1、2021届江苏省南通市通州区高三上学期9月第一次诊断测试数学试题一、单选题1函数的定义域为（ ）ABCD【答案】B【解析】根据函数解析式求定义域即可.【详解】由解析式知：，解之得：，故选：B【点睛】本题考查了具体函数的定义域求法，属于简单题.2已知，则下列命题正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】B【解析】利用不等式的性质，结合特殊值法即可判断选项的正误.【详解】A选项，故A错误；B选项，有，即有，故B正确；C选项，故C错误；D选项，时不等式不成立，故D错误；故选：B【点睛】本题考查了不等关系的判断，结合不等式性质、特殊值法等知识的应用，属于简单题.3集合M=的非空子集个数是（
2、 ）A3B7C15D31【答案】C【解析】根据集合描述求集合，由集合中元素的个数即可求非空子集个数.【详解】由M=知：非空子集个数为：，故选：C【点睛】本题考查了集合中子集个数，利用已知集合求其元素的个数，进而确定非空子集的个数，属于简单题.4已知，则的大小关系是（ ）ABCD【答案】D【解析】根据对数、指数的性质比较大小即可.【详解】，故选：D【点睛】本题考查了指数、对数比较大小，根据对应函数的性质结合边界值0、1比较大小，属于简单题.5函数在其定义域上的图像大致是（ ）ABCD【答案】C【解析】利用函数的奇偶性，以及特殊点的函数值符号即可由排除法选出正确图象.【详解】，所以函数是奇函数，图
3、象关于原点对称，故排除选项，因为当时，故在区间与轴有两个交点，故 排除 故选：C【点睛】本题主要考查了根据函数的解析式选择正确的图象，属于中档题.6函数的单调减区间为（ ）ABCD和【答案】A【解析】求出导函数，由，从而可得答案.【详解】因为，所以由，所以函数的单调减区间为，故选：A.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，解题的关键是熟练掌握求导公式，属于基础题.7某种物体放在空气中冷却，如果原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度(单位：)满足：.若将物体放在的空气中从分别冷却到和所用时间为，则的值为(取)（ ）ABCD【答案】C【解析】根据题中所给函数模型，分别求出，再由对数的
4、运算，即可得出结果.【详解】若物体放在的空气中从分别冷却到，则有，即，则，解得；若物体放在的空气中从分别冷却到，则有，即，则，解得；因此.故选：C.【点睛】本题主要考查对数的运算，考查给定函数模型的应用，属于常考题型.8已知函数时，都有，则实数a的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】且，都有，等价于在上单调递增，只需恒成立即可.【详解】，令，且，都有，在上单调递增，即恒成立，即，故选：D.【点睛】本题主要考查函数单调性的定义，考查利用导数研究函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于中档题.二、多选题9下列命题正确的是（ ）A“”是“”的充分不必要条件B“”是“”的必要不充分条件C命题“”的
5、否定是“，使得”D设函数的导数为，则“”是“在处取得极值”的充要条件【答案】AB【解析】根据定义法判断是否为充分、必要条件，由全称命题的否定是，否定结论，即可知正确的选项.【详解】A选项中，但或，故A正确；B选项中，当时有，而必有，故B正确；C选项中，否定命题为“，使得”，故C错误；D选项中，不一定有在处取得极值，而在处取得极值则，故D错误；故选：AB【点睛】本题考查了充分、必要条件的判断以及含特称量词命题的否定，属于简单题.10设，则下列不等式一定成立的是（ ）ABCD【答案】BC【解析】对选项A，利用做差法即可判断；对选项B，利用指数函数的性质即可判断，对选项C，利用基本不等式即可判断，对
6、选项D，利用赋值法即可判断.【详解】对选项A，因为，所以，.所以，故A错误.对选项B，因为，所以，即，故B正确.对选项C，因为，所以， 故C正确.对选项D，设，满足，此时，不满足，故D错误.故选：BC【点睛】本题主要考查利用作差法，基本不等式法和赋值法比较大小，属于简单题.11定义在R上的奇函数满足，则（ ）A函数的图象关于原点对称B函数的图象关于直线对称C函数是周期函数且对于任意，成立D当时，则函数在区间上单调递减(其中e为自然对数的底数)【答案】ABD【解析】由函数是奇函数，可判断A；由，可得函数的图象关于直线对称，可判断B；因为，可判断C；当时，由函数的奇偶性、单调性和周期性可判断D.【
7、详解】定义在R上的函数是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，故A正确；因为函数满足，函数的图象关于直线对称，故B正确；因为，所以函数的周期为4，故C不正确；当时，且在上单调递增，因为函数是奇函数，所以函数在上单调递增，又函数关于直线对称，所以函数在上单调递减，所以，又函数的周期为4，所以，所以函数在区间上单调递减，故D正确；故选：ABD.【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性、单调性、周期性，以及对称性，属于中档题.12已知函数(n为正整数)，则下列判断正确的是（ ）A函数始终为奇函数B当n为偶数时，函数的最小值为4C当n为奇数时，函数的极小值为4D当时，函数的图象关于直线对称【答案】BC【解析】由
