1、8.6空间直线、平面的垂直8.6.1直线与直线垂直学 习 目 标核 心 素 养1.了解空间中两条直线的三种位置关系，理解异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直线(重点、难点)2.会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角(重点、易错点)1.通过实物观察、抽象出空间两直线位置关系、异面直线概念及夹角的定义，培养直观想象的核心素养.2.借助异面直线所成角及垂直关系的证明，培养数学运算与逻辑推理的核心素养.异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线aa，bb，我们把a与b所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)
2、(2)异面直线所成的角的取值范围：090.(3)当90时，a与b互相垂直，记作ab.1若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是()A共面B平行C异面 D平行或异面D若直线a和b共面，则由题意可知ab；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线2如图正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是棱C1C与BC的中点，则直线EF与直线D1C所成的角的大小是 60连结BC1，A1B(图略)BC1EF，A1BCD1，则A1BC1即为EF与D1C所成的角又A1BC1为60，直线EF与D1C所成的角为60.3已知正方体ABCDABCD中：(1)BC与CD所成的角为 ；(2)AD与BC所成的角
3、为 (1)60(2)45(1)连接BA，则BACD，连接AC，则ABC就是BC与CD所成的角由ABC为正三角形，知ABC60，(2)由ADBC，知AD与BC所成的角就是CBC.易知CBC45.异面直线所成的角探究问题1在平面内，两条直线相交成四个角，其中不大于90度的角称为它们的夹角，用以刻画两直线的错开程度，如图在正方体ABCDEFGH中，异面直线AB与HF的错开程度怎样来刻画？这种刻画应用的是什么数学思想？提示平移转化成相交直线所成的角，由于ABEF，可用EF与HF的夹角来刻画应用的是数学上的转换思想，即化空间图形问题为平面图形问题2异面直线所成角的范围如何？什么是异面直线垂直？提示异面直
4、线所成角的范围为(0，90，如果两条异面直线a，b所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直，记为ab.【例1】如图，已知正方体ABCDABCD.(1)哪些棱所在直线与直线BA是异面直线？(2)直线BA和CC的夹角是多少？(3)哪些棱所在的直线与直线AA垂直？解(1)由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC、DD、DC、BC所在直线分别与直线BA是异面直线(2)由BBCC可知，BBA为异面直线BA与CC的夹角，BBA45，所以直线BA和CC的夹角为45.(3)直线AB、BC、CD、DA、AB、BC、CD、DA分别与直线AA垂直“等角定理”为两条异面直线所成的角的定义提供了可能性与唯一性，即过空
5、间任一点，作两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角(或直角)都是相等的，而与所取点的位置无关1如图，已知长方体ABCDABCD中，AB2，AD2，AA2.(1)BC和AC所成的角是多少度？(2)AA和BC所成的角是多少度？解(1)因为BCBC，所以BCA是异面直线AC与BC所成的角在RtABC中，AB2，BC2，所以BCA45.(2)因为AABB，所以BBC是异面直线AA和BC所成的角在RtBBC中，BCAD2，BBAA2，所以BC4，BBC60.因此，异面直线AA与BC所成的角为60.直线与直线垂直的证明【例2】如图所示，正方体AC1中，E、F分别是A1B1、B1C1的中点，求证：D
6、B1EF.解法一：如图所示，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G.则OGB1D，EFA1C1.GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角GA1GC1，O为A1C1的中点，GOA1C1.异面直线DB1与EF所成的角为90.DB1EF.法二：如图所示，连接A1D，取A1D的中点H，连接HE，则HEDB1.于是HEF为所求异面直线DB1与EF所成的角或其补角连接HF，设AA11，则EF，HE，取A1D1的中点I，连接HI，IF，则HIIF.HF2HI2IF2.HF2EF2HE2.HEF90.异面直线DB1与EF所成的角为90.DB1EF.证明两条
7、异面直线垂直的步骤：(1)恰当选点，用平移法构造出一个相交角(2)证明这个角就是异面直线所成的角(或补角)(3)把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求出所构造的角的度数(4)给出结论：若求出的平面角为直角，垂直得证2空间四边形ABCD，E，F，G分别是BC，AD，DC的中点，FG2，GE，EF3.求证：ACBD.证明点G，E分别是CD，BC的中点，GEBD，同理GFAC.FGE或FGE的补角是异面直线AC与BD所成的角在EFG中，FG2，GE，EF3，满足FG2GE2EF2，FGE90.即异面直线AC与BD所成的角是90.ACBD.1.在研究异面直线所成角的大小时，通常把两
8、条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0，90，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小2作异面直线所成的角可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：直接平移法(可利用图中已有的平行线)；中位线平移法；补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)1分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是()A异面B平行C相交 D以上都有可能D当两个平面平行时，这两条直线的位置关系为平行或异面，当两个平面相交时，这两条直线的位置关系有可能相交或异面2如图，在正方体ABCDA1B
9、1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于()A45 B60C90 D120B取A1B1中点I，连接IG、IH，则EF綊IG.易知IG，IH，HG相等，则HGI为等边三角形，则IG与GH所成的角为60，即EF与GH所成的角为60.3如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，AC与BC1所成角的大小是 60连接AD1，则AD1BC1.CAD1(或其补角)就是AC与BC1所成的角，连接CD1，在正方体ABCDA1B1C1D1中，ACAD1CD1，CAD160，即AC与BC1所成的角为60.4如图，在四棱锥PABCD中，PAAB，底面ABCD是平行四边形，则PA与CD所成的角是 90四边形ABCD是平行四边形，ABCD，PAB是PA与CD所成的角又PAAB，PAB90.5如图所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D、E分别是VB、VC的中点，求异面直线DE与AB所成的角解因为D、E分别是VB、VC的中点，所以BCDE，因此ABC是异面直线DE与AB所成的角，又因为AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，所以ABC是以ACB为直角的等腰直角三角形，于是ABC45，故异面直线DE与AB所成的角为45.
