1、2021届江苏省南京市六校联合体高三上学期11月联考数学试题一、单选题1已知是虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】A【分析】利用复数的乘除运算化简复数的代数形式，得到其对应坐标即知所在象限.【详解】，所以复数对应的坐标为在第一象限，故选：A2已知集合，则（ ）AB或CD【答案】B【分析】先求得集合，或，再根据集合的交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合，或，根据集合的交集的运算，可得或.故选：B.3已知命题：，命题：函数是减函数，则命题成立是成立的（ ）A充分不必要条件B充要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件【答案】D【分析】由
2、命题条件得到对应的集合，根据集合的关系即可知命题、的关系.【详解】命题：，有或，即，命题：函数是减函数有，即，命题成立是成立的既不充分也不必要条件.故选：D4已知非零向量、，若，则与的夹角是（ ）ABCD【答案】A【分析】设与的夹角为，由可求得的值，结合可求得的值.【详解】设与的夹角为，则，可得，.故选：A.52020年是“干支纪年法”中的庚子年.“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪
3、年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、癸酉，甲戌、乙亥、丙子、癸未，甲申、乙酉、丙戌、癸巳，.共得到60个组合，周而复始，循环记录.今年国庆节是小明10岁生日，那么他80岁生日时的年份是“干支纪年法”中的（ ）A己亥年B戊戌年C庚戌年D辛丑年【答案】C【分析】根据一个甲子的周期为60年，故只需分别对“庚”和“子”向后推算10即可【详解】解：由于一个甲子是60周年，故小明80岁生日时和20岁生日的“干支纪年法”的年份一样，故只需在10岁的基础上再向后推算10即可，由于“天干”以10为周期，故向后推算10后还是“庚”，“地支”以12为周期， 故向后推算10后还是“戌”，故他80岁生日时的年份是“干
4、支纪年法”中的庚戌年.故选：C.【点睛】本题考查逻辑推理能力，是中档题.本题解题的关键是由已知得小明80岁生日时和20岁生日的“干支纪年法”的年份一样，进而只需求2030年的小明20岁时的“干支纪年法”中的年份即可.6已知直三棱柱的顶点都在球上，且，则此直三棱柱的外接球的表面积是（ ）ABCD【答案】C【分析】设点为外接圆的圆心，根据，得到是等边三角形，求得外接圆的半径r，再根据直三棱柱的顶点都在球上，由求得，直三棱柱的外接球的半径即可.【详解】如图所示：设点为外接圆的圆心，因为，所以，又，所以是等边三角形，所以，又直三棱柱的顶点都在球上，所以外接球的半径为，所以直三棱柱的外接球的表面积是，故
5、选：C7已知，直线：，：，且，则的最小值为（ ）A2B4CD【答案】D【分析】根据得到，再将化为积为定值的形式后，利用基本不等式可求得结果.【详解】因为，所以，即，因为，所以，所以，当且仅当时，等号成立.故选：D【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方8已知，函数，
6、记函数的值域为，函数的值域为，若，则的最大值是（ ）ABCD【答案】A【分析】利用导数分析函数的单调性，可得出，然后分和两种情况讨论，利用函数的单调性可求得，验证是否成立，由此可求得实数的最大值.【详解】，所以，函数在上单调递增，当时，；当时，.所以，函数在上单调递减，在上单调递增.，则函数的值域为，即.当时，即当时，由上可知，函数的值域为，满足；当时，即当时，由上可知，函数的值域为，且，此时，不合乎题意.综上所述，实数的最大值为.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查含有参数的复合函数的值域问题，利用导数分析函数的单调性，并求出函数的值域是解题的关键，其次就是要分和两种情况讨论，结合函数的单
