0，因此(y11)(y21)x1x20，即(kx1m1)(kx2m1)x1x20，从而(1k2)x1x2k(m1)(x1x2)(m1)20，即(1k2)k(m1)(m1)20，也即4(1k2)(m1)8k2m(14k2)(m1)0，解得m又线段BD的中点M(，)，且AMBD，所以，即3m14k2，解得k又当k，m时，64
24、k2m24(14k2)(4m24)0，所以满足条件的直线l的方程为yx.22（本小题满分12分）已知函数，kR（1）当k2时，求函数的单调区间；（2）当0x1时，恒成立，求k的取值范围；（3）设n，求证：解：（1）当k2时，f(x)2xxlnx，f(x)1lnx，由f(x)0，解得0xe；由f(x)0，解得xe，因此函数f(x)单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，)（2）f(x)kxxlnx，故f(x)k1lnx当k1时，因为0x1，所以k10lnx，因此f(x)0恒成立，即f(x)在(0，1上单调递增，所以f(x)f(1)k恒成立当k1时，令f(x)0，解得xek1(0，1)当x(0，ek1)，f(x)0，f(x)单调递增；当x(ek1，1)，f(x)0，f(x)单调递减；于是f(ek1)f(1)k，与f(x)k恒成立相矛盾综上，k的取值范围为1，)（3）由（2）知，当0x1时，xxlnx1令x(nN*)，则lnn1，即2lnnn21，因此所以
