1、2021届黑龙江省齐齐哈尔市高三三模考试数学（文）试题一、单选题1设集合，则（ ）ABCD【答案】D【分析】求得集合，结合集合交集的概念及运算，即可求解.【详解】由题意，集合，因为，所以故选: D.2若复数满足（是虚数单位），则在复平面内对应的点在（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】C【分析】根据复数的运算性质，化简复数为，得到，结合复数的几何意义，即可求解.【详解】由题意，复数，所以，所以在复平面内对应的点为，位于第三象限故选：C.3在中国古建筑中，为了保持木构件之间接榫（“榫”，即指木质构件利用凹凸方式相连接的部分）的地方不活动，需要将楔子捶打到榫子缝里.如图是一个楔子的
2、三视图，则这个楔子的体积是（ ）A6B8C12D16【答案】A【分析】根据三视图还原几何体，可得为直三棱柱，然后计算得到体积.【详解】根据几何体的三视图还原几何体，其直观图如图所示，可以看做一个底面为直角三角形的直棱柱，V=，故选：A.【点睛】本题考查由几何体的三视图求体积问题，涉及由三视图还原几何体，棱柱的体积公式，考查空间想象能力和计算能力，属基础题.4下列说法正确的是（ ）A“，”的否定为“，”B“”是“”的必要条件C若，则的逆命题为真命题D若“”是“”的充分条件，则【答案】C【分析】根据命题的否定，四种命题以及命题的充分必要性逐一进行判断.【详解】对于A，的否定为，故A错误；对于B，“
3、”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误；对于C，若，则的逆命题为若，则，因为时，所以成立，故C正确；对于D，由得，若是的充分条件，则，故D错误，故选：C.5若实数x，y满足不等式组，目标函数的最大值为2，则实数a的值是（ ）AB2C1D6【答案】B【分析】作出不等式组表示的平面区域，由图可知：要使目标函数的最大值为，则在点取得；根据题中的不等式组正确画出其表示的平面区域是解题的关键.【详解】如下图：易得当时，不等式组表示的平面区域存在，是以，为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数经过平面区域内点时，取得最大值，解得，故选：B【点睛】本题考查线性规划的线性目标函数的最优解问题. 线
4、性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，若可行域是一个封闭的图形，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值；若可行域不是封闭图形还是需要借助截距的几何意义来求最值.6执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）ABCD【答案】A【分析】判断，执行条件可得选项.【详解】初始条件：，判断，所以，；时，判断，；时，判断，；时，判断，；时，判断不满足条件，退出循环，输出故选：A7已知是定义域为的奇函数，当时，若，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【分析】利用奇函数和单调函数的性质求解不等式.【详解】由题意，得在
5、上是增函数，因为是奇函数，所以在上是增函数，又，则，所以，所以，即的取值范围是.故选：C.8已知，则向量在方向上的投影为（ ）ABCD【答案】D【分析】计算出的值，由此可计算得出向量在方向上的投影.【详解】因为，所以，则，因此，向量在方向上的投影为.故选：D9碳测年法是由美国科学家马丁卡门与同事塞缪尔鲁宾于年发现的一种测定含碳物质年龄的方法，在考古中有大量的应用放射性元素的衰变满足规律（表示的是放射性元素在生物体中最初的含量与经过时间后的含量间的关系，其中（为半衰期）已知碳的半衰期为年，经测量某地出土的生物化石中碳含量为，据此推测该化石活体生物生活的年代距今约（结果保留整数，参考数据）（ ）A
6、年B年C年D年【答案】C【分析】利用取对数，结合题中所给的数据进行求解即可.【详解】由题意知：，把数据代入得：故选：C【点睛】方法点睛：指数方程可以通过取对数进行求解.10已知是椭圆：的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）ABCD【答案】A【分析】根据题意设椭圆的右焦点，根据正弦定理即可求得和的关系，即可求得椭圆的离心率【详解】解：设椭圆的右焦点，连接，根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形，则，且由，可得，所以，则，由余弦定理可得，即，椭圆的离心率，故选：A【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，其中涉及到椭圆的定义以及余弦定理，对学生的分析与计算能力要求较高，难度
