1、3.2 解一元一次方程(一)合并同类项与移项学习要求1、初步掌握用移项、合并、系数化为1的方法步骤解简单的一元一次方程2、进一步掌握用移项、合并的方法解一元一次方程，会列一元一次方程解决简单的实际问题知识点一： 合并同类项与系数化为1知识点二： 移项例题1方程2x1=3x+2的解为（）Ax=1Bx=1Cx=3Dx=3【分析】方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解【解答】解：方程2x1=3x+2，移项得：2x3x=2+1，合并得：x=3解得：x=3，故选D【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解例题2方程2x1=3的解是（）A1BC1D2
2、【分析】根据移项、合并同类项、系数化为1，可得答案【解答】解：2x1=3，移项，得：2x=4，系数化为1，得：x=2故选：D【点评】本题考查了解一元一次方程，根据解一元次方程的一般步骤可得答案例题3解方程：5x2=7x+8【分析】此题应先对方程进行移项，然后合并同类项，最后方程两边同时除以x的系数，即可解出x的值【解答】解：移项得：5x7x=8+2合并同类项得：2x=10方程两边同除以2得：x=5【点评】本题易在移项上出错，对方程进行移项要注意符号的改变变式13x2=5x+4【分析】此题比较简单，移项、合并、化系数为1，即可求得【解答】解：移项得：3x5x=4+2合并得：2x=6化系数为1得：
3、x=3【点评】本题比较简单，解此题要注意移项要变号变式2解方程：（1）3x+7=322x（2）【分析】按照先移项，再合并同类项，进而系数化为1的方法计算即可【解答】解：（1）3x+7=322x3x+2x=327 （2分）5x=25 （4分）x=5 （5分）（2）（2分）=2 （4分）x=6 （5分）【点评】考查解一元一次方程；掌握解一元一次的方法是解决本题的关键变式35x0.7=6.51.3x【分析】先移项，再合并同类项，最后化系数为1，从而得到方程的解【解答】解：移项得：5x+1.3x=6.5+0.7，拓展点一： 解一元一次方程例题解方程：2x+20=53x【分析】先移项，再合并同类项，最后
4、化系数为1，从而得到方程的解【解答】解：移项得：2x+3x=520，合并同类项得：5x=15，化系数为1得：x=3【点评】本题考查解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1注意移项要变号变式12y+3=116y【分析】先移项，再合并同类项，最后化系数为1，从而得到方程的解【解答】解：移项得：2y+6y=113，合并同类项得：8y=8，系数化为1得：y=1【点评】本题考查解一元一次方程，此题的解题步骤是：移项、合并同类项、化系数为1注意移项要变号变式2解方程：16x3.5x6.5x=7【分析】直接合并同类项，然后系数化为1，从而得出方程的解【解答】解
5、：16x3.5x6.5x=7，合并得：6x=7，化系数为1得：【点评】本题考查解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1注意移项要变号变式3【分析】首先去分母，移项，合并同类项，再系数化1，即可求得答案【解答】解：去分母得：2x24=3x，移项得：2x3x=24，合并得：x=24，系数化为1得：x=24【点评】此题考查了一元一次方程的解法此题比较简单，注意掌握一元一次方程的解题步骤是解此题的关键拓展点二： 列一元一次方程求值例题某商品的售价为每件900元，为了参与市场竞争，商店按售价的9折再让利40元销售，此时仍可获利10%，此商品的进价是多少元？
6、【分析】设进价为x元，依商店按售价的9折再让利40元销售，此时仍可获利10%，可得方程式，求解即可得答案【解答】解：设进价为x元，依题意得：90090%40x=10%x，整理，得770x=0.1x解之得：x=700答：商品的进价是700元【点评】应识记有关利润的公式：利润=销售价成本价变式1浙江省移动公司开设有两种手机业务：“全球通”：月租费为50元，市内通话费按0.4元/分计算；“神州行”：不缴月租费，市内通话费按0.6元/分计算选择全球通还是神州行合算？【分析】本题可先求出相等时的折中方案，然后再根据条件来判断选择哪种比较合适【解答】解：设当通话x分钟，则50+0.4x=0.6x解得：x=
