1、专题19 平面向量的概念及其线性运算1.向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位长度的向量非零向量a的单位向量为平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律向量的加法求两个向量和的运算(1)交换律：abba. (2)结合律：(ab)ca(bc).向
2、量的减法求两个向量差的运算三角形法则aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0(a)()a；()aaa；(ab)ab3.向量共线定理如果有一个实数，使ba(a0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a0)是共线向量，那么有且只有一个实数，使ba.4、平面向量基本定理（1）平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解.向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键.（2）平面向量共线的坐标表示两向量平行的充要条件若a(x1，y1)，b(x2，y2)，
3、则ab的充要条件是ab，这与x1y2x2y10在本质上是没有差异的，只是形式上不同.（3）三点共线的判断方法：判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定.失误与防范要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况.若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件不能表示成，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2x2y10.例1、（2017徐州期末）在中，若点，依次是边上的四等分点，设，用，表示，则 【答案】.【解析】、 在中，所以变式：如图,在平行四边形中, ，则_(用，表示)解析 例2、(20
4、18南京学情调研）设向量a(1，4)，b(1，x)，ca3b.若ac，则实数x的值是_【答案】 4【解析】、因为a(1，4)，b(1，x)，ca3b(2，43x)又ac，所以43x80，解得x4.变式1、(2017南京学情调研）已知向量a(1,2)，b(m,4)，且a(2ab)，则实数m的值为_【答案】 2解法1 由题意得a(1,2)，2ab(2m,8)，因为a(2ab)，所以18(2m)20，故m2.解法2 因为a(2ab)，所以存在实数，使得a2ab，即(2)ab，所以(2,24)(m,4)，所以2m且244，得4，m2.解法3 因为a(2ab)，所以ab，所以42m，即m2.变式2、(2
5、017苏州暑假测试）设x，yR，向量a(x,1)，b(2，y)，且a2b(5，3)，则xy_.【答案】 1【解析】、由题意得a2b(x4,12y)(5，3)，所以解得所以xy1.例3、（2017江苏卷） 如图，在同一个平面内，向量，的模分别为1,1，与的夹角为，且7，与的夹角为45.若mn(m，nR)，则mn_【答案】3 建立平面直角坐标系，可能计算量较小以哪个向量所在直线作为x轴更易计算呢？以O为原点，方向为x轴正方向建立平面直角坐标系xOy，则(，0)单位向量，.由mn，得即解得所以mn3.变式1、（2017泰州期中）如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，若，则_，_ 【
6、答案】，【解析】、设与，同方向的单位向量分别为，依题意有，又，则，所以，变式2、（2017南通联考）在ABC中，C45，O是ABC的外心，若mn(m，nR)，则mn的取值范围是_【答案】 ，1)思路分析 本题中三点在圆O上是一个关键条件，可以建立坐标系求出m，n的关系式，再利用三角换元求解，也可以对向量等式两边平方后得到m，n的关系式，再利用线性规划求解因为C，O是ABC外心，所以AOB90，mn，所以C在优弧上建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设半径为1，则A(0,1)，B(1,0)设C(cos，sin)，代入mn，可得ncos，msin，即mncossinsin.又，所以mn，1)解后反思
7、 本题易错在没有注意点C在优弧上，错误的认为点C在整个圆上本题是典型的二元函数的值域问题，解题方法比较多，可以用基本不等式、线性规划、三角换元，但由于点C在圆弧上，最好的方法建立坐标系，利用三角函数求解，定义域的寻找也较为简单例4、(2019泰州期末）已知点P为平行四边形ABCD所在平面上一点，且满足20，0，则_【答案】 由于题中出现了四个向量，因此可以考虑消去或，再根据平面向量基本定理，即可求得和的值解法1(转化法) 如图，因为20，所以2()0，即2()0，即2()0，所以，320，即0，所以，.解法2(基底法) 因为0，0，两式相减得0，所以1，1，.解法3(几何法) 取AB中点E，则
8、22，所以，即P为DE中点，延长CP交BA延长线于点F，易知：A，E为BF的三等分点，且P为CF中点由，得0，所以.变式1、在ABC中，AB2，AC3，角A的平分线与AB边上的中线交于点O，若xy(x，yR)，则xy的值为_. 【答案】. 解析：如图，在ABC中，AD为BAC的平分线，CE为AB边的中线，且ADCEO.在AEO中，由正弦定理得；在ACO中，由正弦定理得，两式相除得，因为AEAB1，AC3，所以.所以3，即3()，即43，所以4，从而，因为xy，所以x，y，于是xy.变式2、（2016年南通一模）如图，在ABC中，BO为边AC上的中线，设，若，则的值为 【答案】思路一：，因为，所
9、以1，思路二：不妨设，则有 1、（2015江苏卷）. 已知向量a(2,1)，b(1，2)，若mab(9，8)(m，nR)，则mn的值为_【答案】 3解析：因为manb(2mn，m2n)(9，8)，所以解得故mn3.2、（2017年苏州期末）设与是两个不共线向量，若A，B，D三点共线，则 【答案】.：【解析】、，设则且，解得3、（2016年苏北四市联考）如图，一直线与平行四边形的两边分别 交于两点，且交其对角线于，其中，则的值为 【答案】【解析】、 因为点F，K，E共线，故可设又，所以，解得4、已知点C，D，E是线段的四等分点，为直线外的任意一点，若，则实数 的值为 【答案】：【解析】、 因为，
10、所以5、(2016南京、盐城、徐州二模）已知为的外心，若，则= 【答案】【解析】、：由已知等式得，平方得，故，得，若为锐角，则与反向，与条件矛盾，故为钝角，从而.误点警示：若为锐角，则与分别是同弧所对的圆心角与圆周角，此时=2；若为钝角，由与的关系是，因此，必须对进行分类讨论.本题从条件判断知，必为钝角.6、如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点，若(，R)，则_.【答案】解析：因为O，E分别是AC，AO的中点，所以().又()()，故.7、（2017年徐州联考）如图，经过的重心G的直线与OA，OB交于点P，Q，设，则的值为 【答案】、3解析 连接并延长，交于点，因为是的重心，即是的中线，所以，因为，所以，同理可得，将代入可得，即，设，则有，根据平面向量基本定理，有，故的值为3