7、调性求出复合函数的值域，这次解决此类问题的常用方法.二、多选题9若，则下列关系式中一定成立的是（ ）AB（）C（是第一象限角）D【答案】BC【分析】由已知得，根据各选项对应函数的单调性判断大小即可.【详解】由知：，即A错误，B正确；且，即，则有，故C正确；的大小不确定，故D错误.故选：BC【点睛】思路点睛：注意各选项函数的形式，根据对应函数的单调性比较大小.1、如：单调增函数；2、对于，根据所在象限确定其范围即可应用的单调性判断大小；3、由于无法确定的大小，的大小也无法确定.10已知双曲线：的实轴长是2，右焦点与抛物线：的焦点重合，双曲线与抛物线交于、两点，则下列结论正确的是（ ）A双曲线的离
8、心率为B抛物线的准线方程是C双曲线的渐近线方程为D【答案】BC【分析】由题意可知，可写出双曲线的方程，进而可知其离心率、渐近线方程，由抛物线的方程知准线方程，结合其定义有，即知正确的选项.【详解】由双曲线：的实轴长为2，可得，又由抛物线：的焦点重合，可得双曲线的右焦点为，即，则，可知双曲线：，所以双曲线的离心率为，抛物线的准线方程是，双曲线的渐近线方程为，所以A不正确；B、C正确，联立方程组 ，解得，所以，所以D不正确.故选：BC.【点睛】结论点睛：1、抛物线的焦点，准线方程为，焦点弦长为；2、双曲线渐近线方程为；11若数列的前项和是，且，数列满足，则下列选项正确的为（ ）A数列是等差数列BC
9、数列的前项和为D数列的前项和为，则【答案】BD【分析】根据，利用数列通项与前n项和的关系得，求得通项，然后再根据选项求解逐项验证.【详解】当时，当时，由，得，两式相减得：，又，所以数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以，数列的前项和为，则，所以，所以 ，故选：BD【点睛】方法点睛：求数列的前n项和的方法(1)公式法：等差数列的前n项和公式，等比数列的前n项和公式；(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导
10、过程的推广(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解12函数的部分图象如图所示，已知函数在区间有且仅有3个极大值点，则下列说法正确的是（ ）A函数的最小正周期为2B点为函数的一个对称中心C函数的图象向左平移个单位后得到的图象D函数在区间上是增函数【答案】BCD【分析】由函数的图象求得，即可求的最小正周期，的对称中心以及函数图象平移后的解析式，根据有且仅有3个极大值点得到的范围进而判断在上的单调性.
11、【详解】由图知：且，即，所以，因为，所以所以，因为，所以，对于A，函数的最小正周期为，故错误；对于B，由有，则为的一个对称中心，故正确；对于C，函数的图象向左平移个单位，故正确；对于D，在有且仅有3个极大值点知：，则，而在单调增，则在上是增函数，故正确故选：BCD【点睛】结论点睛：对于函数，最小正周期是原函数的一半；余弦函数的对称中心为；函数水平移动m，上下移动n可表示为.三、填空题13已知函数满足，当时，函数，则_.【答案】【分析】由满足，得到函数是以2为周期的周期函数，结合对数的运算性质，即可求解.【详解】由题意，函数满足，化简可得，所以函数是以2为周期的周期函数，又由时，函数，且，则.故
12、答案为：【点睛】函数的周期性有关问题的求解策略：1、求解与函数的周期性有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期；2、解决函数周期性、奇偶性和单调性结合问题，通常先利用周期性中为自变量所在区间，再利用奇偶性和单调性求解.14某校进行体育抽测，小明与小华都要在跑、跳高、跳远、铅球、标枪、三级跳远这6项运动中选出3项进行测试，假设他们对这6项运动没有偏好，则他们选择的结果至少有2项相同的概率为_.【答案】【分析】由题意分析知，小明与小华选择的结果至少有2项相同：有2项相同，有3项相同，而他们选项目是相互独立的，即总选法共有种，即可算出概率.【详解】由题意，两人在6项运动任选3项的选法：种，
