1、8.3 空间中的平行关系核心考点精准研析考点一直线、平面平行的基本问题1.如图,P为平行四边形ABCD所在平面外一点,Q为PA的中点,O为AC与BD的交点,下面说法错误的是()A.OQ平面PCDB.PC平面BDQC.AQ平面PCDD.CD平面PAB2.已知a,b表示直线,表示平面,则下列推理正确的是()A.=a,babB.=a,abb且bC.a,b,a,bD.,=a,=bab3.如图是正方体的平面展开图.关于这个正方体,有以下判断:EC平面AFN;CN平面AFB;BMDE;平面BDE平面NCF.其中正确判断的序号是()A.B.C.D.4.如图是长方体被一平面所截得的几何体,四边形EFGH为截面
2、,则四边形EFGH的形状为_.【解析】1.选C.因为O为平行四边形ABCD对角线的交点,所以AO=OC,又Q为PA的中点,所以QOPC.由线面平行的判定定理,可知A、B正确,又四边形ABCD为平行四边形,所以ABCD,故CD平面PAB,故D正确.2.选D.选项A中,=a,b,则a,b可能平行也可能相交,故A不正确;选项B中,=a,ab,则可能b且b,也可能b在平面或内,故B不正确;选项C中,a,b,a,b,根据面面平行的判定定理,再加上条件ab=A,才能得出,故C不正确;选项D为面面平行性质定理的符号语言.3.选C.由已知中正方体的平面展开图,得到正方体的直观图如图所示:由FN平面EMC,故F
3、NEC;同理AFEC,故EC平面AFN,故正确;由CNBE,则CN平面AFB,故正确;由图可知BMDE显然错误,故不正确;由BDNF得BD平面NCF,DECF得DE平面NCF,由面面平行判定定理可知平面BDE平面NCF,故正确.4.因为平面ABFE平面CDHG,又平面EFGH平面ABFE=EF,平面EFGH平面CDHG=HG,所以EFHG.同理EHFG,所以四边形EFGH是平行四边形.答案:平行四边形直线、平面间平行的判定方法(1)关注是否符合判定定理与性质定理,并注意定理中易忽视的条件.(2)结合题意构造或绘制图形,结合图形作出判断.(3)利用实物进行空间想象,比较判断.(4)熟记一些常见结
4、论,如垂直于同一条直线的两个平面平行等.【秒杀绝招】直接法解T1,因为Q是AP的中点,故AQ平面PCD =P,所以AQ平面PCD是错误的.考点二直线、平面平行的判定与性质【典例】1.在三棱锥S-ABC中,ABC是边长为6的正三角形,SA=SB=SC=15,平面DEFH分别与AB,BC,SC,SA交于D,E,F,H.D,E分别是AB,BC的中点,如果直线SB平面DEFH,那么四边形DEFH的面积为_.2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC为正三角形,点D在棱BC上,且CD=3BD,点E,F分别为棱AB,BB1的中点.求证:A1C平面DEF.【解题导思】序号联想解题1由直线SB平面DEFH,
5、联想到利用线面平行的性质,判定四边形DEFH的形状,进而得到其面积.2求证A1C平面DEF,只要设法在平面DEF上找到与A1C平行的直线即可,因为CD=3BD,故联想到连接A1B,在BA1C中由比例关系证明平行关系.【解析】1.取AC的中点G,连接SG,BG.易知SGAC,BGAC,SGBG=G,故AC平面SGB,所以ACSB.因为SB平面DEFH,SB平面SAB,平面SAB平面DEFH=HD,则SBHD.同理SBFE.又D,E分别为AB,BC的中点,则H,F也为AS,SC的中点,从而得HF12ACDE,且HF=12AC=DE,所以四边形DEFH为平行四边形.又ACSB,SBHD,DEAC,所
6、以DEHD,所以四边形DEFH为矩形,其面积S=HFHD=12AC12SB=452.答案:4522.如图,连接AB1,A1B,交于点H,A1B交EF于点K,连接DK,因为ABB1A1为矩形,所以H为线段A1B的中点,因为点E,F分别为棱AB,BB1的中点,所以点K为线段BH的中点,所以A1K=3BK,又因为CD=3BD,所以A1CDK,又A1C平面DEF,DK平面DEF,所以A1C平面DEF.1.利用判定定理判定直线与平面平行,关键是找平面内与已知直线平行的直线.可先直观判断平面内是否已有,若没有,则需作出该直线,常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.2.判断或证
7、明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点).(2)利用线面平行的判定定理(a,b,aba).(3)利用面面平行的性质(,aa;,a,aa).1.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上.若EF平面AB1C,则线段EF的长度为_.【解析】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,所以AC=22.又E为AD中点,EF平面AB1C,EF平面ADC,平面ADC平面AB1C=AC,所以EFAC,所以F为DC中点,所以EF=12AC=2.答案:22.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,ABCD,BAD=60,AB=2,CD=
