1、08-09学年南师附中期中模拟试卷（一）一填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需写出解答过程1命题“”的否定是 2已知复数，（是虚数单位），若为纯虚数，则实数 3、已知抛物线的准线与双曲线的左准线重合，则抛物线的焦点坐标为 4、执行右边的程序框图，若，则输出的 5、分别在区间1，6 和 2，4 内任取一实数，依次记为m和n，则的概率为 6、已知函数在定义域内是增函数，则实数的取值范围为 7、某中学部分学生参加市高中数学竞赛取得了优异成绩，指导老师统计了所有参赛同学的成绩（成绩都为整数，满分120分），并且绘制了“频数分布直方图”（如图），如果90分以上（含90分）获奖，那么该校
2、参赛学生的获奖率为 8、已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为600颗，则可以估计出阴影部分的面积约为_36 60708090100110120分数人数2456789、箱子中有形状、大小都相同的3只红球和2只白球，先摸出1只球，记下颜色后放回箱子，然后再摸出1只球，则摸到两只不同颜色的球的概率为_ 第11题图10、若椭圆的离心率为，一个焦点恰好是抛物线的焦点，则椭圆的标准方程为 11、如图所示，有一圆锥形容器，其底面半径等于圆锥的高，若以9cm3/s的速度向该容器注水，则水深10cm时水面上升的速度为 cm/s12、“若x2y20，则
3、x，y不全为零”的否命题“正多边形都相似”的逆命题“若m0，则x2xm有实根”的逆否命题“若x是有理数，则x是无理数”的逆否命题，上述命题中正确的是 13、已知数列满足，且，其中，若，则实数的最小值为4 14、已知函数的导函数，且的值为整数，当时，的值为整数的个数有且只有1个，则= 4 二、解答题：本大题共90分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤。15、（本题满分14分）已知，：，： 若是的充分条件，求实数的取值范围； 若，“或”为真命题，“且”为假命题，求实数的取值范围16、（本题满分14分）已知：（1）当时，求的值。（2）设，。试用数学归纳法证明： 当时，1）当时， 原等式变为令得
4、（2）因为 所以 当时。左边=，右边 左边=右边，等式成立。假设当时，等式成立，即那么，当时，左边 右边。故当时，等式成立。综上，当时，17、（本题满分15分）如图所示的直角梯形OABC中， ，以OC、OA、OS分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系SCABO（1）求的夹角的余弦；（2）求平面SBC与平面SOA所成二面角的平面角的正弦值解：（1）在空间直角坐标系O-xyz中S ( 0 , 0 , 1 ) A ( 0 , 1 , 0 ) B ( 1 , 1 , 0 ) C ( 2 , 0 , 0 ) ，则， （2）由（1）知平面SOA的一个法向量设平面SBC的一个法向量,则即 即 设平面SBC
5、与平面SOA所成二面角的平面角为则 即平面SBC与平面所成二面角的平面角的正弦值为18、（本小题满分15分）如图，椭圆(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，M、N是椭圆右准线上的两个动点，OMNF2F1yx（第18题）且. （1）设C是以MN为直径的圆，试判断原点O与圆C的位置关系； （2）设椭圆的离心率为，MN的最小值为，求椭圆方程.【解】（1）设椭圆的焦距为2c(c0)，则其右准线方程为x，且F1(c, 0),F2(c, 0).2分设M，则. 4分因为，所以，即. 于是，故MON为锐角.所以原点O在圆C外. 7分 （2）因为椭圆的离心率为，所以a=2c， 8分 于是M ，且 9分MN2(
6、y1y2)2y12+y222y1y2. 12分当且仅当 y1y2或y2y1时取“=”号， 13分所以(MN)min= 2c2，于是c=1, 从而a2，b，故所求的椭圆方程是. 15分19、(本小题满分16分)函数其中为常数，且函数和的图像在其与坐标轴的交点处的切线互相平行（1）求函数的解析式；（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围解：（1） -2的图像与坐标轴的交点为，的图像与坐标轴的交点为由题意得即， -3又 -4（2）由题意当时，-6令 -7令 -9当时，单调递增。 -10由在上恒成立得 -12当时， -13可得单调递增。-14由在上恒成立，得 -15综上，可知 -1620、（本小题
7、满分16分）下述数阵称为“森德拉姆筛”，记为S其特点是每行每列都是等差数列，第i行第j列的数记为Aij.1 4 7 10 13 4 8 12 16 20 7 12 17 22 27 10 16 22 28 34 13 20 27 34 41 （1）证明：存在常数，对任意正整数i、j，总是合数；（2）设S中主对角线上的数1，8，17，28，41，组成数列. 试证不存在正整数k和m，使得成等比数列；（3）对于（2）中的数列，是否存在正整数p和r，使得成等差数列若存在，写出的一组解（不必写出推理过程）；若不存在，请说明理由（1）【证明】因为第一行数组成的数列A1j(j=1,2，)是以1为首项，公差为
8、3的等差数列，所以A1 j1+(j1)33 j2，第二行数组成的数列A2j(j1,2，)是以4为首项，公差为4的等差数列，所以A2 j4+(j1)44 j 2分所以A2 jA1 j4 j(3 j2)j2，所以第j列数组成的数列 Aij(i1,2，)是以3 j2为首项，公差为 j2的等差数列，所以Aij3 j2(i1) (j2) ij2i2j4(i3) (j2) 8 5分故Aij8=(i3) (j2)是合数所以当8时，对任意正整数i、j，总是合数6分（2）【证明】(反证法)假设存在k、m，使得成等比数列，即 7分bnAnn (n+2)24得，即， 10分又，且k、mN，k2、m3，这与Z矛盾，所以不存在正整数k和m，使得成等比数列12分（3）【解】假设存在满足条件的，那么即. 14分不妨令 得所以存在使得成等差数列 16分（注：第（3）问中数组不唯一，例如也可以）
