1、第五节幂函数与二次函数最新考纲1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数yx，yx2，yx3，yx，y的图象，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题1幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如yx(R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较函数yxyx2yx3yxyx1图象性质定义域RRRx|x0x|x0值域Ry|y0Ry|y0y|y0奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上单调递增在(，0上单调递减；在(0，) 上单调递增在R上单调递增在0，)上单调递增在(，0)和(0，)上单调递减公
2、共点(1,1)2.二次函数的图象和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0)图象定义域RR值域单调性在x上单调递减；在x上单调递增在x上单调递增；在x上单调递减对称性函数的图象关于直线x对称1幂函数yx性质研究的方法(1)先确定幂函数的定义域(分数指数幂先转化为根式)，若对称，判定其奇偶性；(2)研究幂函数在第一象限的图象与性质：当0时，函数yx恒经过(0,0)，(1,1)；在0，)上为增函数；当0时，函数恒经过(1,1)；在(0，)上为减函数；(3)结合函数的奇偶性研究其它象限的图象(4)当x(0,1)时，越大，函数值越小；当x(1，)时，越大，函数值越大2二次函数解
3、析式的三种形式(1)一般式：f(x)ax2bxc(a0)；(2)顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)；(3)零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)3一元二次不等式恒成立的条件(1)ax2bxc0(a0)恒成立的充要条件是“a0且0”；(2)ax2bxc0(a0)恒成立的充要条件是“a0且0”一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数y2x是幂函数()(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点()(3)当0时，幂函数yx是定义域上的减函数()(4)二次函数yax2bxc，xa，b的最值一定是.()(5)二次函数yax2bxc，xR不可能是偶函数()(6)在yax2b
4、xc(a0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小()答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)二、教材改编1已知幂函数f(x)kx的图象过点，则k()A.B1C.D2C因为函数f(x)kx是幂函数，所以k1，又函数f(x)的图象过点，所以，解得，则k.2.如图是yxa；yxb；yxc在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为()AcbaBabcCbcaDacbD根据幂函数的性质，可知选D.3已知函数f(x)x24ax在区间(，6)内单调递减，则a的取值范围是()Aa3 Ba3Ca3 Da3D函数f(x)x24ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x2a，由函数在区间(，6)
5、内单调递减可知，区间(，6)应在直线x2a的左侧，所以2a6，解得a3，故选D.4函数g(x)x22x(x0,3)的值域是_1,3g(x)x22x(x1)21，x0,3，当x1时，g(x)ming(1)1，又g(0)0，g(3)963，g(x)max3，即g(x)的值域为1,3考点1幂函数的图象及性质幂函数的性质与图象特征的关系(1)幂函数的形式是yx(R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式(2)判断幂函数yx(R)的奇偶性时，当是分数时，一般将其先化为根式，再判断(3)若幂函数yx在(0，)上单调递增，则0，若在(0，)上单调递减，则0.1.幂函数yf(x)的图象经过点(3
6、，)，则f(x)是()A偶函数，且在(0，)上是增函数B偶函数，且在(0，)上是减函数C奇函数，且在(0，)上是减函数D非奇非偶函数，且在(0，)上是增函数D设幂函数f(x)x，则f(3)3，解得，则f(x)x，是非奇非偶函数，且在(0，)上是增函数2当x(0，)时，幂函数y(m2m1)x5m3为减函数，则实数m的值为()A2B1C1或2 DmB因为函数y(m2m1)x5m3既是幂函数又是(0，)上的减函数，所以解得m1.3若a，b，c，则a，b，c的大小关系是()Aabc BcabCbca DbacD因为yx在第一象限内是增函数，所以ab，因为yx是减函数，所以ac，所以bac.4若(a1)
7、(32a)，则实数a的取值范围是_易知函数yx的定义域为0，)，在定义域内为增函数，所以解得1a.在比较幂值的大小时， 必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，如T3.考点2求二次函数的解析式求二次函数解析式的策略一题多解已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式解法一：(利用二次函数的一般式)设f(x)ax2bxc(a0)由题意得解得故所求二次函数为f(x)4x24x7.法二：(利用二次函数的顶点式)设f(x)a(xm)2n.f(2)f(1)，抛物线对称轴为x.m，又根据题意函数有最大值8，n8，yf(x)a8.f(2)
8、1，a81，解得a4，f(x)484x24x7.法三：(利用零点式)由已知f(x)10的两根为x12，x21，故可设f(x)1a(x2)(x1)，即f(x)ax2ax2a1.又函数有最大值ymax8，即8.解得a4或a0(舍去)，故所求函数解析式为f(x)4x24x7.求二次函数的解析式常利用待定系数法，但由于条件不同，则所选用的解析式不同，其方法也不同1.已知二次函数f(x)的图象的顶点坐标是(2，1)，且图象经过点(1,0)，则函数的解析式为f(x)_.x2x法一：(一般式)设所求解析式为f(x)ax2bxc(a0)由已知得解得所以所求解析式为f(x)x2x.法二：(顶点式)设所求解析式为
