1、2021年高三数学第一次模拟试卷（理科） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第卷（选择题 共50分）参考公式：如果事件A、B互斥，那么P（AB）P（A）P（B）如果事件A、B相互独立，那么P（AB）P（A）P（B）柱体（棱柱、圆柱）的体积公式其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号12345678910答案1已知点（n，a n）（n1，2，3）都在直线上，那么数列中有 （ C ）A BC D解：2 设函数f（x）2x，函数g（x）的图象与f（x）
2、的图象关于直线yx对称，函数h（x）的图象由g（x）的图象向右平移1个单位得到，则h（x）为（ A ）Alog2（x1） Blog2（x1）Clog2（x1） Dlog2（x1）ABCDE3已知E是正方形ABCD的边AB的中点，将ADE和BCE分别沿DE、EC向上折起，使A、B两点重合于P，则二面角DPEC的大小是（ C ）A BC60 D904 已知F1、F2为椭圆的两个焦点，过F1作倾斜角为的弦AB，则F2AB的面积为（ B ）A B C D15 设a、b、c是ABC的三个内角A、B、C所对的边，且lgsinA、lgsinB、lgsinC成等差数列，那么直线与直线的位置关系是( D )A平
3、行 B垂直 C相交但不垂直 D重合6在ABC中，若a7，b8，则最大角的余弦值为（ B ） A B C D7设随机变量的分布列为P（i），i1，2，n，则常数k的值为（ C ）A1 B C D8在 的展开式中，含x4项的系数为（ A ）A40 B32 C36 D409已知向量，若正数k和t使与，垂直，则k的最小值是（ D ）A0 B1 C2 D2解：， 化简得，210已知方程（a0）的两根为，且，均在区间（，）内，则的值为（ B ）A B2 C D2或解：由=(4a)24(3a+1)0得a1或a(舍去)tan、tan是方程的两根 tan+tan=4a0又、(,) 、(,0), +(,0) ta
4、n(+)= =tan=-2或tan=(舍去)第卷 （非选择题 共100分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分把答案填在题中横线上11若n是奇数，则_2_12已知a、b为不垂直的异面直线，是一个平面，则a、b在上的射影有可能是两条平行直线两条互相垂直的直线同一条直线一条直线及其外一点在上面结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）13函数的值域为 _（0，_解：设，t的最小值为8y的最大值为14已知圆与抛物线（p0）的准线相切，则p_解：圆的方程化为：， 切线为x1或x3 p2或615从1，2，3，100这100个数中，任取两个数，使其和能被4 整除的取法（不计顺序）有_
5、1225_种（用数字作答）解：将这100 个数分成4组：被4整除的A4，8，12，被4除余1的B5，9，13，被4除余2的C6，10，14，被4除余3的D7，11，15从A里取2个符合，从B、D各取一个符合，从C里取2个符合共有122516已知Axx22x30，Bxx2axb0，若ABR，AB（3，4， 则ab_12_解：由A（，1）（3，），ABR， AB（3，4，B1，4，即1，4是方程x2axb0的两个根a3，b4三、解答题：本大题共6小题，共76分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分12分）射击比赛中每人射4次，每次一发规定全部不中得0分，只中一发得15分，中两发得3
6、0分，中三发得55分，中四发得100分某人每次射击的命中率为，求他得分的数学期望解：设为此人命中目标的次数，则服从二项分布设为此人的分数，则为与相关的随机变量，的可能取值为0，15，30，55，100P（0）P（0）； 2分 P（15）P（1）； 4分 P（30）P（2）； 6分 P（55）P（3）； 8分 P（100）P（4）； 10分 E51.85 12分18（本小题满分12分）ABCA1B1C1ED如图，直三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，ACB90，AC1，点C到AB1的距离为CE，D为AB的中点（）求证：AB1平面CED；（）求异面直线AB1与CD之间的距离；（）