7、250当通话时间少于250分钟，选择神州行合算当通话时间多于250分钟，选择全球通合算当通话时间等于250分钟时选择神州行和全球通都可以【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解变式2一家商店将某种服装按成本价提高40%标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本多少元？【分析】设这种服装每件的成本为x元，根据成本价（1+40%）0.8成本价=利润列出方程，解方程就可以求出成本价【解答】解：设这种服装每件的成本为x元，根据题意得：80%（1+40%）xx=15，解得：x=125答：这种服装每件的成本为125元【点评】此类题目
8、贴近生活，有利于培养学生应用数学解决生活中实际问题的能力解题时要明确利润是在进价的基础上的拓展点三： 两个方程同解问题例题关于x的方程x2m=3x+4与2m=x的解互为相反数（1）求m的值；（2）求这两个方程的解【分析】（1）先求出第一个方程的解，然后根据互为相反数的和等于0列式得到关于m的方程，再根据一元一次方程的解法求解即可；（2）把m的值代入两个方程的解计算即可【解答】解：（1）由x2m=3x+4得：x=m+1，（2分）依题意有：m+1+2m=0，解得：m=6； （6分）（2）由m=6，解得方程x2m=3x+4的解为x=6+1=3+1=4，（8分）解得方程2m=x的解为x=26=4 （1
9、0分）【点评】本题考查了同解方程的问题，先求出两个方程的解的表达式，然后根据互为相反数的和等于0列式求出m的值是解题的关键变式1已知|a3|+（b+1）2=0，代数式的值比的值多1，求m的值【分析】先根据|a3|+（b+1）2=0求出a，b的值，再根据代数式的值比的值多1列出方程=+1，把a，b的值代入解出x的值【解答】解：|a3|0，（b+1）20，且|a3|+（b+1）2=0，a3=0且b+1=0，解得：a=3，b=1由题意得：，即：，解得：m=0，m的值为0【点评】考查了非负数的和为0，则非负数都为0要掌握解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为注意移项要变
10、号变式2当m为何值时，关于x的方程的解比关于x的方程x（m+1）=m（1+x）的解大2【分析】先求出两个方程的解（含m的代数式），然后根据题意列出关于m的一元一次方程即可解答【解答】解：5m+12x=+x，移项合并同类项得：11x=5m，系数化为1得：x=，x（m+1）=m（1+x），整理得：x（m+1）=m+mx，移项得：x（m+1）mx=m，合并同类项得：x=m，根据题意得m=2，解得：即当m=时关于x的方程的解比关于x的方程x（m+1）=m（1+x）的解大2【点评】此题计算量较大，但只要熟悉一元一次方程的解法，就能正确解答拓展点四： 列一元一次方程解决和差倍分问题例题目前我省小学和初中在
11、校生共136万人，其中小学在校生人数比初中在校生人数的2倍少2万人问目前我省小学和初中在校生各有多少万人？【分析】设初中在校生为x万人根据小学在校生人数比初中在校生人数的2倍少2万人，表示出小学在校生人数，从而根据总人数是136万，列方程求解【解答】解：设初中在校生为x万人，依题意得：x+（2x2）=136解得：x=462x2=2462=90（万人）答：目前我省小学在校生为90万人，初中在校生为46万人【点评】此题中根据共有人数用其中一个未知数表示另一个未知数，再根据小学在校生人数，比初中在校生人数的2倍少2万人列方程也可变式1甲车队有50辆汽车，乙车队有41辆汽车，如果要使乙车队数比甲车队车
12、数的2倍还多1辆，应从甲车队调多少辆车到乙车队？【分析】若设从甲车队调x辆车到乙车队，注意两个车队的同时变化【解答】解：设应从甲车队调x辆车到乙车队，根据题意，得方程41+x=2（50x）+1解之得：x=20答：应从甲车队调20辆车到乙车队【点评】此题中的等量关系：乙车队数比甲车队车数的2倍还多1辆变式2某校初一学生为灾区捐款，（1）班捐款为初一总捐款的，（2）班捐款为（1）班、（3）班捐款数的和的一半，（3）班捐了380元，求初一三个班的总捐款数？【分析】设初一总捐款为x元，然后可以用x分别表示（1）、（2）班的捐款数，再根据总捐款为x元即可列出方程，解方程即可【解答】解：设初一总捐款为x元