13、小明与小华选出3项中有2项相同的选法：种，小明与小华选出3项中有3项相同的选法：种，他们选择的结果至少有2项相同的概率为，故答案为：.【点睛】关键点点睛：将选择的结果至少有2项相同的基本事件有2项相同，有3项相同列出，再应用古典概型求概率.15已知边长是的菱形，点是菱形内部一点，若，则与菱形的面积的比值是_.【答案】【分析】设，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，根据可求得点的坐标，进而可求得与菱形的面积的比值.【详解】设，则，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，如下图所示：则点、，设点，则，由可得，解得，即点，直线的方程为，即，点到直线的距离为，所以，
14、菱形的面积为，所以，与菱形的面积的比值.故答案为：.【点睛】思路点睛：本题考查几何图形中的面积比值的计算，解决此类问题的常用有效方法是，建立合适的直角坐标系，将几何关系转化为坐标关系，利用向量的坐标运算进行计算即可准确求解.16已知对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为_.【答案】【分析】由不等式恒成立构造，只需成立：利用导函数研究单调性知使，此时得，而，构造得到时恒成立，进而可求的取值范围.【详解】由题意，对任意的不等式恒成立，令，则，在上单调增，且使，即，在上递减，上递增，故：，即，而在上单调增，又，即有时恒成立，故答案为：.【点睛】关键点点睛：1、构造，原不等式恒成立转化为有成立；2
15、、由导数知使，此时保证即原不等式恒成立；3、由上得，构造讨论单调性有.四、解答题17在中，分别是角，的对边，并且.请在，这三个条件中任选两个，将下面问题补充完整，并作答.注意：只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计分.问题：已知_，计算的面积.【答案】答案见解析.【分析】由已知边角关系可求，根据所选的条件结合正余弦定理求，最后应用三角形面积公式即可求的面积.【详解】，由，即，即，又，有，即，且，若选，即或（舍），的面积；若选，由，得又，的面积；若选，由，得，即或（舍），的面积.【点睛】关键点点睛：题设中含边角关系的等式，注意应用正余弦定理的边角互化、三角恒等
16、变换、三角形内角和，求其中的角或边，再应用三角形面积公式求三角形面积.18已知等差数列的前项和为，数列满足，.（1）证明：数列是等比数列，并求数列与数列通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析；，；(2).【分析】(1)根据等比数列的定义计算即可证出，然后求出数列的通项公式，进而可求出数列通项公式；将，用基本量表示，解方程组即可求出，进而可求出数列的通项公式；(2)根据(1)可得，利用错位相减法即可求出数列的前项和.【详解】(1)，所以数列是首项为，公比等比数列，所以，即，；由，解得，所以(2)由（1）知，所以，-得，所以.【点睛】方法点睛：如果一个数列的各项是由一个等差数
17、列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解.在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出；作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号19如图，在四棱锥中，已知底面，是的中点.（1）求证：平面（2）求二面角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】方法一：（1）应用线面垂直的判定证明平面；（2）由平面可确定是二面角的平面角，即可求的大小.方法二：构建以为坐标原点，分别以射线、射线射线为x轴、轴和轴的正方向，建立如图空间直角坐标系.（1）利用向量的数量积为0时两向量垂直证明线面垂直；（2）利用平面法向量的夹角与二面角的关系求二面角.
