1、 专题1 隐形圆问题有关平面解析几何专题，无论是椭圆还是抛物线，我们已经归纳总结了多种秒杀方法，并在秒1和秒2中已经对其进行破解。随着高考改革的深入，传统的椭圆和抛物线的题目难度开始下降，平面解析几何的考察形式也开始变得多种多样，直线与圆的地位大幅度提升，甚至有“代替”圆锥曲线解答题的意思，带有文化背景的题目也层出不穷，“向量圆”、“阿波罗尼斯圆”等“隐形圆”问题也开始出现在各地市的模拟题中，无论是平面向量小题还是平面解析几何大题，“隐形圆”的出现，都会给大家制造不少麻烦。本专题我们来解密高考中的“隐形圆”问题。第一讲 向量极化恒等式推出的隐圆1.极化恒等式向量乘积型：定理：平面内，若为定点，
2、且,则的轨迹是以为圆心为半径的圆证明：由，根据极化恒等式可知，所以，的轨迹是以为圆心为半径的圆.【例1】（2017江苏）在平面直角坐标系中，点在圆O：上，若，则的横坐标范围是 . 【例2】（2017丹阳期中）已知,，在上，若满足的有个，则的取值范围是 .2. 极化恒等式和型：.定理：若为定点，满足,则的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆.证明：，所以，即的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆.【例3】（2018江苏二模）在平面直角坐标系中，已知圆，点，若上存在点满足，求纵坐标的取值范围.【例4】（2019惠山期末）已知在中，,所在平面内存在点，使得，则面积的最大值为 .例5.（2019开福区校级期末）已
3、知点，直线上存在点，使得成立，则实数的取值范围是例6. （2018扬州期中）已知，圆，若圆上存在唯一的点，使得成立，则实数的取值集合为 第二讲 由垂直推出的隐圆1.（在以为直径的圆上）或者（以为直径的圆上，但挖去两点）设AB的中点为M，则P点的轨迹是以M为圆心，为半径的圆【例7】已知，动直线与交于，则的取值范围是 【例8】（2016海淀模拟）设，直线与直线交于点，则点到直线：距离的最大值为 【例9】（2014四川文）设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的取值范围是（ ）A BCD【例10】（2018江苏一模）已知直线与轴交于，点在直线上，圆C：上有且仅有一点满足，则的横坐标的取值集
4、合为 .3. 与向量模和矩形相关构成隐圆【例11】（2008浙江卷）已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（ ）A1 B2 C D【例12】（2019浙江期中）已知平面向量，满足对任意都有，成立，则的值为A1BC2D例13.（2019莲都区校级月考）已知平面向量，满足：，则的最小值为AB2CD例14.（2018漳州模拟）已知，则的取值范围是ABCD例15.（2019上城区校级月考）已知向量，其中，与夹角为，且则的最大值为 第三讲 阿波罗尼斯圆阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面上给定两点，设点在同一平面上且满足当且时，点的轨迹是一个以定比内分和外分定线段AB的两个分点的连线
5、为直径的圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius）发现，故称之为阿波罗尼斯圆（时点的轨迹是线段的中垂线）阿波罗尼斯圆的证明：阿波罗尼斯圆的相关性质【例16】（2008江苏）满足条件，的三角形ABC面积的最大值为 【例17】在中，角所对边分别为，若面积，且，则最小值为_.【例18】已知A，P是圆：上任意一点，x轴上是否存在一点B，使？若存在，求出点B的坐标；若不存在，说明理由.【例19】（2006四川）已知两定点，若动点P满足，则点P的轨迹所围成的图形的面积是 .【例20】（2013江苏）在平面直角坐标系中，点，直线l: ，设圆C的半径为1，圆心在直线l上，若圆C上存在点M
6、，使，求圆心C的横坐标的取值范围.【例21】在平面直角坐标系中，已知，为上一动点，则最小值为_.【例22】（2020南通模拟）已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最小值为【例23】（2019江苏三模）在平面四边形中，若，则的最小值为 【例24】在平面直角坐标系中，已知圆与直线，若对圆上任意一点，在直线上均存在两点，使得，且，则的取值范围为_.【例25】，分别为圆，上动点，则为_.【例26】已知，则为_.【例27】（2018海安县校级期中）在平面直角坐标系中，圆，（1）为直线上一点若点在第一象限，且，求过点的圆的切线方程；若存在过点的直线交圆于点，且恰为线段的中点，求点纵坐标的取