13、，那么（1）、（2）班的捐款数分别是x，（x+380），依题意得：x+（x+380）+380=x，解得：x=1140答：除以总捐额为1140元【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解拓展点五： 列一元一次方程解决比例分配问题例题已知一个长方形的周长为60cm（1）若它的长比宽多6cm，这个长方形的宽是多少cm？（2）若它的长与宽的比是2：1，这个长方形的长是多少cm？【分析】（1）设长方形的宽为xcm，则长为（x+6）cm，根据长方形的周长为60cm列出方程解答即可；（2）设长方形的宽为acm，则长为2acm，根据长方形的周长为60cm列出
14、方程解答即可【解答】解：（1）设长方形的宽为xcm，则长为（x+6）cm，由题意得2x+（x+6）=60，解得：x=12答：这个长方形的宽是12cm；（2）设长方形的宽为acm，则长为2acm，由题意得2（2a+a）=60，解得：a=10，2a=20答：这个长方形的长是20cm【点评】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握长方形的周长计算方法是解决问题的关键变式如图所示，足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成的，黑皮可看作正五边形，白皮可看作正六边形，求白皮，黑皮各多少块？【分析】由图可得，一块白皮（六边形）中，有三边与黑皮（五边形）相连，因此白皮边数是黑皮边数的2倍设出未知数列出方程即可求出【解
15、答】解：设足球上黑皮有x块，则白皮为（32x）块，五边形的边数共有5x条，六边形边数有6（32x）条由图形关系可得，每个正六边形白皮的周围有3个黑皮边，则白皮的边数为黑皮的2倍，可得方程：25x=6（32x）解得：x=12答：白皮20块，黑皮12块【点评】解题时，根据题中的条件，结合图形找出其中的规律，即找出黑边与白边条数的比例关系，再列出等式关系，求出解拓展点六： 列一元一次方程解决日历问题例题在下边的日历中，任意圈出一竖列上的三个数，请你在思考三个数之间的关系后解答下题：若所圈三个数的和为57，则这三个数所在的日期是星期几？（写出必要的计算过程）【分析】设所圈三个数中中间的数为x，则另外两
16、个数分别为x7、x+7，根据三个数字之和为57，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出x的值，再对照日历找出这三个数所在的日期是周几即可【解答】解：设所圈三个数中中间的数为x，则另外两个数分别为x7、x+7，根据题意得：x7+x+x+7=57，解得：x=19，对照给定日历，这三个数所在的日期是星期六答：若所圈三个数的和为57，则这三个数所在的日期是星期六【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据所圈三个数的和为57，列出关于x的一元一次方程是解题的关键变式1如图是2017年1月份的日历（1）图1中，带阴影的方框中的9个数的和与方框正中心的数有什么倍数关系？（2）在图2中，将带阴影的方块移动
17、，任意框出9个数（每个格子都有数字），（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）带阴影的方框移动过程中，9个数的和可以是135吗？若可以，求出方框正中心的数；若不可以，请说明理由【分析】（1）求出方框中9个数的和，再除以方框正中心的数即可得出结论；（2）设最中间的数为x，写出按顺序写出方框中的9个数，将其相加即可得出结论；（3）设最中间的数为y，由（2）结合9个数的和为135即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y值，对照图形即可得出不可以【解答】解：（1）（4+5+6+11+12+13+18+19+20）12=9，方框中的9个数的和是方框正中心的数的9倍（2）成立，理由如下：设最中间的数
18、为x，则9个数字如图所示：这9个数的和为：（x8）+（x7）+（x6）+（x1）+x+（x+1）+（x+6）+（x+7）+（x+8）=9x，方框中的9个数的和是方框正中心的数的9倍（3）不可以，理由如下：设最中间的数为y，则9y=135，解得：y=15，图中不存在以数字15为最中间的数的方框，不可以【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及代数式求和，利用代数式的加法找出方框中的9个数的和是方框正中心的数的9倍是解题的关键变式2在如图所示的2017年1月份的月历表中，用一个32的长方形框围住相邻三列两行中的6个数字，设其中第一行中间的数字为x（1）用含x的式子表示长方形框中6个数字的和：6x+2