7、较难.11在中，点、分别在边，上，点、在上，且四边形为矩形(如图所示)，当矩形的面积最大时，在内任取一点，该点取自矩形内的概率为（ ）ABCD【答案】A【分析】设，可求得，然后表示出矩形的面积，求出其最大值即可得答案.【详解】由题意知：，边上的高为设，因为，所以，所以，所以矩形的面积为(当且仅当，即时等号成立)，又的面积为6，故所求的概率为.故选：A12已知三棱柱的所有顶点都在球O的表面上，侧棱底面，底面是正三角形，与底面所成的角是45.若正三棱柱的体积是，则球O的表面积是（ ）ABCD【答案】A【分析】首先得到是与底面所成的角，再通过三棱柱的体积得到三棱柱的底面等边三角形的边长，最后通过球的
8、半径，球心到底面距离，底面外接圆半径的关系计算【详解】因为侧棱底面，则是与底面所成的角，则故由，得设，则，解得所以球的半径，所以球的表面积故选：A【点睛】解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的二、填空题13在中，角，的对边分别为，若，则 等于_【答案】【分析】在中，由正弦定理求得，结合，得到，即可求解.【详解】因为中，由正弦定理，可得，所以，因为，所以，所以，可得故答案为：14已知平行于轴的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两
9、点，为坐标原点，若为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为_【答案】【分析】根据题意，可得为等腰直角三角形，得到其中一条渐近线的倾斜角为，得到，结合离心率的定义，即可求解.【详解】由题意，平行于轴的直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，可得为等腰直角三角形，所以，所以其中一条渐近线的倾斜角为，所以，所以，所以，又由，即，所以，所以故答案为：.15某校高二20名学生学业水平考试的数学成绩如下表：学生编号成绩学生编号成绩学生编号成绩学生编号成绩18068011711670288785127817683808691379189048198314831963573107615652076用系统抽样法从这2
10、0名学生学业水平考试的数学成绩中抽取容量为5的样本，若在第一分段里用随机抽样抽取的成绩为88，则这个样本中最小的成绩是_.【答案】76【分析】根据总体容量和样本容量求得间隔，再根据第一组的成绩为88，编号为2求解.【详解】因为总体容量是20，样本容量是5，所以间隔为4，又因为第一组的成绩为88，它在本组中的编号为2，所以抽取的5个成绩的编号分别为2，6，10，14，18，成绩分别为88，80，76，83，90，故所抽样本中最小的成绩为76.故答案为：7616已知函数，若对任意实数，恒有，则_.【答案】【分析】对函数利用倍角公式化简，可得，利用二次函数的性质，分析函数的最大、最小值，进而求出，即
11、可得出结果.【详解】对任意实数，恒有，则为最小值，为最大值.因为，而，所以当时，取得最小值；当时，取得最大值.所以.所以.所以.故答案为：【点睛】本题考查了三角恒等变换和二次函数、正弦函数的性质，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目.三、解答题17已知某体育学校有学生人，其中男生人，女生人现按性别采用分层抽样的方法抽取了名学生，并记录他们每天的平均跑步时间（单位：min）得到如下频率分布表：每天平均跑步时间/min频数频率合计（1）根据频率分布表，求实数，的值，完成如图所示的频率分布直方图；（2）若在被抽取的名学生中有名男生每天的平均跑步时间不低于，完成下列列联表，能否在犯错误的概率
12、不超过的情况下，认为该学校“学生每天的平均跑步时间不低于”与“性别”有关？男生/女生总计每天平均跑步时间低于每天平均跑步时间不低于总计注：， 【答案】（1）；作图见解析；（2）填表见解析；能【分析】（1）根据频率分布直方图中的数据算出答案即可；（2）补充完列联表，算出即可.【详解】（1）频率分布直方图如图：（2）列联表：男生/女生总计每天平均跑步时间低于每天平均跑步时间不低于总计所以又因为所以能在犯错误的概率不超过的情况下认为该校“学生每天的平均跑步时间不低于”与“性别”有关18已知是公比为q的等比数列，其前n项和为，且，.（1）求q；（2）设是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为，当
13、时，试比较与的大小.【答案】（1）；（2）答案见解析.【分析】（1）先判断公比是否为，然后根据等比数列的前项和公式以及的值求解出的值；（2）根据条件先求解出的通项公式，然后求解出，然后采用作差法比较与的大小关系.【详解】解：（1）当时，若，则应有，这与矛盾，故由，相除得，解得（2）由题意知，当时，所以当时，；当时，；当时，【点睛】方法点睛：常见的比较大小的方法：（1）作差法：作差与作比较；（2）作商法：作商与作比较（注意正负）；（3）函数单调性法：根据函数单调性比较大小；（4）中间值法：取中间值进行大小比较.19如图.在三棱锥中，为正三角形，为的重心，.（1）求证：平面平面；（2）在棱上是否存
