1、绝密 启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试数 学注意事项：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。2回答第卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。3回答第卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。4考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。第卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知复数（为虚数单位），其共轭复数为，则的虚部为（ ）ABCD【答案】B【解析】因为，所以
2、它的共轭复数，其虚部为，故选B2集合，则等于（ ）ABCD【答案】B【解析】根据所给的两个集合的元素，表示出两个集合的交集，在集合中，；在集合中，要求两个向量的交集，即找出两个向量集合中的相同元素，元素是向量，要使的向量相等，只有横标和纵标分别相等，解得，此时，故选B3已知一元二次方程有两个不同的实数根，则“且”的_是“且”A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】已知是一元二次方程的两个不同的实数根，当且时，可得，；当且时，可取，此时不满足且，所以“且”是“且”的充分不必要条件，即“且”的充分不必要条件为“且”，故选A4若，则a，b，c的大小关系是
3、（ ）ABCD【答案】B【解析】函数在R上是减函数，又幂函数在上单调递增，所以，而函数是R上增函数，故选B5把颜色分别为红、黄、蓝、白四种颜色的小球放入颜色分别为红、黄、蓝、白四种颜色的纸盒中，则四个小球都没有放入相同颜色的纸盒中的概率为（ ）ABCD【答案】B【解析】将四种不同颜色的球放入四种不同颜色的纸盒中基本事件的总数为，四个球都没有放入相同颜色的纸盒中的基本事件的总数为，所以四个小球都没有放入相同颜色的纸盒中的概率为，故选B6已知 ()，则（ ）ABCD【答案】C【解析】，将两边同时平方得，则，7已知椭圆的方程为，、为椭圆的左右焦点，为椭圆上在第一象限的一点，为的内心，直线与轴交于点，
4、若，则该椭圆的离心率为（ ）ABCD【答案】A【解析】如图，连接、，是的内心，可得、分别是和的角平分线，由于经过点与的内切圆圆心的直线交轴于点，则为的角平分线，则到直线、的距离相等，所以，同理可得，由比例关系性质可知又因为，所以椭圆的离心率，故选A8在三棱锥中，已知，若三棱锥的外接球的体积为，则三棱锥的体积为（ ）A1BCD2【答案】A【解析】设球半径为，则，而，所以是球的直径，球心是中点，所以中点是直角的外心，所以平面，又平面，所以，是中点，所以，故选A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
5、9下列说法正确的是（ ）A线性回归方程对应的直线一定经过点B5件产品中有3件正品，2件次品，从中任取2件，恰好取到1件次品的概率为C某中学为了解学生课外体育锻炼时间，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为100的样本，已知该校高一高二高三年级学生之比为，则应从高二年级中抽取30名学生D“两个事件是对立事件”的充分不必要条件是“两个事件是互斥事件”【答案】ABC【解析】对A，线性回归方程对应的直线一定经过样本中心点，故A正确；对B，恰好取到1件次品的概率为，故B正确；对C，应从高二年级中抽取名学生，故C正确；对D，若两个事件是互斥事件，则两个事件不一定是对立事件；若两个事件是对
6、立事件，则这两个事件一定是互斥事件，所以“两个事件是对立事件”的必要不充分条件是“两个事件是互斥事件”，故D错误，故选ABC10已知函数，则下列结论中错误的是（ ）A点是的一个对称中心点B的图象是由的图象向右平移个单位长度得到C在上单调递增D是方程的两个解，则【答案】BCD【解析】，所以，对于A：令，解得，当时，所以点是的一个对称中心点，故A正确；对于B：的图象向右平移个单位长度得到的图象的函数解析式为，所以平移得到的图象不是的图象，故B错误；对于C：当时，而函数在上单调递减，故C错误；对于D：令，解得或，即或，所以，故D错误，综上，故选BCD11在中，角所对的边分别为，则能确定为钝角的是（