19、1；（2）若长方形框中6个数字的和是141，那么这6个数字分别是哪些数字？（3）长方形框中6个数字的和能是117吗？简要说明理由【分析】（1）根据月历表找出长方形框围住的六个数字，将其相加即可得出结论；（2）结合（1）的结论，令6x+21=141，解之求出x的值，再将x分别代入6个数字中即可；（3）结合（1）的结论，令6x+21=117，求出x的值，由x的值在月历表的最右侧可得出长方形框中6个数字的和不能是117【解答】解：（1）设其中第一行中间的数字为x，则长方形框围住的六个数字分别为x1、x、x+1、x+6、x+7、x+8，6个数字的和为（x1）+x+（x+1）+（x+6）+（x+7）+（
20、x+8）=6x+21故答案为：6x+21（2）根据题意得：6x+21=141，解得：x=20，这6个数字分别是19、20、21、26、27、28（3）不能，理由如下：根据题意得：6x+21=117，解得：x=16，16是2017年1月份的月历表的最右侧，长方形框中6个数字的和不能是117【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，根据长方形框住6个数的特点求出6个数的和是解题的关键拓展点七： 列一元一次方程解决商品定价问题例题元旦期间，星力百货将某种商品按原价的8折出售，此时商品的利润率是10%，已知这种商品的进价为1000元，那么这种商品的原价是多少？【分析】设这种商品的原价是x元，根
21、据打折后的售价=进价+利润即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论【解答】解：设这种商品的原价是x元，根据题意得：0.8x=1000（1+10%），解得：x=1375答：这种商品的原价是1375元【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据数量关系打折后的售价=进价+利润列出一元一次方程变式1某商场专柜卖出A，B两件衣服，每件售价都是300元，其中A件衣服赚25%，B件衣服赔25%（1）A，B两件衣服的成本价格是多少元？（请列方程解答）（2）专柜售出的这两件衣服，是赚了还是赔了，或者是不赚也不陪呢？【分析】（1）设A件衣服的成本价为x元，B件衣服的成本价为y元，根据“每件售价都
22、是300元，其中A件衣服赚25%，B件衣服赔25%”，即可得出关于x（y）的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）根据利润=销售价格成本价格，代入数据求出结果，根据结果的正负即可得出结论【解答】解：（1）设A件衣服的成本价为x元，B件衣服的成本价为y元，由题意列方程，得：（1+25%）x=300，（125%）x=300，解得：x=240，y=400答：A件衣服的成本价为240元，B件衣服的成本价为400元（2）3002（240+400）=40（元）答：专柜售出这两件衣服赔了40元【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据数量关系列出一元一次方程是解题的关键变式2某商场因换季，将一品牌服装打折销
23、售，每件服装如果按标价的六折出售将亏4元，而按标价的八折出售将赚28元，问：（1）每件服装的标价和成本分别是多少元？（2）为使销售该品牌服装每件获得20%的利润率，应按标价的几折出售？【分析】（1）设每件标价为x元，根据销售问题的数量关系就可以表示出进价，根据进价相等建立方程求出其值就可以得出结论；（2）先求出实际售价，根据实际售价标价=折扣，列式即可求解【解答】解：（1）设每件标价为x元由题意，得0.6x+4=0.8x28，解得：x=160，则成本为：0.6x+4=0.6160+4=100（元）；（2）100（1+20%）160=0.75，即应按标价的7.5折出售答：每件服装的标价标价160
24、元，成本价100元，应按标价的7.5折出售【点评】本题是一道销售问题的运用题，考查了列一元一次方程解实际问题的运用，解题的关键是读懂题意，找出等量关系，进而设出未知数，列出方程拓展点八： 列一元一次方程解决数字问题例题一个两位数的十位数字与个位数字的和是7，把这个两位数加上45后，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，则这个两位数是（）A25B16C34D61【分析】先设这个两位数的十位数字和个位数字分别为x，7x，则这个两位数为10x+7x=9x+7，对调后的两位数为10（7x）+x=709x，根据题意列出方程9x+7+45=709x，解这个方程，求出这个两位数【解答】解：设十位数字为x，则个