9、f(x)a(xh)2k.由已知得f(x)a(x2)21，将点(1,0)代入，得a，所以f(x)(x2)21，即f(x)x2x.2已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意xR，都有f(2x)f(2x)，则函数的解析式f(x)_.x24x3f(2x)f(2x)对xR恒成立，f(x)的对称轴为x2.又f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，f(x)0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)a(x1)(x3)(a0)又f(x)的图象经过点(4,3)，3a3，a1.所求f(x)的解析式为f(x)(x1)(x3)，即f(x)x24x3.考点3二次函数的图象与性质
10、解决二次函数图象与性质问题时应注意2点(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)二次函数的图象已知abc0，则二次函数f(x)ax2bxc的图象可能是()ABCDDA项，因为a0，0，所以b0.又因为abc0，所以c0，而f(0)c0，故A错B项，因为a0，0，所以b0.又因为abc0，所以c0，而f(0)c0，故B错C项，因为a0，0，所以b0.又因为abc0，所以c0，而f(0)c0，故C错D项，因为a0，0，所以b0，因为abc0，所以c0，而f(0)
11、c0，故选D.识别二次函数图象应学会“三看”二次函数的单调性函数f(x)ax2(a3)x1在区间1，)上是递减的，则实数a的取值范围是()A3,0) B(，3C2,0 D3,0D当a0时，f(x)3x1在1，)上递减，满足题意当a0时，f(x)的对称轴为x，由f(x)在1，)上递减知解得3a0.综上，a的取值范围为3,0母题探究若函数f(x)ax2(a3)x1的单调减区间是1，)，则a_.3由题意知f(x)必为二次函数且a0，又1，a3.二次函数单调性问题的求解策略(1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解(2)利用二次函数的单
12、调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较二次函数的最值问题设函数f(x)x22x2，xt，t1，tR，求函数f(x)的最小值解f(x)x22x2(x1)21，xt，t1，tR，函数图象的对称轴为x1.当t11，即t0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间t，t1上为减函数，所以最小值为f(t1)t21；当t1t1，即0t1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x1处取得最小值，最小值为f(1)1；当t1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间t，t1上为增函数，所以最小值f(t)t22t2.综上可知，f(x)min图(1)图(2)图(3)逆向问
13、题已知函数f(x)x22ax1a在x0,1时，有最大值2，则a的值为_1或2函数f(x)x22ax1a(xa)2a2a1，对称轴方程为xa.当a0时，f(x)maxf(0)1a，所以1a2，所以a1.当0a1时，f(x)maxa2a1，所以a2a12，所以a2a10，所以a(舍去)当a1时，f(x)maxf(1)a，所以a2.综上可知，a1或a2.二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论二次函数中的恒成立问题(1)已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm
14、，m1，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是_；(2)已知函数f(x)x22x1，f(x)xk在区间3，1上恒成立，则k的取值范围为_(1)(2)(，1)(1)作出二次函数f(x)的草图如图所示，对于任意xm，m1，都有f(x)0，则有即解得m0.(2)由题意得x2x1k在区间3，1上恒成立设g(x)x2x1，x3，1，则g(x)在3，1上递减g(x)ming(1)1.k1.故k的取值范围为(，1)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离这两个思路的依据是
15、：af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min.教师备选例题已知函数f(x)ax2bxc(a0，bR，cR)(1)若函数f(x)的最小值是f(1)0，且c1，F(x)求F(2)F(2)的值；(2)若a1，c0，且|f(x)|1在区间(0,1上恒成立，试求b的取值范围解(1)由已知c1，abc0，且1，解得a1，b2，所以f(x)(x1)2.所以F(x)所以F(2)F(2)(21)2(21)28.(2)由题意知f(x)x2bx，原命题等价于1x2bx1在(0,1上恒成立，即bx且bx在(0,1上恒成立又当x(0,1时，x的最小值为0，x的最大值为2.所以2b0.故b的取值范
16、围是2,01.若一次函数yaxb的图象经过第二、三、四象限，则二次函数yax2bx的图象只可能是()ABCDC因为一次函数yaxb的图象经过第二、三、四象限，所以a0，b0，所以二次函数的图象开口向下，对称轴方程x0，只有选项C适合2若函数yx23x4的定义域为0，m，值域为，则m的取值范围为()Cyx23x4的定义域为0，m，显然，在x0时，y4，又值域为，根据二次函数图象的对称性知m3，故选C.3设二次函数f(x)ax22axc在区间0,1上单调递减，且f(m)f(0)，则实数m的取值范围是_0,2依题意a0，二次函数f(x)ax22axc图象的对称轴是直线x1，因为函数f(x)在区间0,1上单调递减，所以a0，即函数图象的开口向上，所以f(0)f(2)，则当f(m)f(0)时，有0m2.