7、值范围；（2）已知，为圆上任一点，问：是否存在定点（异于点，使为定值，若存在，求出坐标；若不存在，说明你的理由【例28】（2019福州期末）在平面直角坐标系中，已知，动点满足条件（1）求点的轨迹的方程；（2）设点是点关于直线的对称点，问是否存在点同时满足条件：点在曲线上；，三点共线若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由二、椭圆转化为隐圆问题此部分内容我们在秒一的仿射大法大破天机中已经阐述，由于新高考中删除了选修4-4的内容，故我们将用换元法替代了坐标拉伸法，其本质也是将椭圆的一个变量通过比值换元，从而达到化椭为圆的目的，我们看一下2019年全国III卷的压轴题，感受一下这个方法的作用.【例
8、29】（2019全国III卷）已知点，动点满足直线AM与BM的斜率之积为.记M的轨迹为曲线C.（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PEx轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.（i）证明：是直角三角形；（ii）求面积的最大值.达标训练1.（2019秋11月份月考）平面内到两定点，的距离之比等于常数且的动点的轨迹叫做阿波罗尼斯圆已知，则点的轨迹围成的平面图形的面积为ABCD2.（2018兰溪市校级月考）在平面直角坐标系中，已知点是半圆上的一个动点，点在线段的延长线上当时，则点的纵坐标的取值范围是3.（2018荆州区校级期末）已知，是圆上两
9、点，点，且，则的最小值为ABCD4.（2019上城区校级模拟）设，为单位向量，向量满足，则的最大值为A2B1CD5（2018仙游县校级月考）在平面内，定点，；满足，动点，满足，则的最小值是ABCD6.（2019全国月考）设点，动点满足，设点的轨迹为，圆，与交于点，为直线上一点为坐标原点），则 A4BC2D7.（2019浙江模拟）设为平面向量，若，则的最大值为（ ）A2 B C D58.（2020沙坪坝区校级模拟）中，所在平面内存在点使得，则面积最大值为ABCD9.（2019常州期末）在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则当实数变化时，点到直线的距离的最大值为A2BCD10（2019丰台区期
10、末）在四棱锥中，底面，底面四边形是矩形，且，点是底面的边上的动点，设，则满足的值有A0个B1个C2个D3个11（2020武汉模拟）已知等边内接于圆，且是圆上一点，则的最大值是AB1CD212（2020东胜区校级一模）已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，若平面内点满足，则的最大值为A7B6C5D413（2019内江期末）若圆上存在点，使得，其中点，则的最小值是A7B5C4D614（2019重庆期末）已知是圆的任意一条直径，点在直线上运动，若的最小值为4，则实数的值为A2B4C5D616.在平面直角坐标系中，已知B，C为圆上两点，点，且ABAC，则线段BC的长的取值范围是_17.在平面直角坐标系中
11、，圆，圆，点，动点P，Q分别在圆和圆上，满足，则线段PQ的取值范围是_18已知是边长为的等边三角形，点是以为圆心的单位圆上一动点，点满足，则的最小值是_19.在中，为边上一点，且，则面积最大值为_.20.（2018仓山区校级期中）由动点引圆的两条切线，切点分别为，若，则点的轨迹方程为 21.（2019淮阴区校级模拟）已知，点在圆上，满足，若这样的点有两个，则的取值范围是22.（2019北湖区期末）在平面直角坐标系中，已知点，直线与直线相交于点，且，则实数的取值范围是 23. 设，过定点的动直线过定点的动直线交于点，则点的轨迹方程 24.（2019连云港期末）在平面直角坐标系中，已知圆，圆，动点
12、在直线上（其中，过分别作圆，的切线，切点分别为，若满足的点有且只有一个，则实数的值为25.（2019佛山期末）在平面直角坐标系中，点，若直线上存在点使得，则实数的取值范围是26.（2019浦东新区二模）已知正方形边长为8，若在正方形边上恰有6个不同的点，使，则的取值范围为27.（2019苏州月考）已知平面向量，满足，的夹角等于，且，则的取值范围是28（2019叶集区校级月考）已知平面向量，满足，则的最大值与最小值的和为 29.在中，分别为角对边，若且的面积为，则最大值为_.30.在中，已知，点为平面内一动点，且满足，则最大值为_.31.已知圆方程：，点在圆上运动，则最小值为_.32.已知圆，圆，动点在直线上的点，之间，过点分别作圆，的切线，切点为,，若满足，则线段的长度为_.33.已知线段，为上一点，以为半径作圆，为圆上一点，求的最大值.34.如图，在平面直角坐标系中，已知圆及点 (1)若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，求直线l的方程； (2)在圆C上是否存在点P，使得若存在，求点P的个数，若不存在，说明理由35.已知圆O的方程为，直线l1过点，且与圆O相切(1)求直线的方程；(2)设圆O与轴交与P，Q两点，M是圆O上异于P，Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为，直线PM交直线于点P，直线QM交直线于点Q.求证：以PQ为直径的圆C总过定点，并求出定点坐标