25、位数字为7x，由题意得：10x+7x+45=10（7x）+x，解得：x=1，所以个位数为：7x=71=6，答：这个两位数这16故选：B【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，本题属于数字问题，培养学生用方程解决问题的能力变式1一个两位数，个位上的数字是十位上数字的2倍，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，所得的两位数比原来的两位数大27，求原来的两位数【分析】首先设原来两位数十位数字为x，则个位数字为2x，由题意得等量关系：新两位数原两位数=27，根据等量关系，列出方程，再解即可【解答】解：设原来两位数十位数字为x，则个位数字为2x，由题意得：20x+x（10x+2x）=17，解得：x=3
26、，则23=6，原来的两位数为：36答：原来的两位数为36【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程变式2列方程解应用题：一个两位数，个位数字是十位数字的2倍，如果把十位上的数与个位上的数对调后，那么所得的两位数比原来的两位数大36，求原来的两位数【分析】设原来十位上的数字为x，则个位数字为2x利用新数=原数+36，列方程求解即可【解答】解：设原来十位上的数字为x，依题意得：102x+x=10x+2x+36，解得x=4，则2x=8答：原来的两位数是48【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意得出正确等量关系是解题关键易错点一
27、： 移项不变号例题解方程（1）2xx=68； （2）3x+7=322x【分析】（1）方程去分母，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；（2）方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解【解答】解：（1）去分母得：4x5x=1216，合并得：x=4，解得：x=4； （2）移项合并得：5x=25，解得：x=5【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解变式1解方程：5x2=7x+8【分析】此题应先对方程进行移项，然后合并同类项，最后方程两边同时除以x的系数，即可解出x的值【解答】解：移项得：5x7x=8+2合并同类项得：2x=10方程两边同除以2得：
28、x=5【点评】本题易在移项上出错，对方程进行移项要注意符号的改变变式244（x3）=2（9x）【分析】根据一元一次方程的解法，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可得解【解答】解：去括号得，44x+12=182x，移项得，4x+2x=18412，合并同类项得，2x=2，系数化为1得，x=1【点评】本题考查了一元一次方程的解法，注意移项要变号易错点二： 系数化为1时颠倒分子和分母的位置例题解方程：（1）7x2=2x+8；（2）3x2（x4）=6【分析】（1）方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解；（2）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解【解答】解：（1）方程移项合并得：5x=10，解得：x=2；（2）去括号得：3x2x+8=6，移项合并得：x=2【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键变式解方程：3（5x）=22（x+3）【分析】方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解【解答】解：方程去括号得：153x=22x6，移项合并得：x=19，解得：x=19【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键