7、）AB均为锐角，且C均为锐角，且D【答案】AC【解析】对于A：，即，可得，又为三角形的内角，所以为钝角；对于B：均为锐角，等价于，又因为在上单调递增，所以，即，故B错误；对于C：均为锐角，可得，又，所以，故B为钝角；对于D：，所以，所以为锐角，故D错误，综上选AC12已知函数，若，且，则（ ）ABCD【答案】ABC【解析】当时，设函数，则有，故是偶函数，且最小值为0当时，所以在上单调递增，又是偶函数，所以在上单调递减把的图象向右平移一个单位长度，得到函数的图象，故函数的图象关于直线对称，故可得到函数在上的图象又，故函数的图象与轴的交点为作平行于轴的直线，当时，直线与函数的图象有四个交点数形结合
8、可知，故A正确；由，得，又根据题意知，所以，即，即，所以，故B正确；令，则，得，因此，故C正确；又时，且函数在上单调递增，所以，故D错误，故选ABC第卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13已知等差数列的前项和为，若，则_【答案】45【解析】因为，所以，因此，故答案为4514的展开式中含的项的系数为_【答案】【解析】由题意知：含项为按的升幂排列的第4项，该项的系数为，故答案为15已知函数，点为函数图象上一动点，则到直线距离的最小值为_（注）【答案】【解析】，与直线平行的切线斜率，解得或，当时，即切点为，此时点到直线的距离为；当时，即切点为，此时点到直线的距离为：，故答
9、案为16已知正四面体内接于半径为的球中，在平面内有一动点，且满足，则的最小值是_；直线与直线所成角的取值范围为_【答案】，【解析】设A在面内的投影为E，故E为三角形BCD的中心，设正四面体的棱长为，球的半径为则，依题可得，球心在上，代入数据可得，则，又，故的轨迹为平面BCD内以E为圆心，为半径的圆，三点共线时，且P在BE之间时，的最小值是以E为圆心，BE所在直线为x轴建立如图所示直角坐标系，设，故，设直线与直线所成角为，又，故，故答案为，四、解答题：本大题共6个大题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知数列的前项和为，且，（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和
10、【答案】（1）；（2）【解析】，又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故数列的通项公式为（2）据（1）可得，所以，两式相减得，化简得18（12分）的内角、的对边分别为、，（1）求；（2）若，求周长最大时，的面积【答案】（1）；（2）【解析】（1），（2），据（1）可得，当且仅当时等号成立，即当时，取得最大值，即周长取得最大值，此时19（12分）如图，在多面体中，垂直于底面，且满足，（1）求证：；（2）求二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：由题意得，垂直于底面，可得，所以，故由，得又，由，得，所以，故又，因此平面，因为平面，故（2）如图，以的中点为坐标原点，分别
11、以射线，为，轴的正半轴，过点作平行于且向上的射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系由题意知各点坐标如下：，因此，设平面的法向量，所以，即，则；同理可得，平面的一个法向量，故二面角的余弦值为20（12分）2021年4月15日是第6个全民国家安全教育日，某社区为增强居民的国家安全意识，举行了国家安全知识竞赛第一轮比赛共设有四道题，规定，答对第一道题得1分，答对第二道题得2分，答对第三道题得3分，答对第四道题得6分，这4道题，任意一道答错扣2分每答完一题，分数进行累加，当答题者累计得分低于分时，停止答题，淘汰；当答题者累计得分大于等于4分时，答题结束进入下一轮；当四题答完，累计得分低于四分，则答题结束