8、已知得，分n为偶数和n为奇数得出函数的奇偶性，可判断A和；当n为偶数时，运用基本不等式可判断B；当n为奇数时，令，则，构造函数，利用其单调性可判断C；当时，取函数上点，求出点P关于直线对称的对称点，代入可判断D.【详解】因为函数(n为正整数)，所以，当n为偶数时，函数是偶函数；当n为奇数时，函数是奇函数，故A不正确；当n为偶数时，所以，当且仅当时，即取等号，所以函数的最小值为4，故B正确；当n为奇数时，令，则，函数化为，而在上单调递增，在上单调递递减，所以在时，取得极小值，故C正确；当时，函数上点，设点P关于直线对称的对称点为，则，解得，即，而将代入不满足，所以函数的图象不关于直线对称，故D不
9、正确，故选：BC【点睛】本题考查综合考查函数的奇偶性，单调性，对称性，以及函数的最值，属于较难题.三、填空题13已知函数，若，则实数_.【答案】【解析】根据分段函数各分支上的性质有，结合解析式得即可求.【详解】在不同分支上是单调的，有，即，解之得：，（舍去），故答案为：【点睛】本题考查了利用分段函数各分支的性质，根据函数的等量关系，结合函数解析式求参数值，属于简单题.14若，则的最小值是_.【答案】【解析】利用“1”的代换，结合基本不等式求的最小值.【详解】由题意知：，当且仅当时等号成立故答案为：.【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，应用了“1”的代换转化目标式的形式，进而使用基本不等式，
10、属于简单题.15已知偶函数的导函数为，当时，则使成立的x的取值范围是_.(其中e为自然对数的底数)【答案】；【解析】构造函数，求导，由已知分析出函数的奇偶性的单调性，可求得答案.【详解】令，则，因为当时，所以当时，单调递增，又是偶函数，所以，所以是偶函数，而，所以，即，所以，又在单调递增，所以，解得或，故答案为：.【点睛】本题考查构造函数求解抽象不等式，构造合适的函数是解决问题的关键，属于中档题.16在，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数a存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由.问题：已知集合，是否存在实数a，使得_？【答案】答案见解析【解析】求得集合，化简集合，分，三种
11、情况讨论得到集合；再分别得若选择，若选择，若选择时，实数a的取值范围.【详解】，当时，；当时，；当时，若选择，则，当时，要使，则，所以当时，满足题意当时，不满足题意所以选择，则实数a的取值范围是若选择，当时，满足题意；当时，不满足题意；当时，不满足题意所以选择，则实数a的取值范围是.若选择，当时，而，不满足题意当时，而，满足题意当时，而，满足题意.所以选择，则实数a的取值范围是，综上得：若选择，则实数a的取值范围是；若选择，则实数a的取值范围是；若选择，则实数a的取值范围是.【点睛】本题考查集合间的包含关系，集合间的运算，属于中档题.四、双空题17校园内因改造施工，工人师傅用三角支架固定墙面(
12、墙面与地面垂直)(如图)，现在一支架斜杆长为，一端靠在墙上，另一端落在地面上，则该支架斜杆与其在墙面和地面上射影所围成三角形周长的最大值为_；现为调整支架安全性，要求前述直角三角形周长为，面积为，则此时斜杆长度应设计为_.【答案】 13. 【解析】（1）由勾股定理有，结合基本不等式即可求周长最大值；（2）设斜杆长为，它与地面的夹角为，根据题设列方程组并结合同角三角函数关系构造方程求值即可；【详解】（1）设其在墙面和地面上射影分别为、，则：周长，而，又，（2）设斜杆长为，它与地面的夹角为，由题意有：，而，结合，知：，解之得，故答案为：；13；【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，应用勾股定理、
13、同角三角函数关系列方程求直角三角形斜边长，属于中档题.五、解答题18已知函数，关于x的不等式的解集为.（1）求，的值；（2）求函数的所有零点之积.【答案】（1），；（2）10.【解析】（1）根据不等式的解集得到方程的解为2和3，列出方程组求解，即可得出结果；（2）令，由（1）得到，求出或，由韦达定理，即可求出结果.【详解】（1）因为不等式的解集为，即的解集为，所以方程的解为2和3，所以，解得，；（2）由（1）得，令，即，解得或，即或，,方程有两解，设为，方程有两解，设为，所以，即函数的所有零点之积为.【点睛】本题主要考查由一元二次不等式的解集求参数，考查求函数的零点之积，属于常考题型.19设函