18、【详解】方法一：（1）平面，平面，得，又，在中，得，设中点为，连接，则四边形为边长为1的正方形，所以，且，因为，所以，又，所以平面，又平面，所以，因为，是的中点，所以，因为，又，平面，平面（2）由（1）知平面，所以是二面角的平面角，因为是等腰直角三角形，且是的中点，所以所以二面角的大小是. 方法二：（1）中点为，连接，以为坐标原点，分别以射线、射线射线为x轴、轴和轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，则，又，在中，得，设中点为，连接，则四边形为边长为1的正方形，所以，且，所以，则，因为是的中点，所以，所以，所以，因为，又，平面，平面(2)平面，平面，得.因为，所以，又，所以平面，所以是平面一个法
19、向量，由（1）可知是平面一个法向量，所以，所以二面角的大小是.【点睛】方法点睛：应用几何法、向量法证明线线、线面垂直，求二面角.1、几何法：根据相关判定或性质证线面垂直、线线垂直；根据线线、线面垂直关系以及特殊三角形的性质找到二面角的平面角直接求其大小；2、向量法：首先构建空间直角坐标系，利用向量的数量积为0时向量垂直证明线面、线线垂直；根据平面法向量的夹角与二面角的关系求二面角的大小.20某单位招考工作人员，须参加初试和复试，初试通过后组织考生参加复试，共5000人参加复试，复试共三道题，第一题考生答对得3分，答错得0分，后两题考生每答对一道题得5分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生
20、的复试成绩.（1）通过分析可以认为考生初试成绩服从正态分布，其中，试估计初试成绩不低于90分的人数；（2）已知某考生已通过初试，他在复试中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响.记该考生的复试试成绩为，求的分布列及数学期望.附：若随机变量服从正态分布，则，【答案】（1）114人；（2）分布列见解析，.【分析】（1）通过分析得，初试成绩不低于90分的概率为求得人数；（2）由题得的取值分别为0，3，5，8，10，13，分别计算对应概率列出分布列得解.【详解】（1）学生笔试成绩服从正态分布，其中，估计笔试成绩不低于90分的人数为人（2）的取值分别为0，3，5，8，10
21、，13，则的分布为故的分布列为：03581013【点睛】利用正态曲线的对称性求概率是常见的正态分布应用问题解题的关键是利用对称轴确定所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，必要时可借助图形判断对于正态分布，由是正态曲线的对称轴知：(1)对任意的，有；(2)(3)21已知椭圆：离心率为，点在椭圆上，点坐标，直线：交椭圆于、两点，且.（1）求椭圆的方程；（2）求的面积.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据椭圆的离心率、过定点以及椭圆参数关系，即可求，进而写出椭圆方程；（2）由即为等腰三角形，结合直线与椭圆关系联立方程得中点的坐标，由等腰三角形的性质知即可求参数m，结
22、合弦长公式、点线距求的底、高，进而可求的面积.【详解】解：（1）由题意可得，解得，所以椭圆的方程为（2）设，中点为，由得，得，所以，由，有，所以，得， 所以，此时，点到直线：的距离，所以的面积.【点睛】思路点睛：1、由等腰三角形性质，底边的中线与底边垂直，利用即可求参数m；2、应用弦长公式、点线距离公式求得三角形的底边长、高.22已知函数，、，（1）讨论的单调性；（2）已知函数的极大值为1，若，设，证明：；设，判断函数零点个数，并说明理由.【答案】（1）的单调增区间为，单调减区间为；（2）证明见解析；零点个数为1个，理由见解析.【分析】（1）求出函数的导数，判断导数正负即可求出；（2）根据的单
23、调性可得，又可得，构造函数，利用导数判断出单调性，即可判断；可得零点个数等价于在上解的个数，求出导数，利用导数研究函数的单调性可判断.【详解】解：（1）的定义域为，因为，令，解得；令，解得，所以的单调增区间为，单调减区间为（2）由（1）可知，的极大值为，因为函数的极大值为1，所以，所以，当时，所以在上单调递减，因为，所以，因为，所以所以设，则，所以在上单调递增，所以，所以，从而又，所以，的零点即方程的解的个数，即关于的方程在上解的个数，设，设，因为在单调递增，且，所以当时，；当时，因此在上单调递减，在上单调递增，从而，即恒成立，所以在单调递增因为，当时，因为在单调递增，且，所以在存在唯一的零点，当时，则，又因为在单调递增，所以在存在唯一的零点综上所述，函数在存在唯一的零点，即在零点个数为1个.【点睛】关键点睛：本题考查利用导数比较大小和研究零点，解题的关键是根据题目构造合适的函数，若比较大小时得到，需构造函数利用导数讨论单调性判断正负；讨论零点个数时，需转化为的零点个数.