8、4,E为PC的中点.求证:BE平面PAD.【证明】设F为PD的中点,连接EF,FA.因为EF为PDC的中位线,所以EFCD,且EF=12CD=2.又ABCD,AB=2,所以ABEF,故四边形ABEF为平行四边形,所以BEAF.又AF平面PAD,BE平面PAD,所以BE平面PAD.考点三面面平行的判定与性质及平行的综合问题命题精解读考什么:(1)考查面面平行的判定与性质定理的应用.(2)考查直线、平面平行的综合问题.(3)考查直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.怎么考:以柱、锥等几何体为载体,考查证明线线、线面、面面平行.新趋势:考查作已知几何体的截面或求截面面积问题.学霸好方法1.证明面面
9、平行的方法(1)面面平行的定义.(2)面面平行的判定定理.(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行.(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的性质相互转化.2.交汇问题:常联系柱、锥等几何体命题,考查平行、垂直或空间角.面面平行的判定与性质【典例】如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:(1)B,C,H,G四点共面.(2)平面EFA1平面BCHG.【证明】(1)因为G,H分别是A1B1,A1C1的中点,所以GH是A1B1C1的中位线,所以GHB1C1.又因为B1C1BC,
10、所以GHBC,所以B,C,H,G四点共面.(2)因为E,F分别是AB,AC的中点,所以EFBC.因为EF平面BCHG,BC平面BCHG,所以EF平面BCHG.又G,E分别为A1B1,AB的中点,A1B1AB且A1B1=AB,所以A1GEB,A1G=EB,所以四边形A1EBG是平行四边形,所以A1EGB.又因为A1E平面BCHG,GB平面BCHG,所以A1E平面BCHG.又因为A1EEF=E,A1E,EF平面EFA1,所以平面EFA1平面BCHG.平行关系的综合应用【典例】如图所示,四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形,侧棱PA底面ABCD,在侧面PBC内,有BEPC于E,且BE=a,试在
11、AB上找一点F,使EF平面PAD.【解析】在平面PCD内,过E作EGCD交PD于G,连接AG,在AB上取点F,使AF=EG,因为EGCDAF,EG=AF,所以四边形FEGA为平行四边形,所以FEAG.又AG平面PAD,FE平面PAD,所以EF平面PAD.所以F即为所求的点.又PA平面ABCD,所以PABC,又BCAB,所以BC平面PAB.所以PBBC.所以PC2=BC2+PB2=BC2+AB2+PA2.设PA=x则PC=,由PBBC=BEPC得:a=a,所以x=a,即PA=a,所以PC=a.又CE=a,所以=,所以=,即GE=CD=a,所以AF=a.故点F是AB上靠近B点的一个三等分点.1.如
12、图,平面平面平面,两条直线a,b分别与平面,相交于点A,B,C和点D,E,F.已知AB=2 cm,DE=4 cm,EF=3 cm,则AC的长为_ cm.【解析】因为平面平面平面,两条直线a,b分别与平面,相交于点A,B,C和点D,E,F,过D作直线平行于a交于M,交于N.连接AD,BM,CN,ME,NF,所以ADBMCN,MENF,所以ABBC=DMMN=DEEF,因为AB=2 cm,DE=4 cm,EF=3 cm,所以2BC=43,解得BC=32 cm,所以AC=AB+BC=2+32=72(cm).答案:722.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,S是B1D1的中点,E,F,G分别是
13、BC,DC,SC的中点,求证:(1)直线EG平面BDD1B1.(2)平面EFG平面BDD1B1.【证明】(1)如图,连接SB,因为E,G分别是BC,SC的中点,所以EGSB.又因为SB平面BDD1B1,EG平面BDD1B1,所以直线EG平面BDD1B1.(2)连接SD,因为F,G分别是DC,SC的中点,所以FGSD.又因为SD平面BDD1B1,FG平面BDD1B1,所以FG平面BDD1B1,又EG平面EFG,FG平面EFG,EGFG=G,所以平面EFG平面BDD1B1.1.在四面体ABCD中,M,N分别是面ACD、BCD的重心,则四面体的四个面中与MN平行的是_.【解析】如图,连接AM并延长交
14、CD于E,连接BN并延长交CD于F,由重心性质可知,E,F重合为一点,且该点为CD的中点E,由EMMA=ENNB=12,得MNAB,因此,MN平面ABC且MN平面ABD.答案:平面ABC、平面ABD2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ平面PAO?【解析】当Q为CC1的中点时,平面D1BQ平面PAO.证明如下:因为Q为CC1的中点,P为DD1的中点,所以QBPA.因为P,O分别为DD1、DB的中点,所以D1BPO.又因为D1B平面PAO,PO平面PAO,QB平面PAO,PA平面PAO,所以D1B平面PAO,QB平面PAO,又D1BQB=B,D1B、QB平面D1BQ,所以平面D1BQ平面PAO.