14、在点，使得直线平面？若存在，求出的值；若不存在.说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，.【分析】（1）在中，易证，再根据，利用线面垂直的判定定理证得平面，再利用面面垂直的判定定理证明即可.（2）取的中点，连接，在平面内过点作，易得平面，然后再根据为的重心，由求解.【详解】（1）设，则，在中，由余弦定理，得.因为，所以.因为，所以平面.因为平面，所以平面平面.（2）如图所示：取的中点，连接，则点在上，在平面内过点作的平行线交于点.因为，平面，平面，所以平面.因为为的重心，所以，又，所以，所以在棱上存在点，使得直线平面，此时.【点睛】方法点睛：（1）证明直线和平面垂直的常用方法：线面垂直
15、的定义；判定定理；垂直于平面的传递性(ab，ab)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质（2）证明平面和平面垂直的方法：面面垂直的定义；面面垂直的判定定理(a，a)20在平面直角坐标系中，动圆经过点，且与直线相切.记动圆圆心的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程，并说明是什么样的曲线？（2）设过点的直线与曲线交于，两点，且点满足，求直线的方程.【答案】（1）曲线的方程为，曲线为焦点在轴正半轴上的拋物线；（2）或.【分析】（1）根据抛物线定义可得答案；（2）直线与轴垂直时，可得答案；当直线与轴不垂直时，设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理表示的中点坐标，再根据，得可得答案.【详解】（1）
16、根据题意，动点到点的距离等于到直线的距离，则动点的轨迹是以为焦点直线为准线的抛物线，所以曲线的方程为，且曲线为焦点在轴正半轴上的拋物线.（2）当直线与轴垂直时，一定有，此时适合题意，直线的方程为.当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，由得，则直线与抛物线一定相交；所以，设的中点为，则，即，当，即时，因为，所以，所以，解得，所以直线的方程为，即，当，即时，经检验不合题意，综上，直线的方程为或.【点睛】本题考查了抛物线方程、直线与抛物线的位置关系，关键点是利用韦达定理表示中点坐标和，考查了学生分析问题、解决问题的能力.21已知函数（1）求曲线在点处的切线方程（2）若对，恒成立，求实数的取值范围【答案
17、】（1）；（2）【分析】（1）本小题先根据导函数求在切点处切线的斜率，再求切点坐标，最后写切线方程即可；（2）本小题根据恒成立问题先化简不等式，再建立新函数，根据函数的单调性求最大值即可解题.【详解】解：（1）由，有，故曲线在点处的切线方程为，整理为（2）不等式可化为令，函数的定义域为，则令，则，令，得，得，所以函数的增区间为，减区间为，所以对，又当时，故有所以，有，有，所以函数的增区间为，减区间为，所以所以实数的取值范围为【点睛】本题考查借导函数求函数的切线方程，求解恒成立不等式，函数的单调性求最大值，是偏难题.22在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），曲线的直角坐标方程为以坐标
18、原点为极点轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线经过极坐标系中的点（1）求曲线的极坐标方程；（2若曲线上的两点，的极坐标分别为，求的值【答案】（1）；（2）3【分析】（1）消去参数得到曲线普通方程，利用极坐标与直角的互化公式，得到曲线的极坐标方程，将点代入曲线，求得的值，即可求得曲线的极坐标方程；（2）化简得到曲线的极坐标方程，将的坐标代入曲线，结合极坐标的几何意义，即可求解.【详解】（1）由曲线的参数方程（为参数）可得（为参数）平方相加，消去参数，可得曲线普通方程为，即，又由，可得曲线的极坐标方程为，因为曲线经过点，所以解得或（舍去），所以曲线的极坐标方程为（2）将，代入，可得，即因为，在曲线上，所以，所以.23已知a，b均为正实数，且a+b=3.（1） 求的最小值； （2）若|对任意的a，bR恒成立，求实数x的取值范围.【答案】（1）1；（2）.【分析】（1）由题意可得，利用基本不等式即可得解；（2）由题意可得，分类讨论解不等式即可得解.【详解】（1）由且可得，所以，当且仅当，时取等号，故的最小值为1；（2）由（1）知的最小值为1，由题意可得，即 或 或，解得或，故实数的取值范围为.【点睛】本题考查了基本不等式的应用及绝对值不等式的求解，考查了运算求解能力，属于中档题.