12、，淘汰出局；当答完四题，累计得分不低于4分时，答题结束，进入下一轮每位答题者都按题号顺序进行答题，直至答题结束假设参赛者甲对第一、二、三、四题回答正确的概率依次为，且各题回答正确与否相互之间没有影响（1）求甲同学能进入下一轮的概率；（2）用表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求的分布列和数学期望【答案】（1）；（2）分布列见解析，【解析】用表示甲第i个问题回答正确，表示甲第i个问题回答错误，则，；，（1）记事件Q：甲同学能进入下一轮的概率，则：，即甲同学能进入下一轮的概率为（2）由题意知的可能取值：2，3，4，；分布列为21（12分）已知椭圆，过椭圆右焦点且垂直于轴的直线与椭圆在第一象限交于点
13、，已知椭圆左焦点为，三角形的面积为，不垂直于轴的直线与椭圆相交于两点，点为线段的中点（1）求椭圆的标准方程；（2）点总满足，证明：直线过定点【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）依题可得的坐标为，可得，又，解得，故椭圆的方程为（2）证明：依题可得直线的斜率存在，设直线的直线方程为，设，由，可得，即，因为，所以，即，得，化简得，直线的方程为，所以，直线恒过定点22（12分）已知函数（1）若有两个零点，求的取值范围；（2）设，若对任意的，都有恒成立，求的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】令，则，当时，；当时，所以在上单调递增，在上单调递减，当时，；当时，；当时，所以当，即，有两个零点，
14、有两个零点时，的范围是（2）对任意的，不等式恒成立，在上恒成立，令，则，令，则，在上为增函数，又，使得，即，时，在上单调递减；时，在上单调递增，由，可得，令，则，又，在上单调递增，综上所述，满足条件的的取值范围是坚持希望一天，一个瞎子和一个瘸子结伴去寻找那种仙果，他们一直走呀走，途中他们翻山越岭。历经千辛万苦，头发开始斑白。有一天，那瘸子对瞎子说：“天哪！这样下去哪有尽头？我不干了，受不了了。“老兄，我相信不远了，会找到的，只要心中存有希望，会找到的。”瞎子却说。可瘸子执意要留在途中的山寨中，瞎子便一个人上路了。 由于瞎子看不见，不知道该走向何处，他碰到人便问，人们也好心地指引他，他身上捉襟见
15、肘，遍体鳞伤，可他心中的希望未曾改变。 终于有一天，他到达了那座山，他全力以赴向上爬，快到山顶的时候，他感觉自己浑身充满了力量，像年轻了几十岁，他向身旁摸索，便摸到了果子一样的东西，放在嘴里咬一口，天哪！他复明了，什么都看见了，绿绿的树木，花儿鲜艳，小溪清澈。果子长满了山坡，他朝溪水俯身看去，自己竞变成了一个英俊年轻的小伙子！准备离去的时候，他没有忘记替同行而来的瘸子带上两个仙果，到山寨的时候，他看到瘸子拄着拐棍，变成了一个头发花白的老头，瘸子认不出他了，因为他已是一个年轻的小伙子。可当他们相认后，瘸子吃下那果子，却丝毫未起任何变化，他们终于知道，只有自己的行动，才能换来成功和幸福。所谓成功，
16、我们要心存希望，要勇往直前，要坚持，要有毅力，那么，成功早晚属于你。一饭千金帮助汉高祖打平天下的大将韩信，在未得志时，境况很是困苦。那时候，他时常往城下钓鱼，希望碰着好运气，便可以解决生活。但是，这究竟不是可靠的办法，因此，时常要饿着肚子。幸而在他时常钓鱼的地方，有很多漂母（清洗丝棉絮或旧衣布的老婆婆）在河边作工的，其中有一个漂母，很同情韩信的遭遇，便不断的救济他，给他饭吃。韩信在艰难困苦中，得到那位以勤劳克苦仅能以双手勉强糊口的漂母的恩惠，很是感激她，便对她说，将来必定要重重的报答她。那漂母听了韩信的话，很是不高兴，表示并不希望韩信将来报答她的。后来，韩信替汉王立了不少功劳，被封为楚王，他想起从前曾受过漂母的恩惠，便命从人送酒菜给她吃，更送给她黄金一千两来答谢她。这句成语就是出于这个故事的。它的意思是说：受人的恩惠，切莫忘记，虽然所受的恩惠很是微小，但在困难时，即使一点点帮助也是很可贵的；到我们有能力时，应该重重地报答施惠的人才是合理。【感恩小结】感恩，是结草衔环，是滴水之恩涌泉相报。 感恩，是一种美德，是一种境界。 感恩，是值得你用一生去等待的一次宝贵机遇。 感恩，是值得你用一生去完成的一次世纪壮举。 感恩，是值得你用一生去珍视的一次爱的教育。 感恩，不是为求得心理平衡的喧闹的片刻答谢，而是发自内心的无言的永恒回报。 感恩，让生活充满阳光，让世界充满温馨