7、求二面角B1ACB的平面角解：（）D是AB中点，ABC为等腰直角三角形，ABC90，CDAB又AA1平面ABC， CDAA1 CD平面A1B1BA CDAB1，又CEAB1 AB1平面CDE 4分（）由CD平面A1B1BA， CDDEAB1平面CDE， DEAB1 DE是异面直线AB1与CD的公垂线段 6分CE，AC1， CD 8分（）连结B1C，易证B1CAC，又BCAC ，B1CB是二面角B1ACB的平面角 10分在RtCEA中，CE，BCAC1，B1AC60， 12分19（本小题满分12分） 函数的最小值为（aR） （）求的表达式； （）若，求a及此时的最大值解：（）， 设，1，12分
8、当1，即a2时， ； 当11，即2a2时， ； 当1，即a2时， 综上可得： 8分（）当a2时，； 当a2时，得，矛盾； 当2a2时，则a3（舍）或a1 10分 当a1时，当cosx1时，有最大值为5 12分20（本小题满分12分）已知函数在区间（2，1）内当x1时取得极小值，x时取得极大值（）求函数的解析式；（）求函数在x2时的对应点的切线方程；（）求函数在2，1上的最大值与最小值解：（）； 2分当x1时取得极小值，x时取得极大值；1，是方程的两个根 4分 5分（）当x2时，即点（2，2）在曲线上， 7分又切线的斜率为 ， 9分切线方程为 10分（）， 在2，1上的最大值为2，最小值为 12
9、分21（本小题满分14分）已知双曲线C1的中心在原点，实轴在x轴上实轴长与虚轴长的积是2，且一焦点到其相应准线的距离为（）求双曲线C1的方程；（）求以双曲线C1的实轴与虚轴分别为短轴和长轴的椭圆C2的方程；（）求证：当与直线平行的直线m被椭圆C2截取的弦最长时，该直线m被双曲线C1截取的弦最短，并求该最短弦长解：（） ，设F（c，0），准线，2分 ，即 4分（） 6分（）将直线与椭圆方程联立得，则，弦长当且仅当m0时取等号9分将直线与双曲线方程联立得，则弦长，当且仅当m0时取等号 12分综上当m0时直线被椭圆C2截取的弦最长同时，该直线被双曲线C1截取的弦最短，最短弦长为 14分22（本小题满
10、分14分）已知点B1（1，y1），B2（2，y2），Bn（n，yn），（nN*）顺次为直线y上的点，点A1（x1，0），A2（x2，0），An（xn，0）顺次为x轴上的点，其中x1a（0a1）对于任意nN*，点An、Bn、An+1构成以Bn为顶点的等腰三角形（）求数列yn的通项公式，并证明它为等差数列；（）求证：xn+2xn是常数，并求数列xn的通项公式；（）上述等腰AnBnAn+1中是否可能存在直角三角形，若可能，求出此时a的值；若不可能，请说明理由解：（）ynn+，yn+1yn，数列yn是等差数列， 4分（）由题意得，n，xnxn+12n， xn+1xn+22（n1），、相减，得xn+2x
11、n2，x1，x3，x5，x2n1，成等差数列；x2，x4，x6，x2n，成等差数列， 8分x2n1x12（n1）2na2，x2nx2（n1）2（2a）（n1）22na，xn 10分（）当n为奇数时，An（na1，0），An+1 （n1a，0）所以AnAn+12（1a）；当n为偶数时，An（na，0），An+1（na，0），所以AnAn12a，作BnCnx轴于Cn ，则BnCnn要使等腰三角形AnBnAn+1为直角三角形，必须且只须AnAn+12BnCn12分所以，当n为奇数时，有2（1a）2（n），即12a113n，当n1时，a；当n3时，a；当n5时，方程12a113n无解当n为偶数时，12a3n1，同理可求得a综上，当a，或a或a时，存在直角三角形14分36656 8F30 輰H!?*20305 4F51 佑H23515 5BDB 寛22537 5809 堉38889 97E9 韩28873 70C9 烉34508 86CC 蛌
