1、3.4基本不等式【课题】3.4.2基本不等式的应用【教学目标】1知识与技能：进一步掌握基本不等式；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题2过程与方法：通过两个例题的研究，进一步掌握基本不等式，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。3情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。【教学重点】基本不等式的应用【教学难点】利用基本不等式求最大值、最小值。【教学过程】教学环节教学活动设计意图复习与课题导入1.复习提问:请口述重要不等式与基本不等式(学生口述教师板书或投影)(1)重要不等式：如果(2)基本不等式：如果a
2、,b是正数，那么(3)我们称的算术平均数，称的几何平均数.成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数。2.填充(1)若x0y0且x+y=10，则xy_,当且仅当_时取等号. (2)若x0y0且xy=100，则x+y_,当且仅当_时取等号.归纳：一般地:1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，bR，且abM，M为定值，则ab，等号当且仅当ab时成立.2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，bR，且abP，P为定值，则ab2，等号当且仅当ab时成立.复习重要不等式与基本不等式为解决实际问题做准备. 运用基本不等式解决实际问题例1（1）用篱笆围成一
3、个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？（2）段长为36 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?解：（1）设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy=100，篱笆的长为2（x+y） m。由，可得 ， 。等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.（2）解法一：设矩形菜园的宽为xm，则长为（362x）m，其中0x，其面积Sx（362x）2x（362x）当且仅当2x362x，即x9时菜园面积最大，即菜园长9m，宽为9
4、m时菜园面积最大为81 m2解法二：设矩形菜园的长为x m.,宽为y m ,则2(x+y)=36, x+y=18,矩形菜园的面积为xy m。由，可得 当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立。因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积是81m(注:此题也可得xy=-x2+18x (0x18),当x=y,即x=y=9时,xy有最大值81).例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系
5、式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得当因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件。通过例题的训练提高学生应用所学知识解决问题的能力。引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德归纳与总结归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大
6、值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.使学生掌握运用均值不等式解决实际问题的程序强化训练3.随堂练习1.已知x0，当x取什么值时，x2的值最小?最小值是多少?2课本第113页的练习1、2、3、4课堂小结本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题。在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数
7、的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。使学生明确用均值不等解决函数的一些最值问题时应注意的事项作业布置课本第113页习题A组的第2、4题巩固学生对本节学习内容的理解和掌握。1.把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是A. cm2B.4 cm 2C.3 cm2D.2 cm2解析：设两段长分别为x cm，（12x） cm，则S=（）2+（）2=（x212x+72）=（x6）2+362.答案：D2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的
8、造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？解析：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得当因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元答案：当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元3一段长为 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?解析：法一：设矩形菜园的宽为xm，则长为（2x）m，其中0x，其面积Sx（2x）2x（2x）当且仅当2x2x，即x时菜园面积最大，即菜园长m，宽为 m
9、时菜园面积最大为 m2法二：设矩形的长为x m，则宽为m，面积S（m2）当且仅当xx，即x（m）时，矩形的面积最大也就是菜园的长为m，宽为m时，菜园的面积最大，最大面积为m2答案：菜园的长为m，宽为m时，菜园的面积最大，最大面积为m24.建筑一个容积为8000 m3、深6 m的长方体蓄水池（无盖），池壁造价为a元米2，池底造价为2a元米2，把总造价y元表示为底的一边长x m的函数，其解析式为_，定义域为_.底边长为_ m时总造价最低是_元.解析：设池底一边长x（m），则其邻边长为（m），池壁面积为26x2612（x）（m2），池底面积为x（m2），根据题意可知蓄水池的总造价y（元）与池底一边长
10、x（m）之间的函数关系式为y12a（x）a.定义域为（0，）.x2（当且仅当x=即x=时取“=”）.当底边长为 m时造价最低，最低造价为（160aa）元.答案：y=12a（x+）+a （0，+） 160a+a5.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y万元与营运年数x（xN）的关系为y=x2+12x25，则每辆客车营运_年可使其营运年平均利润最大.A.2 B.4 C.5 D.6解析：设年平均利润为g（x），则g（x）=12（x+）.x+2=10，当x=，即x=5时，g（x）max=2.答案：C6如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2米的无盖长方体
11、的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量份数与a、b的乘积ab成反比现有制箱材料60平方米，问a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量份数最小(A、B孔面积忽略不计)解析：法一：设y为流出的水中杂质的质量份数，根据题意可知：y，其中k0且k是比例系数依题意要使y最小，只需求ab的最大值由题设得：4b2ab2a0 （a0，b0）即a2bab30 （a0，b0)a2b2 2ab30当且仅当a2b时取“”号，ab有最大值当a2b时有2ab30,即b22b10解之得：b13，b2（舍去)a2b故当a米，b3米时经沉淀后流出的水中杂质最少解析：法二：设y为流出的水中杂质的质量份数，由题意可知：4b2ab2a0（a0，b0）a2bab30 （a0，b0）,b （0a30）由题设：y，其中k0且k是比例系数，依题只需ab取最大值y当且仅当a2时取“”号，即a，b3时ab有最大值18故当a米，b3米时经沉淀后流出的水中杂质最少答案：当a米，b3米时经沉淀后流出的水中杂质最少
