1、专题突破练25直线与圆及圆锥曲线1.(2020全国,理19)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合,C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A,B两点,交C2于C,D两点,且|CD|=43|AB|.(1)求C1的离心率;(2)设M是C1与C2的公共点.若|MF|=5,求C1与C2的标准方程.2.已知圆O:x2+y2=4,点A(3,0),以线段AB为直径的圆内切于圆O,记点B的轨迹为.(1)求曲线的方程;(2)直线AB交圆O于C,D两点,当B为CD的中点时,求直线AB的方程.3.(2019全国,理19)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,
2、斜率为32的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;(2)若AP=3PB,求|AB|.4.(2020山东威海一模,20)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P-1,32是椭圆上一点,|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项.(1)求椭圆的标准方程;(2)若A为椭圆的右顶点,直线AP与y轴交于点H,过点H的另一条直线与椭圆交于M,N两点,且SHMA=6SPHN,求直线MN的方程.5.(2020重庆名校联盟高三二诊,19)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0),F1,F2为椭圆的左、右焦点,P1,22为
3、椭圆上一点,且|PF1|=322.(1)求椭圆的标准方程;(2)设直线l:x=-2,过点F2的直线交椭圆于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l、直线AB于M,N两点,当MAN最小时,求直线AB的方程.6.(2020天津河北一模,19)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12,直线x+y-6=0与圆x2+y2=b2相切.(1)求椭圆C的方程;(2)过点P(4,0)的直线l与椭圆C交于不同两点A,B,线段AB的中垂线为l1,若l1在y轴上的截距为413,求直线l的方程.专题突破练25直线与圆及圆锥曲线1.解(1)由已知可设C2的方程为y2=4cx,其中c=a2-b2.不妨
4、设A,C在第一象限,由题设得A,B的纵坐标分别为b2a,-b2a;C,D的纵坐标分别为2c,-2c,故|AB|=2b2a,|CD|=4c.由|CD|=43|AB|得4c=8b23a,即3ca=2-2ca2,解得ca=-2(舍去),ca=12.所以C1的离心率为12.(2)由(1)知a=2c,b=3c,故C1:x24c2+y23c2=1.设M(x0,y0),则x024c2+y023c2=1,y02=4cx0,故x024c2+4x03c=1.由于C2的准线为x=-c,所以|MF|=x0+c,而|MF|=5,故x0=5-c,代入得(5-c)24c2+4(5-c)3c=1,即c2-2c-3=0,解得c
5、=-1(舍去),c=3.所以C1的标准方程为x236+y227=1,C2的标准方程为y2=12x.2.解(1)设AB的中点为M,切点为N,连接OM,MN,则|OM|+|MN|=|ON|=2,|AB|=|ON|-(|OM|-|MN|)=2-|OM|+12|AB|,即|AB|+2|OM|=4.取A关于y轴的对称点A,连接AB,则|AB|=2|OM|,故|AB|+2|OM|=|AB|+|AB|=4.所以点B的轨迹是以A,A为焦点,长轴长为4的椭圆.其中a=2,c=3,b=1,则曲线的方程为x24+y2=1.(2)因为B为CD的中点,所以OBCD,则OBAB.设B(x0,y0),则x0(x0-3)+y
6、02=0.又x024+y02=1,解得x0=23,y0=23.则kOB=22,kAB=2,则直线AB的方程为y=2(x-3),即2x-y-6=0或2x+y-6=0.3.解设直线l:y=32x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).(1)由题设得F34,0,故|AF|+|BF|=x1+x2+32,由题设可得x1+x2=52.由y=32x+t,y2=3x,可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,则x1+x2=-12(t-1)9.从而-12(t-1)9=52,得t=-78.所以l的方程为y=32x-78.(2)由AP=3PB可得y1=-3y2.由y=32x+t,y2=3x可得y2-2y+2t=0
7、.所以y1+y2=2.从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.代入C的方程得x1=3,x2=13.故|AB|=4133.4.解(1)因为|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项,所以a=2c,得a2=4c2,则b2=a2-c2=3c2.又P-1,32在椭圆上,所以14c2+94b2=1,即14c2+34c2=1,所以c=1.则a2=4,b2=3,椭圆的标准方程为x24+y23=1.(2)因为P-1,32,由(1)计算可知A(2,0),H(0,1),当直线MN与x轴垂直时,易验证,不合题意.当直线MN与x轴不垂直时,设直线MN的方程为y=kx+1,联立直线与椭圆的方程y=kx+1,
8、x24+y23=1,消去y,可得(4k2+3)x2+8kx-8=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),由韦达定理可得x1+x2=-8k4k2+3,x1x2=-84k2+3.由SHMA=6SPHN,可得|AH|MH|=6|NH|PH|,又|AH|=2|PH|,所以|MH|=3|NH|,得x1=-3x2,代入,可得-2x2=-8k4k2+3,-3x22=-84k2+3,所以316k2(4k2+3)2=84k2+3,解得k=62,所以直线MN的方程为y=62x+1.5.解(1)设椭圆的左焦点F1(-c,0)(c0),则|PF1|=(1+c)2+12=322,解得c=1,所以|PF2|=22,则由
9、椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a=22,a=2,b=1.故椭圆的标准方程为x22+y2=1.(2)由题意直线AB的斜率必定不为零,于是可设直线AB:x=ty+1,联立方程x=ty+1,x22+y2=1,得(t2+2)y2+2ty-1=0,直线AB交椭圆于A(x1,y1),B(x2,y2),=4t2+4(t2+2)=8(t2+1)0,由韦达定理得y1+y2=-2tt2+2,y1y2=-1t2+2,则yN=-tt2+2,xN=tyN+1=-t2t2+2+1=2t2+2.MNAB,kMN=-t,|MN|=1+t2-2-2t2+2=1+t22t2+6t2+2.又|AN|=12|AB|=121+t2
10、|y1-y2|=1+t221+t2t2+2,tanMAN=|MN|AN|=2(t2+3)t2+1=2t2+1+2t2+1222=4.当且仅当t2+1=2t2+1,即t=1时取等号.此时直线AB的方程为x+y-1=0或x-y-1=0.6.解(1)由题意得,e=ca=12,b=|-6|1+1=3,又a2=b2+c2,a=2.椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)由题意,直线l的斜率k存在且不为零.设直线l的方程为y=k(x-4),k0.设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点Q(x0,y0).由y=k(x-4),x24+y23=1,消去y,整理得(3+4k2)x2-32k2x+64k2-12=0.由=(-32k2)2-4(3+4k2)(64k2-12)0,解得-12k12,且k0,x1+x2=32k23+4k2.x0=16k23+4k2,y0=k(x0-4)=-12k3+4k2.Q16k23+4k2,-12k3+4k2.由题意可知,l1:y-y0=-1k(x-x0),即y+12k3+4k2=-1kx-16k23+4k2.化简得,y=-1kx+4k3+4k2.令x=0,4k3+4k2=413.解得k=14或k=3.-12k12,且k0,k=14.故直线l的方程为y=14(x-4),即x-4y-4=0.
