1、专题07 平面向量的线性运算及其应用2014高考对本内容的考查主要有：平面向量这部分内容在高考中的要求大部分都为B级，只有平面向量的应用为A级要求，平面向量的数量积为C级要求，应特别重视试题类型可能是填空题，同时在解答题中经常与三角函数综合考查，构成中档题. 1向量的概念(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)(4)如果直线l的斜率为k，则a(1，k)是直线l的一个方向向量(5)|b|cosa，b叫做b在向量a方向上的投影2两非零向量平行、垂直的充要条件设
2、a(x1，y1)，b(x2，y2)，(1)若abab(0)；abx1y2x2y10.(2)若abab0； abx1x2y1y20.3平面向量的性质(1)若a(x，y)，则|a|.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|A|.(3)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，为a与b的夹角，则cos .4当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易使用错误，向量(其中O为我们所需要的任何一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量5根据平行四边形法则，对于非零向量a，b，当|ab|ab|时，平行四边形的两条对角
3、线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|ab|ab|等价于向量a，b互相垂直，反之也成立6两个向量夹角的范围是0，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线考点1、平面向量的线性运算【例1】 (2013江苏卷)设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC.若12(1，2为实数)，则12的值为_【规律方法】在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作字母，其运算类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比本例中的第(1)题就是把向量用，表示出来，再与题中已知向量关系式进行对比，得
4、出相等关系式，可求相应的系数【变式探究】 (2013天津卷)在平行四边形ABCD中，AD1，BAD60，E为CD的中点若1，则AB的长为_考点2、平面向量的数量积 【例2】已知O，A，B是平面上不共线的三点，设P为线段AB垂直平分线上任意一点，若|7，|5，则()的值为_【规律方法】求数量积的最值，一般要先利用向量的线性运算，尽可能将所求向量转化为长度和夹角已知的向量，利用向量的数量积运算建立目标函数，利用函数知识求解最值【变式探究】 (2013湖南卷)已知a，b是单位向量，ab0.若向量c满足|cab|1，则|c|的取值范围是_【例1】已知向量m(sin x，1)，n(cos x,3)(1)
5、当mn时，求的值；(2)已知在锐角ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，c2asin(AB)，函数f(x)(mn)m，求f的取值范围【规律方法】在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题【变式探究】 (2013江苏卷)已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0.(1)若|ab|，求
6、证：ab；(2)设c(0,1)，若abc，求，的值1已知向量a(2，x)，b(x1,1)，若ab，则x的值为_【解析】由ab，得2x(x1)0，解得x2或1.【答案】2或12已知向量a与b的夹角为120，|a|3，|ab|则|b| 等于_【解析】向量a与b的夹角为120，|a|3，|ab|，则ab|a|b|cos 120|b|，|ab|2|a|22ab|b|2.所以1393|b|b|2，则|b|1(舍去)或|b|4.【答案】43已知非零向量a，b，c满足abc0，向量a与b的夹角为60，且|a|b|1，则向量a与c的夹角为_4在ABC中，已知4，12，则|_.【解析】将4，12两式相减得()2
7、16，则|4.【答案】45(2013新课标全国卷)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则_.6(2013安徽卷改编)在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足|2，则点集P|，|1，R所表示的区域的面积是_因为|1，所以1，当由可行域可得S02，所以由对称性可知点P所表示的区域面积S4S04.【答案】47.如图，在正方形ABCD中，已知AB2，M为BC的中点，若N为正方形内(含边界)任意一点，则的最大值是_8在直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的动点，则|P3P|的最小值为_9已知a(sin ，sin )，b(cos()，1)，c(cos(
8、)，2)，k(kZ)(1)若bc，求tan tan 的值；(2)求a2bc的值【解析】解(1)若bc，则2cos()cos()0，3cos cos sin sin 0，k(kZ)，tan tan 3.10已知ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m(a，b)，n(sin B，sin A)，p(b2，a2)(1)若mn，求证：ABC为等腰三角形；(2)若mp，边长c2，C，求ABC的面积11如图所示，A，B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点，点P在单位圆上，AOP(0)，C点坐标为(2,0)，平行四边形OAQP的面积为S.(1)求OOS的最大值；(2)若CBOP，求sin的值所以OO1cos .