14、数.（1）若函数为奇函数，求函数在区间上的最值；（2）若函数在区间内不单调，求实数k的取值范围.【答案】（1）最大值为，最小值为；（2）.【解析】（1）由已知得对成立，根据恒等式的思想可求得，得到，求导，分析导函数取得正负的区间，从而得函数的单调性，可求得函数的最值.（2）对函数求导得，令，得或，由已知条件建立不等式可求得实数k的取值范围.【详解】（1）因为函数为奇函数，所以对成立，即对成立，即对成立，所以，此时，令，则或，x23+0-0+极大值极小值函数的极大值为，极小值为，而，.所以函数在区间上的最大值为，最小值为；（2）因为，所以，令，得或，因为函数在区间内不单调，所以或，解得或.所以实
15、数k的取值范围为.【点睛】本题考查利用导函数研究函数的单调性，极值，最值，属于中档题.20经验表明，在室温下，开水冷至到(温水)饮用对身体更有益.某研究人员每隔测量一次开水温度(如下表)，经过后的温度为.现给出以下2个函数模型：；，其中a为温度衰减比例，计算公式为：.开水温度变化时间012345水温857975716865（1）请选择一个恰当的函数模型描述之间的关系，并求出k；（2）求a值(a保留0.01)；（3）在室温下，开水至少大约放置多长时间(单位：，保留整数)才能冷至到对身体有益温度？(参考数据：，)【答案】（1）应该选择，k的值为60；（2）；（3）.【解析】（1）应用表格数据代入所
16、选模型确定是否合适，有矛盾的排除，选择合适的模型即可；（2）根据题设提供的公式计算求值；（3）由人体合适温度在到之间，结合（1）（2）所得模型列不等式求范围即可；【详解】（1）若选择，把代入得矛盾；若选择，把代入，得.选择，其中k的值为60.（2）（3）由（1）（2）知，x、y之间的关系为，开水冷至到 (温水)饮用对身体更有益，有，即，又，得，在室温下，开水至少大约放置才能冷至到对身体有益温度.【点睛】本题考查了利用表格数据选择合适的数学模型，并确定模型中的参数值，进而应用模型计算预测值，属于中档题.21已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）已知是函数的极值点，若，求证：(极值点是指函
17、数取极值时对应的自变量的值).【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）利用导数的几何意义求在点处的切线方程即可；（2）利用导数研究有极值点；结合已知条件构造，应用导数研究其单调性及即可证.【详解】（1）由，有，而，可知曲线在点处的切线方程为（2）由（1）得，令，则在上恒成立，即在上单调递增，而，知当时，；当时，当函数在上单调递减，在上单调递增，即在处取得极大值.，不妨设，令，则因为，所以，即有，即函数在上单调递减，而，所以在上恒成立，即在上恒成立，有在上恒成立，又，所以，因为且，而函数在上单调递增，所以，即，而，所以得证.【点睛】本题考查了由导数的几何意义求切线方程，利用导数研究函数的
18、单调性，并结合已知条件构造函数并判断其单调性，进而证明不等式.22已知函数，其中e为自然对数的底数，.（1）讨论函数在上的单调性；（2）当时，对恒成立，求实数b的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】（1）求得函数的导函数，将参数分为、讨论函数的单调区间；（2）方法1由不等式构造含参函数，结合导数研究其在上的单调区间，再由不等式恒成立为前提分类讨论参数并确定其范围；方法2、3利用导数研究函数不等式恒成立问题，结合参变分离，构造函数将问题转化为，由的导数研究单调性得到最小值，进而求得b的范围.【详解】（1）因为，则当时，所以在上单调递增；当时令，得，所以在上单调递增，令，得，所以在
19、上单调递减，综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减；（2）当时，对恒成立对恒成立，【方法1】对恒成立，令则，设，令，得，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，所以.若，即，当时，所以函数在上单调递增；当时，所以函数在上单调递减，所以成立. 即时对恒成立.当，即时，与矛盾；综上，实数b的取值范围为【方法2】对恒成立，令，由得，即当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，所以.令，则，则原问题等价于，对恒成立，等价于，对恒成立，令，则，所以在上单调递增，所以，所以，实数b的取值范围为.【方法3】令，由得，函数在上单调递减，在上单调递增，有，所以当且仅当时取等号.令，则由得，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以当且仅当时取等号.因为，所以原条件等价于对恒成立，令，因为，当且仅当时取等号，即时取等号，所以，所以，即.综上，实数b的取值范围为【点睛】本题考查了应用分类讨论求含参函数的单调区间，第二问-方法一：应用导数研究函数单调区间、结合参数分类讨论求参数范围；方法二、三：利用导函数研究函数不等式恒成立问题：应用参变分离法将问题转化为，由导数得到函数的最值，进而求参数范围.
